Séminaire de géométrie différentielle

Dans cet exposé on s’intéressera aux surfaces de demi-translation et plus particulièrement aux surfaces à petits carreaux de demi-translation. Après avoir rappelé quelques résultats sur la répartition de ces surfaces dans les espaces de modules de surfaces plates, j’exposerai des résultats récents et des conjectures sur la géométrie et la combinatoire de ces surfaces en grand genre.

Dans le cas générique (strates principales des espaces de modules), ces résultats sont dus à un travail en collaboration avec V. Delecroix, P.Zograf and A. Zorich, et s’interprètent également en terme de mutlicourbes fermées sur les surfaces. J’expliquerai également ce que l’on sait faire dans le cas des strates impaires et les conjectures correspondantes (travail en commun avec E. Duryev et I. Yakovlev).

L’indice de Morse d’un point critique d’un lagrangien L est la dimension de l’espace vectoriel
maximal sur lequel la dérivée seconde D^2 L s’annule. Dans la théorie classique des variétés de Hilbert, on montre que l’indice de Morse est semi-continu inférieurement, tandis que la somme de l’indice
de Morse et de la nullité (la dimension du noyau de l’opérateur différentiel associé à la dérivée seconde) est semi-continu supérieurement.
Dans un article récent (arXiv:2212.03124) de Francesca Da Lio, Matilde Gianoca, et Tristan
Rivière, une nouvelle méthode d’estimation de l’indice de Morse est développée dans le cas des
lagrangiens invariants conformes (ce qui inclut les applications harmoniques) en dimension 2. La
preuve repose sur une analyse délicate du comportement de la dérivée seconde dans les régions des
« cous » — qui lient la surface macroscropique à ses « bulles » — ainsi qu’une estimée ponctuelle de
la solution dans ces régions.
Dans cet exposé, nous montrerons comment généraliser cette méthode à l’énergie de Willmore, un
lagrangien invariant conforme associé aux immersions d’une surface de l’espace Euclidien. Les points
critiques de l’énergie de Willmore vérifiant une équation elliptique non-linéaire d’ordre 4, certaines
étapes feront apparaître de redoutables nouvelles difficultés techniques.
Si le temps le permet, nous essaierons de montrer le caractère universel de cette méthode, qui
laisse entrevoir de nombreuses extensions possibles : fonctionnelles de type Ginzburg-Landau en dimension 2, applications bi-harmoniques en dimension 4, fonctionnelle de Yang-Mills en dimension 4,
et généralisation de ces méthodes aux problèmes de min-max.
Travail en collaboration avec Tristan Rivière (ETH Zürich).

Soit X une variété hyperbolique géométriquement fini, c-a-d, une variété hyperbolique avec un domaine fondamental de polyédrale fini. Il existe une mesure unique sur la fibre tangent unitaire invariante par le flot géodésique d’entropie maximal, et on considère son relevé dans le fibré des repères. Dans un travail commun avec Pratyush Sarkar et Wenyu Pan, on a démontré que le flot de repère est exponentiellement mélangeant par rapport à cette mesure. Pour établir le mélange exponentiel, on utilise un codage dénombrable de flot et une version de la méthode de Dolgopyat, à la Sarkar-Winter et Tsujii-Zhang. Pour surmonter les difficultés de la structure fractale, on a besoin de grand déviation pour la récurrence symbolique dans les grands ensembles.

Hyperbolicité en présence d’un grand système local

Serge Lang a proposé plusieurs conjectures influentes reliant différentes notions d’hyperbolicité pour les variétés algébriques complexes projectives. Par exemple, il a conjecturé que le lieu balayé par les courbes entières coïncide avec le lieu balayé par les sous-variétés qui ne sont pas de type général, du moins après avoir pris les fermetures de Zariski. J’expliquerai que certaines de ces conjectures (dont celle ci-dessus) sont vraies pour les variétés qui admettent un grand système local complexe au sens de Campana et Kollár (par exemple toute variété qui possède une variation de structures de Hodge mixtes dont l’application des périodes est finie).

L’espace des métriques kähleriennes.

Un problème classique en géométrie kählerienne est de trouver des métriques kähleriennes spéciales, cet à dire avec des bonnes propriétés de courbure. En relation avec ce problème, l’étude de l’espace des métriques kähleriennes, que l’on denote H, devient cruciale.

Cet espace à été étudié à partir des année 80 quand Mabuchi a introduit un produit scalaire sur chaque espace tangent. À partir de cela, une famille de distances d_p, p>=1, on été définie sur H en démontrant que (H, d_p) est une espace métriques mais pas complet.
Dans la première partie cette exposé on donnera un panorama de tout ce que on sait sur cet espace. Puis parlera plus en détail de ses géodésiques, son complété métrique et des distances d_p.
Les résultats présentés dans cette exposé sont basés sur des deux travaux, un en collaboration avec Vincent Guedj et l’autre en collaboration avec Chinh Lu.

En 1986 William Thurston a introduit une distance Lipschitz sur
l’espace de Teichmueller de surfaces fermées ou avec cusps. Avec Daniele
Alessandrini on a étendu cette théorie à l’espace de Teichmueller des
surfaces à bord géodésique. On construit une famille de géodésiques pour
l’espace de Teichmueller des surface à bord, qui généralisent les lignes
d’étirement construites par Thurston. Comme corollaire, on trouve une
nouvelle classe de géodésique dans l’espace de Teichmueller des surfaces
fermées avec la distance Lipschitz. Ce travail est en collaboration avec
Daniele Alessandrini (Columbia University).