Séminaire de géométrie différentielle

We prove that the stability index of a compact constant mean curvature (CMC) surface in the Euclidean space or in the unit sphere is bounded from below by a linear function of its genus. We also will discuss some results in the case of free-boundary CMC surfaces in a mean convex body of R^3. These results are part of joint works with Darlan de Oliveira.

Par la formule de la signature de Hirzebruch et d’Atiyah, Patodi et Singer, l’invariant êta du bord totalement géodésique $M$ d’une variété orientée plate $X$ de dimension $4k$ doit être un nombre entier. Nous démontrons un résultat similaire dans un contexte plus général: si $X$ est une variété Riemannienne compacte, localement conformément plate et à  bord $M$, alors l’invariant êta de $M$ doit être un entier, sans aucune condition sur le plongement de $M$ dans $X$. Ce résultat fournit des obstructions à  l’existence d’une métrique localement conformément plate sur $X$ prescrite le long de $M$.

In this talk we will show some topological and geometrical results for free boundary submanifolds under some hypothesis on the length of traceless second fundamental form. If time permits, we will deal with the problem of prescribe the curvature on Riemannian manifolds with boundary.

La courbure de Gauss d’un corps convexe peut être vue comme une mesure (avec certaines propriétés) sur la sphère unité, étendant ainsi la notion de courbure de Gauss des convexes réguliers. Le problème d’Alexandrov consiste, à  partir d’une telle mesure, à  reconstruire le convexe. Pour les convexes de l’espace euclidien, une façon de résoudre ce problème est de se ramener à  un problème de transport optimal sur la sphère.
Pour les convexes de l’espace hyperbolique, ce problème de prescription de la courbure de Gauss est tout aussi naturel. Je montrerai comment définir la courbure de Gauss par une propriété de transport de mesures et comment cette approche permet de résoudre le problème d’Alexandrov en se ramenant à  un problème d’optimisation non linéaire. Si le temps le permet, j’expliquerai comment résoudre ce problème d’optimisation.
Travail en commun avec Jérôme Bertrand.

We discuss a spectral problem characterising the stability of apparent horizons in General
Relativity. Apparent horizons are closed (compact, without boundary) Riemannian surfaces
modelling sections of horizons in black hole spacetimes, namely Lorentzian manifolds satisfying
Einstein equations and containing light-trapped regions. After presenting the geometric elements
relevant for this kind of surfaces, we will formulate the (geometric) spectral problem associated
with the so-called stability operator of Marginally Outer Trapped Surfaces (MOTS), an elliptic
operator defined on these apparent horizons. Interestingly, such spectral problem is equivalent
to the one associated with a magnetic Laplacian with imaginary magnetic field, the magnetic field
term corresponding to the black hole rotation (a potential given by the apparent horizon curvature
is also present). This connection offers a potentially rich bridge between the original geometric
problem in relativity and the spectral analysis study of complexified-magnetic Laplacians.

Soit $M = tilde M/Gamma$ une variété à  courbure négative, de groupe fondamental $Gamma$. La croissance des orbites de $Gamma$ sur $tilde M$ est une indication précise de la complexité de la topologie de $M$, fortement reliée aux propriétés dynamiques de son flot géodésique et au spectre du Laplacien en courbure constante.

Nous montrerons sur des exemples simples de surfaces riemanniennes les liens entre ces différents concepts dynamiques, topologiques et géométriques, grâce à  un contrôle précis de la série de Poincaré associée au groupe fondamental. Nous verrons en particulier comment de petites perturbations de la métrique riemannienne peuvent avoir des effets inattendus sur ces croissances d’orbites.

Travail en collaboration avec Marc Peigné et Pierre Vidotto

We consider a surface S generically immersed in the 4-ball B_4 and bounded by a transverse link L in S_3. Under some conditions at the boundary, we express the self-linking number sl(L) (w.r.t. the contact structure) as

sl(L) = −χ(S) + 2D_S + wind_+

where χ denotes the Euler characteristic, D_S is the number of crossing points and wind_+ counts the tangent planes to S which are Lagrangian and J-complex for some complex structure J on R^4.

We will sketch the proof, discuss the case when the condition at the boundary is not satisfied, give examples and look at the relevance of the formula for minimal surfaces.

Dans ce travail en cours et en commun avec Ines Kath (Greifswald) et Georges Habib (Beyrouth), je m’attacherai à  décrire quelques propriétés des variétés riemanniennes portant une fonction satisfaisant une équation liant sa hessienne au tenseur de Ricci de la variété.

L’espace de Minkowski est l’analogue lorentzien de l’espace euclidien. Il est bien connu qu’il existe un plongement isométrique du plan hyperbolique dans l’espace de Minkowski de dimension 2+1, qui est l’analogue du plongement isométrique de la sphère dans l’espace euclidien. Contrairement au cas euclidien, ce plongement isométrique n’est pas unique à  isométries globales près. Je présenterai des résultats, obtenus conjointement avec Francesco Bonsante et Peter Smillie, sur le problème de la classification de tels plongements isométriques, qui est fortement relié aux équations de Monge-Ampère, aux applications harmoniques entre surfaces riemanniennes et à  la théorie de l’espace de Teichmà¼ller universel.

Dans cet exposé on va d’abord introduire une classe d’espaces métriques singuliers, les espaces stratifiés, qui généralisent la notion de singularité conique isolée et ont été étudiés des points de vue topologique et analytique. On va définir une notion de courbure minorée dans ces espaces et montrer comment cela entraîne une borne inférieure pour le spectre du laplacien ; dans le cas o๠cette borne est atteinte on obtient un théorème de rigidité qui, restreint aux variétés compactes lisses, redémontre le théorème d’Obata-Lichnerowicz. La dernière partie de l’exposé sera dédiée aux conséquences de ces résultats sur l’existence d’une métrique à  courbure scalaire constante dans un espace stratifié.