Séminaire de géométrie différentielle

The Gauss curvature measure of a pointed Euclidean convex body is a measure on the unit sphere which extends the notion of Gauss curvature to non-smooth bodies. Alexandrov’s problem consists in finding a convex body with given curvature measure. In Euclidean space, A.D. Alexandrov gave a necessary and sufficient condition on the measure for this problem to have a solution.

In this paper, we address Alexandrov’s problem for convex bodies in the hyperbolic space $\mathbf{H}^{m+1}$ . After defining the Gauss curvature measure of an arbitrary hyperbolic convex body, we completely solve Alexandrov’s problem in this setting. Contrary to the Euclidean case, we also prove the uniqueness of such a convex body. The methods for proving existence and uniqueness of the solution to this problem are both new.

En collaboration avec Felix Schulze (Warwick University)

Les solutions auto-similaires expansives du flot de Ricci sont des solutions n’évoluant que par homothéties et difféomorphismes. De telles solutions sont aussi appelées solitons (gradients) expansifs de Ricci. Ces métriques sont de bons candidats pour lisser instantanément des singularités métriques (isolées) éventuellement kahlériennes. Nous traitons ici la question de l’unicité de telles solutions ayant pour condition initiale un cône métrique fixé. Comme première étape, nous développons une fonctionnelle de Lyapunov appelée entropie relative dans ce contexte.

En collaboration avec Felix Schulze (Warwick University)

Les solutions auto-similaires expansives du flot de Ricci sont des solutions n’évoluant que par homothéties et difféomorphismes. De telles solutions sont aussi appelées solitons (gradients) expansifs de Ricci. Ces métriques sont de bons candidats pour lisser instantanément des singularités métriques (isolées) éventuellement kahlériennes. Nous traitons ici la question de l’unicité de telles solutions ayant pour condition initiale un cône métrique fixé. Comme première étape, nous développons une fonctionnelle de Lyapunov appelée entropie relative dans ce contexte.

Dans cet exposé, je présenterai des travaux récents sur le flot géodésique des variétés non-compactes à  courbure négative, dont la plupart sont en collaboration avec B. Schapira et S. Gouà«zel. Je commencerai par rappeler le contexte géométrique et certains de ses liens avec la théorie géométrique des groupes et l’analyse sur les variétés. Puis je présenterai diverses visions classiques de l’entropie du flot géodésique en courbure négative, à  partir desquelles j’introduirai la notion d’entropie à  l’infini.

On dit qu’une variété présente un « trou critique » si l’entropie totale est strictement plus grande que l’entropie à  l’infini. J’expliquerai enfin pourquoi ce concept de trou critique semble central pour l’étude des dynamiques non-compactes, et je présenterai divers résultats que nous avons obtenu à  ce sujet et quelques travaux en cours.

Les flots de Reeb sont une famille spéciale de flots qui préservent le volume dont la dynamique, en dimension 3, a été beaucoup étudie les derniers 30 ans. Nous savons par exemple que tout champs de Reeb a au moins deux orbites périodiques et que certains d’entre eux admettent des sections de Birkhoff. Si on considère un champ de vecteurs qui admet une section de Birkhoff dont le bord est un entrelac L, alors la variété ambiante privée de L fibre sur le cercle. Les fibres définissent un livre ouvert de la variété. Nous disons que le champ de vecteurs est porté par le livre ouvert.

Nous avons montré que tout champ de Reeb non-dégénéré est porté par un livre brisé (une généralisation de la notion de livre ouvert). Grâce à  cette construction, nous avons étudié certains aspects de la dynamique des flots de Reeb : nous établissons par exemple, qu’un champ de Reeb non-dégénéré a deux ou une infinité d’orbites périodiques ; et que tout champ de Reeb non-dégénéré sur une variété non-graphée est d’entropie topologique positive. Ceci est un travail en collaboration avec Vincent Colin et Pierre Dehornoy.

The Willmore energy arises naturally as a measure of how curved an immersed surface in $mathbb{R}^3$ is, with applications in relativity (the Hawking mass). Willmore immersions are critical points of this energy. We will study sequences of Willmore surfaces, which are subject to concentration-compactness i.e. : bubbling phenomena. We will focus on simple minimal bubbles, and detail consequences on the compactness below certain thresholds.

This talk is about a joint work, still in progress, with Friedrich Tomi (Heidelberg University, Germany) where one investigates the existence of solutions which are invariant by a Lie subgroup of the isometry group of a Riemannian manifold $M$; acting freely and properly on $M$, to the Dirichlet problem of a certain class of partial differential equations on $M$: Typical examples of this class are the $p$-Laplacian PDE and the minimal surface equation. This approach may reduce the study of the Dirichlet problem in unbounded to bounded domains and also allows to prove the existence of solutions on domains which are not necessarily mean convex in the case of the minimal surface equation for certain boundary data.

It is known that minimal surfaces are unknotted in 3-sphere. We will see how this fact can be generalized.

La notion de représentation maximale du groupe fondamental d’une surface dans un groupe de Lie hermitien généralise naturellement la notion de représentation fuchsienne dans $PSL(2,mathbb{R})$. Dans cet exposé, j’expliquerai comment construire une unique surface maximale dans l’espace pseudo hyperbolique $mathbb{H}^{2,n}$ qui est préservée par l’action d’une représentation maximale dans un groupe de Lie de rang 2. Comme conséquence, nous prouvons une conjecture de Labourie pour les représentations maximales en rang 2. Il s’agit d’un travail en commun avec Brian Collier et Nicolas Tholozan.

J’expliquerai comment un principe de compacité-concentration permet de montrer divers résultats, nouveaux ou déjà  connus, concernant la constante d’observabilité de l’équation des ondes, puis en application, des résultats sur les mesures quantiques d’une variété riemannienne compacte. Il s’agit de travaux en collaboration avec Y. Privat et E. Trélat.