Séminaire de Géométrie complexe

Soient $S$ une surface et $V$ le $mathbb{Q}$-espace vectoriel des diviseurs modulo équivalence numérique. Le produit d’intersection définit un accouplement parfait sur $V$. On sait depuis les années Trente qu’il est de signature $(1,n)$. Dans les années Soixante Grothendieck a conjecturé une généralisation de cet énoncé aux cycles de codimension quelconque sur des variétés générales. En caractéristique zéro cette conjecture est une conséquence des relations de Hodge Riemann. En caractéristique positive assez peu est connu. Nous expliquerons comment démontrer cette conjecture pour les variétés abéliennes de dimension quatre.

Une forme réelle d’une variété algébrique complexe $X$ est une variété réelle dont la complexification est isomorphe à  $X$. Dans cet exposé, nous nous intéresserons au problème de la finitude des classes d’isomorphisme des formes réelles des surfaces rationnelles (posé par Kharlamov pour les surfaces projectives lisses en général). Nous montrerons d’abord que toute surface rationnelle dont le groupe d’automorphismes ne contient pas un groupe libre a un nombre fini de formes réelles. Nous verrons ensuite que certaines surfaces rationnelles à  « grands » groupes d’automorphismes ont également un nombre fini de formes réelles, comme les paires KLT Calabi-Yau ou les surfaces Cremona-spéciales.

Etant donné une surface K3 projective $S$, d’après le travail de Beauville et Voisin (2004), il existe une classe canonique $c_S$ dans le groupe de Chow des zéro-cycles $mathrm{CH}_0(S)$, qui vérifie la propriété que l’intersection des deux diviseurs, ainsi que la classe de Chern du fibré tangent, est toujours un multiple de $c_S$. On conjecture l’existence de telle classe aussi pour toute variété Calabi-Yau. Dans un travail en commun avec Hsueh-Yung Lin en cours, nous étudierons le cas des variétés Calabi-Yau de dimension 3 avec une structure de fibration.

Une fibration lc-triviale f:(X,B)->Y est une fibration telle que le diviseur log-canonique de la paire (X,B) est trivial le long des fibres de f. Comme dans le cas de la formule du fibré canonique pour des fibrations elliptiques, le diviseur log-canonique peut être écrit comme la somme du tiré en arrière de trois diviseurs : le diviseur canonique de Y; un diviseur, appelé discriminant, qui contient des informations sur les fibres singulières ; un diviseur appelé partie modulaire qui contient des informations sur la variation birationnelle des fibres. Il est conjecturé que la partie modulaire est semiample. Ambro a demontré la conjecture quand la base Y est une courbe. Dans cet expose on expliquera une stratégie pour démontrer la conjecture quand la base est une surface. Il s’agit d’un travail en cours en collaboration avec Vladimir Lazic.

Cet exposé est lié à  l’étude des algèbres de Hall cohomologiques associées à  certaines variétés de représentations de carquois. Celles-ci suscitent un intérêt grandissant dans des domaines connexes à  la théorie des cordes, contexte dans lequel il est important de considérer des carquois arbitraires, comme par exemple le carquois à  un sommet et g boucles (on sait son étude reliée à  celle des courbes de genre g). La première difficulté dans le cas des carquois arbitraires consiste à  définir des analogues des variétés nilpotentes de Lusztig. Il est en effet nécessaire de considérer des représentations dites semi-nilpotentes dans le cas général pour obtenir des sous-variétés Lagrangiennes.
Dans une collaboration avec Schiffmann et Vasserot, on réalise le décompte des points de ces variétés sur les corps finis, qui est relié à  des analogues des polynômes de Kac. Ce décompte repose largement sur l’étude pointue de variétés carquois de Nakajima, qui jouent ici le rôle de compactifications.
Ce décompte permet en fait de calculer le polynôme de Poincaré de l’algèbre de Hall cohomologique associée à  ces variétés semi-nilpotentes

Le but de cet exposé est d’esquisser quelques résultats récents sur le comportement du flot de Yang-Mills des connexions intégrables sur une variété kählérienne. Notamment, j’expliquerai les éléments essentiels de la preuve d’une conjecture de Bando et Siu pour des fibrés holomorphes non-stables. La formation asymptotiques de singularités dans le flot admet une correspondance exacte avec les singularités de la filtration de Harder-
Narasimhan. Au passage, je poserai quelques questions concernant la structure des espaces de modules.

Le groupe de tresses pures $P_n$ est résiduellement nilpotent sans torsion, mais aucune des preuves connues de ce fait s’étend aux groupes de tresses pures sur des surfaces. Dans ce séminaire, après avoir rappelé quelques faits sur les propriétés résiduelles et introduit les groupes de tresses (pures) sur des surfaces, je raconterai ce qu’on sait à  ce jour sur les propriétés résiduelles de ces groupes, je montrerai quelques applications, en particulier dans la théorie des invariants de type fini, et je terminerai avec des possibles perspectives.