Christian Mauduit

Nous présentons des travaux récents concernant l’étude et la construction de suites finies binaires pseudo-aléatoires. En particulier, nous avons introduit dans une série de travaux en collaboration avec András Sárközy de nouvelles mesures du caractère pseudo-aléatoire de ces suites qui sont liées à l’étude de leur répartition dans les progressions arithmétiques et de leurs corrélations.

Nous étudions et nous comparons plusieurs constructions telles que la suite de Champer- nowne, le symbole de Legendre, les suites automatiques, la fonction de Liouville et aussi une construction due à Paul Erdös et liée à un problème d’approximation diophantienne.

Nous présentons également des résultats et des questions ouvertes concernant les relations entre ces différentes mesures ainsi que leurs valeurs moyennes et leurs valeurs extrémales.

Jean-François Le Gall

Les arbres aléatoires continus sont les objets probabilistes qui apparaissent comme limites des arbres discrets décrivant la généalogie d’une population sur une longue période de temps.

L’exposé présentera une construction de ces arbres continus et discutera certaines de leurs propriétés, en mettant l’accent sur l’arbre continu d’Aldous.

Dans la mesure du temps disponible, on décrira aussi les liens avec une classe d’ÉDP semi-linéaires et avec certains modèles de mécanique statistique ou de systèmes infinis de particules.

Emmanuel Hebey

Étant donnée une variété riemannienne compacte de dimension n ≥ 3, l’inégalité de Sobolev- Poincaré considérée fournit l’existence de deux constantes positives A et B, qui dépendent a priori de la variété, telles que pour toute fonction u, ∥u∥2⋆ ≤ A∥∇u∥2 + B∥u∥21 où 2⋆ = 2n/(n − 2) est l’exposant critique des plongements de Sobolev.

Cette inégalité raffine l’inégalité de Sobolev classique. Sa version “Poincaré” remonte à l’ouvrage de Courant et Hilbert datant de la fin des années 1930. Telle qu’écrite ci-dessus, elle remonte aux travaux de Nirenberg datant de la fin des années 1950.

On présentera dans cet exposé une étude complète de la version optimale de cette inégalité. On insistera en particulier sur les phénomènes géométriques et de petite dimension qui sont attachés à cette étude.

Michel Piecuch

L’idée de l’électronique de spin est d’utiliser le degré de liberté supplémentaire lié au moment magnétique intrinsèque de l’électron pour créer de nouveaux dispositifs pour l’électronique.

Une telle idée est en train d’être mise en œuvre dans de nombreux laboratoires de physique dans le monde.

Cet exposé discutera, d’abord, l’intérêt de l’électronique de spin. On décrira, ensuite, les phénomènes physiques qui peuvent être utilisés pour développer cette électronique de spin : anisotropie de magnétoresistance, magnétoresistance géante, effet tunnel dépendant du spin.

On montrera, enfin, comment ces phénomènes physiques peuvent être mis en œuvre pour réaliser des dispositifs, théoriques ou réels comme des capteurs, des transistors ou des mé- moires à accès aléatoire.

Pascal Massart

Une situation très fréquente en statistique est l’estimation d’une relation fonctionnelle y = f(x) à partir de l’observation de n réalisations indépendantes mais bruitées du couple (x, y). La fonction f est bien sûr inconnue.

Deux approches sont généralement utilisées. La première dite “paramétrique” consiste à modéliser a priori la fonction recherchée à l’aide d’une famille dépendant d’un nombre fini (petit) de paramètres réels. La théorie est asymptotique (n → ∞). Si le modèle est in- adapté cette technique est vouée à l’échec. La deuxième dite “non paramétrique” remplace l’appartenance à une famille paramétrique par une information sur la “variabilité de f” ex- primée par un contrôle de sa régularité. Le gain est une réduction de l’erreur de modèle au prix d’une plus grande dispersion de l’estimateur de f.

Le but de cet exposé est de donner un aperçu de méthodes non asymptotiques offrant un bon compromis entre les deux précédentes par la sélection adaptative de modèles dans une “liste” dépendant du nombre d’observations n. L’outil mathématique principal est une inégalité de concentration de Michel Talagrand.

Ces méthodes seront illustrées par quelques exemples dans différents contextes, simulations à l’appui.

Gérard Schiffmann

Si un groupe de Lie opère sur une variété, de manière différentiable, il opère aussi sur l’espace des distributions sur cette variété. On peut donc parler de distributions invariantes. Une manière naturelle d’en construire est de considérer, quand elles existent, les mesures invariantes portées par les orbites et une question naturelle est de savoir si le sous-espace engendré par ces mesures est faiblement dense dans l’espace des distributions invariantes.

