Séminaire de Géométrie complexe

Les courbes hyperelliptiques sont des revêtements ramifiés de degré deux
de la droite projective. Dans le complément des points de ramification,
la préimage d’un point est constituée de deux points distincts notés p
et q. La différence p-q est de r-torsion s’il existe une fonction qui a
un zéro d’ordre r en p et un pôle d’ordre r en q (et aucune autre
singularité). La recherche de courbes hyperelliptiques définies sur les
rationnels avec r points de torsion est un problème important encore
largement ouvert.

Au contraire, dans le cas complexe on sait qu’il existe des surfaces
possédant une paire de r-torsion pour tout r suffisamment grand. Les
courbes munies de points de r-torsion forment des sous-espaces T_{g,r}
de l’espace des modules des courbes hyperelliptiques pointées. Ces
sous-espaces ne semblent pas avoir fait l’objet d’études approfondies.
Dans cet exposé, je souhaite montrer que leur topologie est
intéressante: à g fixé et pour r assez grand, l’espace T_{g,r} possède
environ g/2 composantes connexes.
J’expliquerai ce résultat grâce à des objets classiques, tels que
l’équation de Pell-Abel, les différentielles de troisième espèce ou les
tresses. Ce résultat a été obtenu conjointement dans un travail en
préparation avec Andrei Bogatyrev.

La conjecture de Yau-Tian-Donaldson en géométrie complexe relie l’existence de métriques de Kähler canoniques et la notion algébro-géométrique de K-stabilité. Une version forte a été prouvée pour les métriques de Kähler-Einstein sur les variétés de Fano il y a presque dix ans, et elle a considérablement amélioré notre compréhension de ce problème. Pour des métriques de Kähler canoniques plus générales, telles que les métriques de Kähler extrémales de Calabi, la conjecture YTD est toujours ouverte et, ce qui est peut-être plus important, son utilité pour prouver l’existence de métriques de Kähler extrémales est beaucoup moins claire. Je présenterai un raffinement possible de la conjecture YTD, inspiré par quelques indices dans la littérature, puis des résultats partiels dans cette direction dans le cadre des variétés sphériques.

Comme tous les « Séminaires communs de géométrie », cet exposé est constitué de deux parties, la première de 14h à 14h45 pour un large public, la seconde de 15h15 à 16h pour un public plus intéressé. Entre les deux, une pause « thé-gâteaux » est offerte par l’équipe de géométrie

Première partie : Construction de surfaces minimales : approche variationnelle.

Résumé : Après avoir expliqué ce que sont les surfaces minimales, je présenterai quelques éléments de l’approche variationnelle qui peut être utilisée pour en construire.

Partie spécialisée : Rigidité des variétés riemanniennes contenant un équateur

résumé : Si une métrique sur la sphère S^{^2} à courbure comprise entre 0 et 1 possède une géodésique de longueur 2\pi, alors la courbure est constante égale à 1. Ce résultat de rigidité est dû à Calabi. En dimension 3 et sous les mêmes hypothèses de courbure sectionnelle, l’existence d’une sphère minimale d’aire 4\pi rigidifie aussi la métrique. Ce résultat a été obtenu dans un travail précédent avec H. Rosenberg. Dans cet exposé je présenterai comment ce travail peut être généralisé en codimension supérieure. Je donnerai aussi comme conséquence un théorème de rigidité pour le « width » de Simon-Smith.

Dans un travail en commun avec Patrick Graf et Henri Guenancia, nous nous sommes intéressés à un analogue singulier du théorème de Yau qui affirme qu’une variété kählérienne compacte dont les 2 premières classes de Chern sont nulles admet un revêtement étale qui est un tore. Pour généraliser ce type de résultat au cas klt, nous établissons une version singulière de l’inégalité de Bogomolov–Gieseker. Nous nous appuyons également sur le théorème de décomposition pour les espaces kählériens Ricci plat obtenu par Bakker–Guenancia–Lehn.

Je parlerai d’un projet en commun avec Maxime Fortier Bourque sur des problèmes extrémaux en géométrie hyperbolique. Les problèmes qui nous intéressent sont des analogues hyperboliques de problèmes classiques en géométrie euclidienne, comme le problème de la densité maximale des empilements de sphères et le problème du nombre de contact. L’objectif de l’exposé sera d’expliquer comment on peut utiliser la formule de trace de Selberg – une formule qui relie les longueurs des géodésiques sur une variété hyperbolique au spectre du Laplacien de cette variété – pour attaquer ces problèmes.

