Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz

Motivé par ses travaux et ceux de Behrend dans les années 30 concernant les ensembles primitifs d’entiers, Erdős conjectura en 1948 que si $\mathcal{A}$ est un ensemble dénombrable de réels $>1$, tel que $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{1}{\log x}\sum _{\alpha \le x,\alpha \in \mathcal{A}}\frac{1}{\alpha }>0$, alors pour tout $\epsilon >0$, il existe une infinité de triplets $(\alpha ,\beta ,n)\in {\mathcal{A}}^2\times \mathbb{N}$ tels que $\alpha \ne \beta$ et $|n\alpha -\beta |<\epsilon .$ Très peu de temps avant sa mort en 1996, il avait offert 500$ pour la résolution de ce problème de nature diophantienne.

Dans cet exposé, je présenterai un travail récent, en collaboration avec Dimitris Koukoulopoulos et Jared Lichtman, où l’on démontre cette conjecture.

En se laissant guider par l’exemple des ensembles de Sidon (ensembles de nombres dont les sommes de deux éléments sont uniques, très étudiés en combinatoire additive), je présenterai des résultats récents, en collaboration avec R. Riblet, où des techniques de théorie des ensembles permettent de construire des ensembles « grands » en certains sens (cardinalité, mesure ou dimension) tout en étant « épars » car évitant des configurations prescrites (pas de relation linéaire, ou ne contenant pas de parallélogramme, etc.). Des questions subtiles en lien avec l’axiome du choix seront évoquées.

Random multiplicative functions are random models for arithmetic functions such as Dirichlet characters. Moments of sums involving random multiplicative functions are related to interesting counting problems, and understanding these counts can allow one to deduce the limiting distribution of the sums. Using this idea, Benatar, Nishry, and Rodgers showed that the limiting distribution of exponential sums with random multiplicative coefficients is Gaussian. However, they found that moments do not suffice if one wishes to understand the maximum size of these exponential sums. After introducing random multiplicative functions, we will discuss why this is the case, and show how one can obtain conjecturally sharp lower bounds for the maximum size of exponential sums with random multiplicative coefficients.

We consider some questions of arithmetic statistics for matrices of a given rank or fixed determinant or characteristic polynomial, whose entries are parametrised by arbitrary polynomials over the integers. In particular, some of our results improve a recent bound of V. Blomer and J. Li (2022) for counting matrices of given rank that are parametrised by monomials.

Joint works with Philipp Habegger, Ali Mohammadi and Igor Shparlinski.

The elliptic curves $E_d:y^2=x^3–dx$, where $d$ is a fourth-power-free integer, form a family of quartic twists. We study in this talk the average analytic rank $r(d)$ over the family. Under the GRH, we show that the average analytic rank is bounded by $13/6$, and by $3/2$ assuming a conjecture of Heath-Brown and Patterson about the distribution of quartic Gauss sums. Since the same result holds when we restricts to the subfamilies of curves $E_d$ where the root number is fixed (i.e. $W(E_d)=\pm 1$), this shows that there is a positive proportion of curves with $r(E_d)=0$ among the curves with even analytic rank, and a positive proportions of curves with $r(E_d)=1$ among the curves with odd analytic rank.

Our results are similar to the results obtained by Heath-Brown for the analytic rank of the quadratic twists $d{y}^2=x^3+ax+b$ under the GRH. For the quadratic twists, it was shown in the recent ground-breaking work of Smith that half of the quadratic twists have algebraic rank 0 and half of the quadratic twists have algebraic rank 1, under the assumption that the Tate-Shafarevic group is finite. For the case of the quartic twists $E_d:y^2=x^3–dx$, no bound for the average algebraic rank is known.

This is joint work with L. Devin, A. Fazzari and E. Waxman.

La conjecture des $k$-uplets de nombres premiers par Hardy et Littlewood prédit la répartition des $k$ uplets de nombres premiers séparés par des entiers donnés. Ainsi si $k=2$, elle conjecture l’asymptotique du  nombre de pairs de nombres premiers jumeaux (dont la différence vaut $2$). Malgré les avancées récentes, elle est encore hors de portée mais permet de prédire des résultats importants sur les nombres premiers.

