Séminaire de Géométrie complexe

L’exposé portera sur les connexions logarithmiques sur la sphère de Riemann et leurs déformations isomonodromiques.
On introduira une notion d’algébrisabilté pour le germe de déformation isomonodromique universelle d’une telle connexion.
Le résultat principal est le suivant (avec quelques hypothèses) :
Pour un connexion logarithmique D sur un fibré vectoriel au dessus de CP1,
la déformation isomonodromique universelle de D est algébrisable
si et seulement si
la classe de conjugaison de sa monodromie a une orbite finie sous le Mapping Class Group de la sphère épointée.

Si le temps le permet on présentera un travail en cours (avec D. Moussard) déterminant les orbites finies qui apparaissent dans cet énoncé, pour les connexions de rang deux réductibles.

Dans cet exposé, nous étudierons les familles complètes de courbes lisses dans $mathbb P^3$, c’est-à -dire les sous-variétés propres du schéma de Hilbert des courbes lisses dans $mathbb P^3$. D’une part, nous construirons des exemples non triviaux de telles familles. D’autre part, nous obtiendrons des restrictions sur les familles complètes de courbes lisses polarisées pouvant en induire. Les deux résultats reposent sur l’étude de la forte semistabilité de certains fibrés vectoriels.

Coadjoint orbits of Lie groups are examples of symplectic manifolds endowed
with a Hamiltonian action. We will consider elliptic coadjoint orbits
of a real semi-simple Lie group $G$. If $G$ is a compact Lie group, then any
orbit $O$ is elliptic. In the general setup the orbit $O$ has a unique invariant
complex structure such that the Kirillov-Kostant-Souriau form is Kählerian.
It turns out that the convex hull $hat O$ of $O$ is closely related to the complex
geometry of $O$. More precisely, the faces of $hat O$ are given as convex hulls of
orbits of centralizer subgroups and there is a strong connection to compact
orbits of parabolic subgroups of the complexi ed group $G^{mathbb C}$.

Une structure réelle sur une variété projective complexe $X$ est une involution antiholomorphe sur cette variété. La donnée d’une telle structure équivaut à  la donnée d’une variété réelle $X_0$ dont la complexification est isomorphe à  $X$ (on dit alors que $X_0$ est une forme réelle de $X$).
Le but de cet exposé est de montrer comment l’étude des groupes d’automorphismes des éclatés du plan projectif complexe peut être utilisée en vue de donner des éléments de réponse à  la question de la finitude du nombre de classes d’équivalence de structures réelles sur ces éclatés, i.e. la finitude du nombre de leurs formes réelles à  isomorphisme près.

Dans un travail en commun avec J. Pereira, F. Loray et F. Touzet, nous nous intéressons aux feuilletages de codimension un (sur une variété kählérienne compacte ou même projective) ayant au moins une feuille compacte. Cette feuille est alors une hypersurface plongée dans la variété ambiante dont le fibré normal est topologiquement de torsion et une partie importante de l’information sur la structure transverse du feuilletage est contenue dans la représentation d’holonomie. Nous abordons en particulier les problèmes suivants : existence de feuilletages ayant pour feuille une hypersurface donnée, feuilletages ayant une holonomie abélienne et résultats de factorisation. La plupart des résultats que nous obtenons en réponse à  ces problèmes s’énoncent en termes de théorie d’Ueda et cet exposé sera également l’occasion d’un bref survol de cette dernière.

Ceci sera la dernière séance du groupe de travail. Un workshop sur le même sujet est prévu à  Dijon, les 7 et 8 avril prochains.

Les exposés porteront sur le théorème de décomposition, à  nouveau un peu sur le yoga des poids, sur certaines descriptions des faisceaux pervers par des carquois, et sur des applications du théorème de décomposition.

I will talk about two related projects, applying recent methods in Kähler geometry to some questions in physics. First, I will explain, how to use the sections of positive line bundle on Riemann surfaces and on Kahler manifolds to construct Laughlin wave functions for integer and fractional Quantum Hall effect and compute their scaling limits for large number of particles. Second, I will talk about a proposal to define statistical sums over geometries, using the approach of random Bergman metrics.

La théorie des densités des courants positifs fermés est une extension
de la notion de multiplicité pour les variétés, ou de nombre de Lelong pour les courants.
Les densités sont des classes de cohomologie associées aux courants tangents, à  un courant donné,
le long d’une sous variété complexe.Ces classes vivent dans le fibré normal à  la sous variété et décrivent les propriétés tangentielles du courant.
La notion est utile pour développer une théorie des intersections non-génériques.Comme application on obtient le Théorème suivant.
Soit f un automorphisme polynomial régulier de C^k. Les points périodiques de type selle
s’equidistribuent selon la mesure d’équilibre de f.
Il s’agit d’un travail en collaboration avec T.C Dinh.

The aim of this paper is to give some comments on the construction by H. Hironaka [H.61] of a holomorphic (in fact algebraic) family of compact complex manifolds parametrized by $mathbb C$ such for all $u in mathbb C setminus {0}$ the fiber is projective, but such that the fiber at the origin is non kählerian. We also explain why it is not possible to make in the same way such a family with fiber at $0$ a simpler example of non kählerian Moishezon manifold which is also due to H. Hironaka.

This paper does not give a complete proof of Hironaka’s construction. It only tries to give some help for the reader of this famous article and tries to explain some points which are not explicit although they are well known to specialists.

Les nombres de Chern $c_1^2,c_2inmathbb{Z}$ d’une surface complexe lisse minimale $X$ vérifient l’inégalité de Bogomolov-Miyaoka-Yau $c_1^2leq 3c_2$.
Une surface satisfaisant l’égalité $c_1^2=3c_2$ n’est jamais simplement connexe et Bogomolov demandait à  la fin des années 70 si on peut améliorer l’inégalité de Bogomolov-Miyaoka-Yau en $c_1^2leq ac_2$ avec $a<3$, si on suppose que $X$ est de plus simplement connexe.
Dans cet exposé, on montre qu'il existe des surfaces spin (resp. non-spin) simplement connexes avec $c_1^2/c_2$ arbitrairement proche de 3, et donc que la réponse est négative. La construction se fait à  l’aide de revêtements cycliques du plan ramifiés au-dessus de certains arrangements de cubiques planes lisses, et est un écho des constructions de Hirzebruch de surfaces vérifiant l’égalité $c_1^2=3c_2$ obtenues à  l’aide d’arrangements de droites.

Travail en collaboration avec G. Urzua.