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Comme chaque « séminaire commun de géométrie », une première partie de 14h à 14h45 sera un exposé d’introduction au sujet de type colloquium, suivi d’une pause thé-gateaux de 14h45 à 15h15 et de la suite de l’exposé de 15h15 à 16h.

Dans cet exposé, on étudiera les hypersurfaces algébriques réelles à l’intérieur d’une variété algébrique réelle donnée. On prouvera que les hypersurfaces algébriques réelles avec de très grands nombres de Betti (par exemple, les hypersurfaces maximales au sens de Smith-Thom) sont exponentiellement rares dans leur système linéaire.

L’inversion de Laurent construit des déformations qui sont au centre de la symétrie miroir des variétés de Fano. Soit f un polynôme de Laurent dont le support est un polytope 3-dimensionnel P, auquel on associe une variété de Fano torique X_P. Dans le cas le plus général, l’inversion de Laurent construit un plongement de X_P dans une variété torique ambiante Y. Si en plus X_P est une intersection complète donnée par des fibrés en droites sur Y, alors une section générale de ces fibrés est une variété de Fano X dont X_P est une dégénérescence torique. Le but est de trouver un Y tel que X soit le plus lisse possible – dans cet exposé on s’intéresse aux variétés de dimension trois, terminales et Q-factorielles. Cette technique permet de construire beaucoup d’exemples d’une façon très explicite et controlée, en exploitant la combinatoire pour obtenir des objets géométriques.

Ce travail concerne le groupe de Cremona du plan sur un corps parfait, c’est à dire le groupe des applications birationnelles du plan projectif qui sont définies sur ce corps. Nous prouvons que ce groupe est engendré par des involutions.
J’expliquerai la décomposition de telles applications en liens de Sarkisov (applications birationnelles simples entre des espaces fibrés simples) et comment cela donne un ensemble de générateurs du groupe de Cremona. Après, je les décomposerai en involutions, parmi lesquelles on peut mentionner les involutions Geiser et Bertini, et des réflexions d’un groupe orthogonal associé à un espace quadratique.
(Travail en collaboration avec Stéphane Lamy.)

On the one hand, the Littelmann’s path model is a combinatorial tool that describes the representation theory of any (symmetrizable) Kac-Moody Lie algebra, available since 1994. The paths in this model are piecewise linear paths in the finite dimensional real vector space spanned by the fundamental weights. But this vector space together with its affine hyperplanes arrangement is also the standard apartment of an object called the masure, introduced by Gaussent-Rousseau in 2008. The masure is playing the role of the Bruhat-Tits building in the Kac-Moody setting. On the other hand, in the finite dimensional setting, Mirkovic and Vilonen developed a geometric model of the aforementionned representations, by introducing subvarieties in the affine Grassmannian associated to a reductive group, first in 2000. Most of the algebraic information can be derived from the associated polytopes, and there is a bijection between paths and polytopes. In 2014, Baumann, Kamnitzer and Tingley defined the Mirkovic-Vilonen polytopes in the Kac-Moody setting using preprojective algebras. Our goal is to take advantage of the combinatoric/geometric nature of the masure to realize Mirkovic-Vilonen polytopes directly from Littelmann’s paths.
This is a joint work with Stéphane Gaussent.

Il est naturel de regarder des transformations birationnelles du plan, càd des isomorphismes des ouverts de Zariski du plan. Il y en a beaucoup qui sont des involutions et on peut se mettre à les classifier à conjugaison près. Sur le corps des nombres complexes une telle involution possède des courbes fixes rationnelles ou bien une unique courbe fixe irrationnelle. Dans ce dernier cas, les classes de conjugaison des involutions sont à bijection avec les classes d’isomorphismes des courbes fixes. Pas surprenant, ce n’est plus le cas sur le corps des nombres réels…
Je vais motiver la classification dans le cas complexe et ensuite je vais raconter ce qui est connu dans le cas réel.

Comme tous les « séminaires communs de géométrie », nous aurons de 14h à 14h45 une introduction au sujet de niveau Colloquium, puis de 14h45 à 15h15 une pause thé-gateaux-géométrie, puis de 15h15 à 16h la suite de l’exposé de recherche.