En 2004, sous la conjecture de Hardy et Littlewood, Montgomery et Soundararajan ont établi  une relation asymptotique pour les moments
$$M_k(X,h):=\frac{1}{X}\sum _{1\le n\le X}(\psi (n+h)-\psi (n)-h{)}^k$$
o\`u
$\psi (x)$ est la fonction sommatoire de la fonction de von Mangoldt $\mathrm{\Lambda }.$ Pour $k$ pair, cela fournit un équivalent. Nous
étudions le cas impair et en particulier le cas $k=3$.
Nous présenterons les nouvelles techniques développées pour le cas $k=3$ pour obtenir un équivalent et expliquerons les heuristiques dans le cas $k$ impair

A celebrated result of Duke from the 80’s says that closed geodesics on the modular curve equidistribute as the discriminant tends to infinfity. This is the real quadratic analogue of the equidistribution of CM-points on the modular curve associated to class groups of imaginary quadratic fields. In this talk I will describe a number of generalizations of the result of Duke including; the distribution of the homology classes of closed geodesics, and hyperbolic orbifolds associated class groups of real quadr. fields (as defined by Duke-Imamouglu-Toth). I will emphasize the similarities and differences with the imaginary case. If time permits I will also discuss a q-orbit analogue.

Soit $F(X,Y)$ une forme binaire à coefficients entiers, de discriminant non nul, de degré $\ge 3$.
A quelle condition, nécessaire et suffisante, existe-t-il une forme $G(X,Y)$, non $GL(2,Z)$-équivalente à $F(X,Y)$, telle qu’on ait l’égalité des images $F(Z^2)=G(Z^2)$ ?
La condition trouvée repose sur l’existence d’un élément d’ordre $3$, d’un certain type, dans le groupe d’automorphismes de $F$.
Travail en commun avec Peter Koymans.

Résumé:

La difficulté du passage de la représentation digitale d’un entier à sa représentation multiplicative (en tant que produit de facteurs premiers) est à l’origine de nombreux problèmes ouverts importants en mathématiques et en informatique. Nous présenterons une sélection de résultats et de méthodes sur la répartition digitale de suites intéressantes, notamment les nombres premiers et les carrés, obtenus en collaboration avec Christian Mauduit, Michael Drmota, et plus récemment Guy Barat, Cécile Dartyge, Bruno Martin, Igor Shparlinski et Cathy Swaenepoel.

La notion de fonction puissance d’un nombre entier, introduite par Mazur (2000) fait intervenir le noyau (ou radical) d’un entier. Cette fonction lui  permet de définir une généralisation des puissances (« powered numbers »). Après avoir rappelé des résultats récents sur le noyau d’un entier, nous présenterons des résultats nouveaux sur la fonction de répartition des puissances généralisées, ainsi que sur un problème additif concernant la représentation d’un entier comme somme de puissances généralisées. Ce travail a été réalisé en collaboration avec J. Brüdern.

Soient $\mathcal{A}$ un ensemble fini d’entiers naturels non-nuls et $y\ge 1$. Nous donnons une minoration effective du cardinal de l’ensemble $\{n\in \mathcal{A};p|n\Rightarrow p\le y\}$ sous la condition d’une bonne connaissance du niveau de répartition de l’ensemble $\mathcal{A}$. Quelques conséquences seront ensuite abordées, dont une application aux valeurs friables de polynômes ou de formes binaires à coefficients entiers, puis une application aux entiers friables voisins.

Decomposing functions in terms of higher-order harmonics is a central topic in higher-order Fourier analysis. In its simplest form, such a decomposition is as follows. For a bounded function defined on a finite abelian group $f:Z\to \mathbb{C}$, we write it as $f=f_s+f_r+f_e$ where: $f_s$ is the sum of « a few » Fourier characters with large amplitudes, $f_r$ is a function whose largest Fourier amplitude is « small » (which is the same as having a small Gowers $U^2$ norm), and $f_e$ is small in $L^2$. Higher-order analogues where we ask $f_r$ to be small in the Gowers $U^d$ norm for $d\ge 3$ are interesting as we may use them to, e.g., prove Szemerédi’s theorem with good quantitative bounds. Many results guarantee that such a decomposition exists, but few are implementable in applied scenarios. In this talk, we will present a practical approach to finding such a decomposition in the $U^3$ case and demonstrate its performance on synthetic data.