Denis Serre

Même pour une équation différentielle ordinaire autonome dans [latex]R^n[/latex]

[latex]dy = f(y), y(0) = a,[/latex]

l’existence d’une solution [latex]y(t)[/latex] définie pour tout temps [latex]t > 0[/latex] n’est pas parfaitement comprise. La condition suffisante, dont on peut souvent se contenter, est qu’il existe un compact [latex]K[/latex], contenant [latex]a[/latex], positivement invariant pour [latex]f[/latex]. Si le bord de [latex]K[/latex] est une hypersurface régulière, il revient au même de dire que [latex]f[/latex] est un champ de vecteurs rentrant.

Pour certaines équations aux dérivées partielles (qu’on se rassure, les EDPs qui apparaîtront dans l’exposé se ramènent à des EDOs), on sait mettre en œuvre la même idée. Mais la présence de termes d’ordres distincts impose que [latex]K[/latex] soit positivement invariant à chaque ordre. Par exemple, K est positivement invariant pour l’équation de réaction-diffusion du = ∆u + f(u) si et seulement si il l’est à la fois pour l’équation de la chaleur  du/dt = ∆u (on verra que ̧ca signifie K convexe) et pour l’EDO du = f(u). dt dt

Dans l’exposé, j’examinerai cette question de l’invariance pour un système appa- remment simple, qui pose cependant des questions non triviales de géométrie classique. Par exemple : quand est-ce que l’image par une application (pas linéaire, a priori) d’un convexe est convexe ?

Marcel Berger

On présentera trois travaux de R. Schwartz. Tous les trois étudient ce qui se passe quand on itère (à l’infini) des résultats de géométrie élémentaire. La théorie des groupes intervient, mais aussi les résultats et les conjectures pour les cas ouverts, qui utilisent abondamment les calculs sur ordinateurs.

Claude Le Bris

Le contrôle par laser des évolutions des systèmes moléculaires est aujourd’hui une réalité expérimentale. On sait en effet ”sculpter” le faisceau laser qui amènera le système moléculaire dans un état voulu, propice a la réalisation d’une réaction chimique désirée. La modélisation mathématique et la simulation numérique sont des outils primordiaux dans le choix de ce champ laser optimal. On expliquera les difficultés et les enjeux dans ce domaine, à l’intersection de la physique fondamentale, de la chimie et des mathématiques appliquées.

Claude Le Bris

Le contrôle par laser des évolutions des systèmes moléculaires est aujourd’hui une réalité expérimentale. On sait en effet ”sculpter” le faisceau laser qui amènera le système moléculaire dans un état voulu, propice a la réalisation d’une réaction chimique désirée. La modélisation mathématique et la simulation numérique sont des outils primordiaux dans le choix de ce champ laser optimal. On expliquera les difficultés et les enjeux dans ce domaine, à l’intersection de la physique fondamentale, de la chimie et des mathématiques appliquées.

Michel Raynaud

Considérons une courbe algébrique [latex]X[/latex] sur les nombres complexes [latex]C[/latex]. Vue comme variété topologique, elle possède un groupe fondamental qui classifie les revêtements topologiques de [latex]X[/latex], et dont on rappellera la structure. En géométrie algébrique, on doit se limiter aux revêtements de degré fini, ce qui amène à introduire le complété profini du groupe fondamental topologique. On peutétendre la notion de groupe fondamental algébrique au cas d’une courbe algébrique définie sur un corps quelconque, par exemple le corps [latex]Q[/latex] des nombres rationnels.

On indiquera pourquoi cette notion est utile en arithmétique et on évoquera quelques-unes des questions de théorie des groupes liées à la complétion profinie.

Alan Huckleberry

The goal of the talk is to explain complex geometric phenomena which have been of basic use in recent work giving computable descriptions of certain domains which arise in transforming cohomology to the level of fuctions in a context of representation theoretic interest. Incidence geometry arises as a tool for computing integrals over high-dimensional sets by intersecting with classically defined transversal varieties. Proper understanding of this incidence geometry also leads to proof of the hyperbolicity and complex geometric convexity of these domains. The exact determination of the domains then results from a study of analytic continuation in a concrete low-dimensional situation.

Jean-Michel Coron

Dans les systèmes contrôlés on dispose d’un moyen d’action, à savoir le contrôle, pour réaliser certains objectifs. Les deux objectifs les plus classiques sont celui de la contrôlabilité (faire passer le système d’une configuration donnée à une autre) et celui de la stabilisation (rendre asymptotiquement stable un point d’équilibre qui serait instable sans le contrôle). Si ces deux problèmes sont bien compris pour les systèmes linéaires, au moins en dimension finie, c’est loin d’être le cas pour les systèmes non linéaires. On présentera différentes méthodes pour traiter le cas des systèmes non linéaires. Des applications à des systèmes de contrôle issus de la mécanique des fluides seront données (équation d’Euler des fluides parfaits incompressibles,équations de Navier-Stokes, équation de Saint-Venant).

Jean-Louis Colliot-Thélène

Etant donné un polynôme [latex]f(x_1, . . . , x_n)[/latex] de degré [latex]d[/latex] à coefficients rationnels, peut-on résoudre l’équation [latex]f(x_1, . . . , x_n) = 0[/latex] en nombres rationnels ? Si oui, que peut-on dire de l’ensemble de ses solutions (densité, nombre de solutions de taille donnée) ? Ce sont là bien sûr de vieilles et difficiles questions, et les réponses sont partielles.

Jochen Brüning

A “Dirac system” is a model for Dirac operators which is a family of symmetric first order elliptic differential operators tied to the geometry of a Riemannian manifold. However, the model is much simpler than the Dirac operators themselves : it is merely a first order ordi- nary differential equation with operator coefficients. A point of the talk is to explain in what sense this operator valued differential equations behave like a matrix valued, true ordinary differential equation; or one might say, to explain in what sense the geometric situation modeled is “almost one dimensional”.

This is certainly not true in general since not all phenomena in higher dimensions can be reduced to one dimension but in certain situations this approach leads to very valuable in- formation. One example we will explain in detail is the case of complete manifolds with thin ends, like cylinders or cusps. Another case of interest arises in situations with symmetries (“scaling”) which applies locally in many situations.

The talk will proceed from simple notions to geometric situations, explaining the necessary definitions along the way. It will be acceptable to graduate students and non specialists of geometric analysis in general.

Jean-Paul Delahaye

La théorie de la calculabilité a permis de formuler des mesures de complexité des objets finis qui sont maintenant considérées comme des outils importants y compris en physique et en biologie. L’exposé présentera la notion de complexité de Kolmogorov et la notion de profondeur logique de Bennett et tentera de justifier la définition de cette dernière.