Séminaire de Géométrie complexe

La formule d’intégration le long des fibres d’un fibré
projectivisé est bien connue, et c’est même la définition des classes de
Segre dans l’exposition de Fulton sur la théorie de l’intersection.
Obtenir une formule d’intégration le long des fibres d’une tour de fibrés
projectivisés paraît donc assez simple : il « suffit » d’itérer la formule.
Cependant, cette stratégie mène à  une explosion combinatoire a priori
difficilement contrôlable. Je vais proposer un formalisme permettant de
faire aboutir cette approche naïve.
En guise d’exemple et de motivation, j’évoquerai l’utilisation des
inégalités de Morse holomorphes sur la tour de Demailly-Semple.
Je donnerai aussi des résultats sur les fibrés de drapeaux, qui sont le
cadre le plus naturel o๠se manifeste le principe de scindage.
La partie sur les fibrés de drapeaux est un travail en commun avec Piotr
Pragacz (Varsovie).

La stabilité du fibré tangent des variétés de Fano de nombre de
Picard un est un problème
fondamental en géométrie algébrique complexe. Dans cet exposé, je vais
expliquer le lien
de ce problème avec un certain théorème d’annulation. En particulier, on
peut donner une
réponse positive pour certaines intersections complètes dans un espace
symétrique. Puis,
je vais aussi parler de la stabilité de la restriction du fibré tangent
à  une hypersurface
générale.

I will discuss some results extending classical (as well as more recent) theorems in algebraic geometry to (1,1) cohomology classes on compact Kahler manifolds. In particular I will discuss Nakamaye’s Theorem, the Fujita-Zariski Theorem, and Seshadri constants.

The classical Poincaré – Bendixson theory describes
the way a trajectory of a vector field on the real plane behaves
when accumulating to the singular locus of a vector field in question. In this talk we shall describe the way a leaf with contracting holonomy of a parabolic holomorphic foliation by curves on
a compact complex manifold approaches the singular locus of the
foliation.

Même si la notion précise de variété simplement rationnellement connexe n’est pas encore claire en général, le travail de Jong et Starr puis de Jong, He et Starr, a déjà  suscité plusieurs études récentes pour approfondir cette notion.
Dans ce projet avec Laurent Gruson et Nicolas Perrin, nous étudions des exemples de variétés de Fano en basse dimension par des méthodes explicites de géométrie birationnelle.

La conjecture de Franchetta generalisée, tel que formulée par O’Grady, concerne les cycles algebriques sur une surface K3 universelle. Il est naturel d’étendre cette conjecture aux familles universelles de variétés hyperkaehler. Ceci est étroitement lié à  la « splitting property » conjecturelle de Beauville, et la conjecture de Beauville-Voisin (qui prédit l’existence, pour toute variété hyperkaehler, d’un sous-anneau de l’anneau de Chow qui s’injecte en cohomologie). L’exposé présentera ces conjectures, leurs liens, ainsi que certains cas particuliers ou ces conjectures sont verifiées. Il s’agit d’un travail en commun avec Lie Fu, Mingmin Shen et Charles Vial.

Je vais discuter certains développements récents en direction de la conjecture de Yau-Tian-Donaldson, qui relie l’existence de métriques kählériennes à  courbure scalaire constante à  la notion algébro-géométrique de K-stabilité. Je soulignerai en particulier l’interprétation de cette dernière via la géométrie non-archimédienne.

Je présenterai des travaux en cours avec F. Campana
et L. Darondeau sur l’hyperbolicité dans le cadre des paires orbifoldes.
Après quelques rappels sur les intérêts d’une telle généralisation,
je présenterai la théorie des différentielles de jets orbifoldes qui présente
quelques surprises par rapport à  la théorie classique des cas compacts
(ou logarithmiques).

Les variétés OT, introduites par Oeljeklaus et Toma, sont des variétés complexes compactes non-kahleriennes construites à  partir d’un corps de nombres K et un certain groupe d’unités U. Une sous-classe des variétés OT admet des métriques localement conformément Kahler (LCK), et a servi a infirmer une conjecture de Vaisman sur la topologie des variétés LCK. Je commencerai par présenter la construction de ces variétés et leurs propriétés connues. Ensuite, je vais parler de leur cohomologies de de Rham et Morse-Novikov, calculé récemment en termes des données arithmétiques venant de (K,U). Finalement, je donnerai quelques applications, notamment dans le cadre de la géométrie LCK. Ceci sont les résultats d’une collaboration avec A. Otiman.

L’existence de métriques canoniques sur les variétés sphériques, une
classe très riche de variétés presque homogènes, doit être régie par des
conditions combinatoires. Dans le cas des métriques de Kähler-Einstein
lisses, j’ai pu le vérifier d’un point de vue purement algébro-géométrique
via la K-stabilité. Pour étudier le cas d’autres métriques canoniques, il
faut développer la géométrie Kählérienne des variétés sphériques. Je
présenterai des travaux dans cette direction, avec des applications aux
métriques cscK ou log Kähler-Einstein.