On montrera sur des exemples simples que la situation ne l’est pas, puis on passera en revue quelques cas ou des résultats positifs sont connus: action adjointe d’un groupe réductif, espaces préhomogènes commutatifs, espaces symétriques, en restant dans le cadre de l’analyse harmonique sur les groupes réductifs.

Une question plus élémentaire est de prouver que, dans certaines situations, toute distribu- tion invariante a en plus une symétrie externe. Ceci conduit à des résultats de multiplicité 1 dont le prototype est le théorème de branchement pour les représentations de dimension finie des groupes classiques.

Jean-Marc Lévy-Leblond

La science classique, au dix-neuvième siècle en particulier, s’est caractérisée par une ac- tivité langagière intense, se livrant à une production inventive et à une analyse critique de son vocabulaire.

La science du vingtième siècle fait preuve à cet égard d’une étonnante désinvolture, dé- valuant la langue commune au profit d’écritures symboliques et rabattant la création terminologique sur la trouvaille publicitaire (big bang, quark…). Les conséquences négatives, épistémologiques et pédagogiques, en sont lourdes. Le cas de la physique moderne est ici emblématique.

Une étude du rôle complexe de la langue dans l’activité scientifique (à la fois sur les plans de la production, de l’évaluation et de la transmission des savoirs) montre pour- tant l’importance d’une pratique langagière consciente et déterminée, ce qui appelle une réflexion sur les mutations nécessaires des formes actuelles de la recherche scientifique. Au-delà, c’est toute la question des relations de la science avec la culture qui est posée.

H. Blaine Lawson

Un flot de volume fini est un flot φt sur une variété X pour lequelle le “graph” est un courant de masse finie dans X × X. On demontre que pour une tel flot la limite P(ω) ≡ limφ∗tω t→∞ existe pour chaque forme différencielle lisse ω sur X. De plus il y a un operateur T de degree -1 tel que l’equation d◦T+T◦d = I−P se tient sur X. Or parmi les flots de volume fini sont les flots génériques de type gradient et tous les flots analytiques réelles.

On retrouve tout de suite la théorie de Morse complète. En fait dans ce cas on demontre que l’operateur P est une projection du complexe de deRham sur le complexe fini engendré par les sourvariétés stables des points critiques de la fonction de Morse. L’homotopie chaîne au dessu donne une isomorphisme de cohomologie. On peut passer aux chaînes integrales et á la cohomologie á coefficients dans les entiers.

Pour une application lisse f : X → Y ou pour un morphism α : E → F de fibrés vectoriels, on peut construire un flot qui est génériquement de volume fini et qui donne les équations de courants fondamentales: telles que les équations de Poincaré-Lelong, les équations de Bott-Chern, et les formules de MacPherson pour les singularités de l’application α.

Marc Yor

La notion de martingale, indexée par [latex]mathbf{N}[/latex] pour commencer, mathématise l’idée de jeu équitable. Elle ne nécessite, pour sa compréhension, que la définition des projections orthogonales sur certains sous-espaces de Hilbert d’un espace [latex]L^2[/latex] de probabilité.

Elle a de nombreuses applications aussi bien en analyse réelle que complexe, liées par exemple à la propriété : une fonction harmonique (sur [latex]mathbf{R}^d[/latex] ou sur une variété) composée avec le mouvement brownien sur le même espace, est une martingale.

Elle permet des caractérisations très simples de processus fondamentaux, comme le mouvement brownien, le processus de Poisson etc… .

Enfin, c’est la clé de voûte de la construction des intégrales stochastiques.

Jean Dhombres

Au XVIIIe siècle, il n’y a pas d’opposition notable, ou conceptuelle, entre les mathématiques pures et les mathématiques appliquées. Les expressions existent, mais il y a plutôt division ternaire avec en plus la catégorie des mathématiques mixtes.

Les titres des premiers journaux mathématiques créés, en France comme en Allemagne, évo- quent cependant les mathématiques pures et appliquées. On ne s’entend plus très bien sur la physique mathématique. L’exemple de Fourier est net : à partir des années 1850, il est rangé chez les physiciens par les mathématiciens et chez les mathématiciens par les physiciens.

À la fin du XIXe siècle, l’opposition prend une tournure forte en Allemagne, peu manifestée en France; mais on pourrait facilement prendre Hilbert et Poincaré comme personnages incarnant des différences nationales. Des études statistiques sur les publications renseignent mal sur les différences.

C’est donc une évolution peu uniforme des mentalités que je voudrais retracer en utilisant l’intégrale de Fourier comme fil historique directeur, et en évoquant les positions de mathé- maticiens comme Norbert Wiener et Élie Cartan pour le XXe siècle.