Séminaire de Géométrie complexe

Dans cet exposé je présente certaines méthodes développées au cours de ma thèse. Le problème est le suivant : soient $k$ un corps (algébriquement clos) et $G$ un $k$-groupe réductif. Notons $\mathfrak{g}$ son algèbre de Lie. Si $k$ est de caractéristique nulle, l’existence de l’exponentielle permet d’intégrer toute sous-algèbre de Lie nilpotente $\mathfrak{u}\subseteq\mathfrak{g}$ en un sous-groupe unipotent lisse et connexe U⊆G tel que $Lie(U)$= $\mathfrak{u}$. Si maintenant $k$ est de caractéristique $p >0$ l’exponentielle d’éléments nilpotents de $\mathfrak{g}$ n’est plus toujours bien définie et il n’est plus a priori possible d’intégrer une sous-algèbre de Lie nilpotente arbitraire de $\mathfrak{g}$.Nous nous intéresserons ici à l’intégration des $p$-sous-algèbres restreintes $p$-nil de $\mathfrak{g}$ (à savoir les bons analogues en caractéristique $p>0$ des sous-algèbres de Lie nilpotentes de $\mathfrak{g}$). Après avoir présenté les travaux de J-P. Serre et ceux, plus récents, de P. Deligne, V. Balaji et A. J.Parameswaran qui assurent une intégration systématique de tels objets pour une borne “raisonnable » sur $\mathfrak{p}$, nous discuterons le cas plus complexe des petites caractéristiques. J’expliquerai notamment comment ma généralisation d’un théorème de P. Deligne permet l’intégration decertaines sous-algèbres de Lie $p$-nil (maximales pour un certain critère) de $\mathfrak{g}$.

En utilisant la torsion analytique, Bershadsky, Cecotti, Ooguri et Vafa ont défini un invariant à valeurs réelles, appelé l’invariant de BCOV, pour les variétés de Calabi-Yau. L’invariant de BCOV est conjecturalement le miroir dans le B-modèle de l’invariant de Gromov-Witten de genre 1. Après une introduction à cet invariant, je vais présenter la démonstration récente de la conjecture de Fang-Lu-Yoshikawa, qui dit que deux variétés de Calabi-Yau birationnellement isomorphes ont le même invariant de BCOV. Si le temps le permet, j’expliquerai une généralisation de la définition des invariants de BCOV pour les variétés de Calabi-Yau singulières, ainsi que son invariance birationnelle.  Il s’agit d’un travail commun avec Yeping Zhang (arXiv: 2007.04835).

Dans un espace projectif complexe, le nombre des points (sans compter la multiplicité) de l’intersection d’une courbe algébrique et d’une hypersurface générique est le produit de leur degré. J’explique comment obtenir un énoncé analogue pour des courbes holomorphes entières.

Je donnerai une présentation détaillée des revêtements doubles des espaces projectifs, et en particulier des systèmes
linéaires $|kL|$ obtenus en tirant-en-arrière la classe d’équivalence linéaire des hypersurfaces de degré $k$ de l’espace projectif. J’examinerai avec une attention particulière les doubles plans sextiques, qui sont des surfaces K3 de genre 2, dans le but de décrire les extensions des courbes canoniques obtenues par le système $|kL|$. On rappelle qu’une extension de X plongée dans $P^N$ est $Y$ dans $P^{N+1}$ qui a $X$ comme section hyperplane.

Quels groupes algébriques agissent de façon birationnelle sur le plan projectif ? Après avoir regarder quelques exemples sur des corps divers, je vais expliquer comment attaquer la classification et la donner pour les groupes infinis.

Dans cet exposé, je présenterai une solution définitive au problème de décrire les classes de conjugaison d’un groupe de Coxeter arbitraire en termes de permutations cycliques. Après avoir motivé le problème et passé en revue son histoire, j’expliquerai l’idée-clef, de nature géométrique, derrière la preuve de sa solution.

In 1988 Simpson proved a uniformization theorem which characterizes complex projective manifolds and quasi-projective curves whose universal coverings are complex unit balls. In this talk, I will give a necessary and sufficient condition for quasi-projective manifolds to be uniformized by complex unit balls, via stability of (logarithmic) Higgs bundles. This is based on a joint work with Benoit Cadorel.

Dans cet exposé nous montrerons, en suivant l’article de Greb-Guenancia-Kebekus, qu’une variété projective klt à  fibré canonique numériquement trivial et dont le fibré tangent est fortement stable est, à  revêtement quasi étale près, soit une variété de CY soit une variété de Calabi-Yau soit une variété irréductible symplectique.

https://bul.univ-lorraine.fr/index.php/s/WDWrwG4sMHcHoso

Les variétés singulières à  canonique numériquement trivial ont
reçu un intérêt récent, notamment dans des travaux de Greb, Guénancia,
Kebekus, Druel, Höring, Peternell, Campana… qui aboutissent à  un
théorème de décomposition « à  la Beauville-Bogomolov » dans le cadre
singulier assez large (klt). Ces travaux participent également à 
comprendre la structure du faisceau tangent d’une variété singulière à 
canonique numériquement trivial; pour des variétés relativement peu
singulières (klt lisses en codimension 2, par exemple terminales),
Höring et Peternell établissent un lien entre la positivité
(pseudoeffectivité) du faisceau tangent à  une variété et la présence
d’une facteur abélien dans sa décomposition de Beauville-Bogomolov
singulière.

Dans cet exposé, je discuterai des outils permettant de traiter la
positivité d’un faisceau réflexif sur une variété à  singularités klt,
comme la seconde classe de Chern orbifold : c’est un bon cadre pour le
faisceau tangent d’une variété à  singularités klt. J’expliquerai comment
utiliser ces outils pour généraliser l’énoncé de Höring et Peternell à 
des variétés à  singularités klt, et en présenterai quelques autres
utilités.