Séminaire de géométrie différentielle

Depuis le début du 20ème siècle, les groupes de torsion infinis ont été la source de nombreux développements en théorie de groupe : groupes de Burnside libre, monstre de Tarski, groupe de Grigorchuck, etc. D’un point de vue géométrique, on aimerait comprendre sur quel type d’espaces un tel groupe peut agir « raisonnablement » par isométries. Dans cet exposé, on étudiera le cas des espaces CAT(0) et plus précisément des complexes cubiques CAT(0). En particulier on présentera un exemple de groupe non moyennable muni d’une action propre sur un complexe cubique CAT(0). Le contenu de cet exposé est un travail en collaboration avec Vincent Guirardel.

Le flot géodésique sur les variétés riemanniennes est un système dynamique d’origine purement géométrique ; cependant relier ses propriétés dynamique à  la géométrie de la variété sous-jacente n’est pas toujours facile. Les travaux de Katok et de Besson-Courtois-Gallot ont montré que pour les variétés compactes à  courbure sectionnelle négative, les variétés localement symétriques correspondent exactement aux extrema de l’entropie. Qu’en est-il pour le flot sur des variétés qui n’admettent pas de structure localement symétrique ? Pour des variétés non-compactes ? Après avoir rappelé l’historique de ce problème, nous présenterons une réponse partielle à  ces questions : dans chaque classe conforme de métrique, les extrema de l’entropie correspondent à  des métriques à  courbure scalaire constante.

On s’intéresse à  classifier les variétés de dimension trois qui admettent une uniformisation CR sphérique, c’est-à -dire qui apparaissent comme le bord à  l’infini de surfaces hyperboliques complexes. J’expliquerai des constructions géométriques explicites qui montrent qu’une infinité de variétés hyperboliques réelles admettent une uniformisation CR sphérique.

This talk will describe various examples of surface groups in SO(4,1) in terms of fundamental domain of its action on S^3. This includes the first examples by Gromov-Lawson-Thurston, and new examples. We will also look at the quotient 3 manifolds which are circle bundles over closed surfaces and a proof of a soft bound on the Euler number of such circle bundles.

In a joint work with Mikaela Pilca (University of Regensburg-Germany), we establish a lower bound for the first eigenvalue of the Spin$^c$ Dirac operator defined on a Kähler-Einstein manifold $M$ of positive scalar curvature. This lower bound involves the index of $M$, its scalar curvature and an integer defining the Spin$^c$ structure. The limiting case is characterized by the existence of special spinor fields called Kählerian Killing spinors. As a geometric application of the limiting case, we prove that the only harmonic complex forms of type $(k, k)$ ($k>0$) on Kähler-Einstein manifolds admitting a complex contact structure are the constant multiples of the Kähler form.

On regarde des convexes dans R^{d+1} (muni de sa métrique Lorentzienne standard) tels que l’application de Gauss soit surjective sur l’espace hyperbolique. Comme pour les corps convexes, on peut définir des mesures d’aires pour ces convexes, et étudier des problèmes de mesure prescrite. Une classe d’exemples de tels convexe vient de variétés lorentziennes plates étudiées en relativité générale. Dans Minkowski, cela se donne des convexes invariants pour l’action de certains groupes d’isométries. On étudiera le problème de Minkowski (prescription de l’aire) pour ces convexes. Travaux partiellement en commun avec Francesco Bonsante et Giona Veronelli.

L’étude du flot de Ricci passe très souvent par la compréhension des conditions de positivité sur le tenseur de courbure qui sont stables sous l’action du flot de Ricci. Un principe du du maximum dà» à  Hamilton montre que l’étude des ces « conditions invariantes » revient à  l’étude de certains cônes invariants sous le flot d’un champ de vecteur sur l’espace des « opérateur de courbure algébriques ». Dans l’exposé on verra des résultats montrant certaines restrictions sur la taille de ces cônes invariants, en particulier ils ne peuvent pas contenir dans leur intérieur l’opérateur de courbure de CP^n, à  l’exception cône des opérateurs à  courbure scalaire positive.

Soit G un graphe plongé dans la sphère. Quand est-ce que G est le 1-squelette d’un polyèdre inscrit dans un hyperboloide à  une nappe ? On montrera que c’est le cas si et seulement si G est le 1-squelette d’un polyèdre inscrit dans la sphère et qu’il a un cycle hamiltonien. La preuve repose sur la description des angles dièdres des polyèdres idéaux dans l’espace anti-de Sitter. Un résultat analogue s’applique aux polyèdres inscrits dans un cylindre, en relation avec une géométrie « transitionnelle » entre hyperbolique et anti-de Sitter. Travail en commun avec Jeff Danciger et Sara Maloni.

La moyennabilité des groupes a été introduite à  la suite du paradoxe de Banach-Tarski qui permet de découper une boule de R^3 en cinq morceaux, les réassembler pour faire deux boules (de même rayon que la boule initiale). Les sous-groupes aléatoires invariants permettent de compactifier d’un coup les réseaux et les sous-groupes normaux d’un groupe localement compact fixé et donne une vision probabiliste à  ces objets. J’introduirai ces deux notions en essayant de faire appel à  des objets connus et j’expliquerai pourquoi les sous-groupes aléatoires invariants et moyennables vivent dans le radical moyennable. Ce qui répond à  une question qui était à  la mode parmi les gens qui s’intéressent à  ces objets.

Une structure bilagrangienne sur une variété symplectique est la donnée de deux feuilletages lagrangiens transverses. Dans un premier temps je vais décrire ces structures et leurs propriétés remarquables, puis étudier leurs relations possibles avec les structures hyperkähleriennes, qui sont l’analogue quaternionique des structures kähleriennes. Dans un second temps, nous verrons que l’étude de ces structures est pertinente en théorie de Teichmà¼ller, notamment dans la description de la géométrie de l’espace quasifuchsien. Il s’agit de travaux en cours en collaboration avec Andy Sanders.