Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz

Legendre pairs are sequences used to build Hadamard matrices, whose existence for every order multiple of $4$ is a long-standing open conjecture. Since brute-force search is infeasible beyond moderate lengths, we speed it up by fixing the $M$-compression of the pairs and pruning candidates via linear complexity and trace representation. This yields new binary Legendre pairs $LP(63)$ and $LP(75)$ supporting an existence conjecture for $q^2$-uncompressed pairs, implemented via Maple-generated meta-programmed C code.

Résumé: Les sommes de caractères sont un outil fondamental en théorie analytique des nombres.

Nous aborderons plusieurs résultats et problèmes autour des sommes de caractères dans différents régimes, ainsi que leurs analogues pour les fonctions multiplicatives aléatoires. Nous mettrons notamment en évidence certains liens avec des problèmes de nature diophantienne.

We give explicit upper and lower bounds on the size of the coefficients of the modular polynomials $\Phi_N$ for the $j$-invariant. These bounds make explicit the best previously known asymptotic bounds. This is joint work with Fabien Pazuki and Florian Breuer.

Le miroir d’un entier n dans une  base b donnée est l’entier obtenu en inversant l’ordre  des chiffres de n dans cette base.
Par exemple 31 est le miroir de 13. Dans cet exposé nous montrons qu’il existe une infinité de nombres premiers p dont le miroir dans une base donnée est un entier avec peu de facteurs premiers. Il s’agit d’un travail en commun avec Joël Rivat et Cathy Swaenepoel.

Dans cet exposé, nous revisiterons un sujet classique de la théorie multiplicative des nombres. Inspirés par les travaux de Hildebrand et Tenenbaum, notre objectif est d’obtenir une formule asymptotique en petits intervalles pour le nombre d’entiers ayant exactement k diviseurs premiers distincts. Nous mettrons l’accent sur l’uniformité en k, ainsi que sur la structure anatomique typique des entiers $E_k$.

En 1999, Wen Chao Lu a donné une démonstration par l’analyse réelle du théorème des nombres premiers avec terme d’erreur, “à epsilon près” celui obtenu un siècle auparavant par La Vallée Poussin au moyen de l’analyse complexe. En 2024, Gozé a, dans sa thèse, donné une version quantitative de ce résultat.

Dans un travail en cours avec Gozé et Bruno Martin, nous reprenons les démonstrations de Lu et Gozé, et tentons d’en dégager les idées essentielles. L’exposé présentera sous une forme simple certaines d’entre elles.