Séminaire EDP, Analyse et Applications | Metz

Résumé à venir

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We study scattering by obstacles and we consider the scattering kernel $s(t, \theta, \omega)$ which is the Fourier transform of the scattering amplitude. First, we prove the Poisson relation which says that the singularities of scattering kernel with respect to t are included in the set of sojourn times of generalised rays incoming with direction ω and outgoing with direction $\theta$. Second, we establish that for almost all directions $(\omega, \theta)$ the Poisson relation becomes an equality. Thus the sojourn times are observables and they can be considered as scattering data. The situation has similarity with the Poisson relation concerning the singularities of $\sum_j \cos(\lambda_j t)$, where $\lambda^2_j$ are the eigenvalues of the Dirichlet Laplacian $-\Delta$ in bounded domains. We will discuss different inverse scattering problems related to the set of sojourn times. In particular, for a large class of obstacles the knowledge of the sojourn times for almost all directions determines uniquely the form of the obstacle.

The results are obtained in joint works with L. Stoyanov.

Dans cet exposé, je présenterai une approche mathématique des tiges courbes minces dans le cadre de l’élasticité linéaire. Je montrerai que tout déplacement d’une tige
courbe est la somme d’un déplacement de Bernoulli-Navier et de déplacements résiduels (avec cisaillement et gauchissement dans la décomposition la plus complète). Je donnerai des estimations des termes de cette décomposition par rapport à $\delta$ (l’épaisseur de la tige) et la norme $L^2$ du tenseur des déformations. Je terminerai par l’étude du comportement asymptotique d’une tige courbe soumise à une charge très particulière dans le cadre de l’élasticité linéaire.

Nous considérons l’équation de Schrödinger non linéaire défocalisante (les solutions sont globales), et examinons la continuité par rapport à la puissance, dans différents espaces fonctionnels. Un cas limite correspond à la convergence vers l’équation de Schrödinger logarithmique, et demande une étude fine de certaines équations différentielles, ainsi qu’un passage en formulation fluide.

L’exposé est basé sur un travail en commun avec Quentin Chauleur et Guillaume Ferriere.

Simulating and modeling flexible fibers is an crucial issue in many microbiological problems. We focus on a recent result on convergence and well-posedness of the equations governing the dynamics of a discretized version of a continuous, flexible, inextensible filament immersed in a fluid at a low-Reynolds number.
The elastohydrodynamic equation governing the motion of such a filament is a nonlinear 4th-order PDE system. Complexity in analytical and numerical study of the system has led to the use of simplified models, e.g. the ”N-link” [F. Alouges, A. DeSimone, L. Giraldi, M. Zoppello, Self-propulsion of slender microswimmers by curvature control : N-link swimmers, Int. J. Non-Linear Mech.,2013.], a mechanical discretization into N rigid segments with elastic joints.
While numerical evidence shows convergence of this model to the continuous case [C. Moreau, L. Giraldi, H. Gadˆelha, The asymptotic coarse-graining formulation of slender-rods, bio-filaments and flagella, J. R. Soc. Interface, 2018], rigorous convergence is nontrivial: the equations of the N-link are not a classical approximation of the underlying PDE.
We prove existence and uniqueness of solutions for the N-link system and demonstrate their convergence to solutions of the classical PDE, leading also to an alternative proof of existence for the continuous PDE, complementing [Y. Mori, L. Ohm, Well-posedness and applications of classical elastohydrodynamics for a swimming filament, Nonlinearity, 2023].
This work was done in collaboration with F. Alouges, A. Lefebvre-Lepot and C. Moreau.

Dans cet exposé, nous étudions un modèle de nanofil ferromagnétique avec un défaut, représenté sous la forme d’une encoche unique et unimodale. Par un argument de « théorème du col », nous démontrons l’existence et l’unicité d’un point critique pour l’énergie ferromagnétique associée à ce modèle. Ce point critique obtenu correspond à une solution topologique (appelée un mur de domaines) localisée au voisinage de l’encoche.

Il s’agit d’un travail en collaboration avec Raphaël Côte, Guillaume Ferrière, Ludovic Godard-Cadillac et Yannick Privat.

Les systèmes de lois de conservation hyperboliques tendent naturellement à avoir des solutions discontinues. Une des problématiques centrales en termes d’analyse numérique pour ce type d’EDP porte donc sur la capacité d’un schéma numérique à capturer ces discontinuités. Les profils de choc totalement discrets correspondent aux approximations des chocs par des schémas aux différences finies conservatifs. L’existence et la stabilité des profils de choc totalement discrets sont alors considérées comme une condition améliorée de consistance et impliquent que le schéma aux différences finies devrait être capable d’approcher les discontinuités assez précisément.

L’objectif de cet exposé sera de présenter les récents développements concernant la stabilité des profils de choc totalement discrets. Plus précisément, la plupart des résultats connus jusqu’à récemment se sont concentrés sur la stabilité des profils de choc de faibles amplitudes. On présentera un résultat de stabilité nonlinéaire orbitale pour les profils de choc totalement discrets dans un cadre assez général, où l’hypothèse de faible amplitude a été remplacée par une hypothèse de stabilité spectrale vérifiée par le linéarisé du schéma au niveau du profil de choc totalement discret. Ce résultat repose de manière centrale sur une description précise de la fonction de Green du même linéarisé.

L’opérateur de Bloch–Torrey -h²Δ+ix  est un opérateur différentiel non auto-adjoint qui gouverne l’évolution temporelle de la magnétisation de particules porteuses de spin dans un corps soumis à un champ magnétique. Cet opérateur est central dans la modélisation de l’IRM de diffusion (une technique médicale particulièrement utilisée pour l’imagerie du cerveau). En particulier, la localisation de ses fonctions propres, qui est importante pour les applications, n’est pas encore comprise à l’heure actuelle. L’objectif de cet exposé est de comprendre cette localisation au moyen d’une estimation d’Agmon. L’outil principal est la construction d’un parametrix à l’aide du calcul symbolique des opérateurs pseudodifférentiels à valeurs opérateurs. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Martin Averseng, Frédéric Hérau et Nicolas Raymond.

The lecture addresses time‑dependent convection–diffusion problems with high Péclet number in thin 3D graph‑like networks of curvilinear cylinders connected by nodes of diameter $\mathcal{O}(\varepsilon).$ Inhomogeneous Robin boundary conditions with different intensity factors are imposed on the network boundary. As $\varepsilon \rightarrow 0,$ the network collapses to a graph and the diffusion terms vanish.

Such problems pose singular‑perturbation challenges that standard methods often cannot resolve. I present a systematic asymptotic framework for $\varepsilon \rightarrow 0,$ combining regular expansions on edges with node‑layer and boundary‑layer asymptotics to capture the multiscale flow structure. The analysis justifies reduced graph models, quantifies higher‑order corrections, and uncovers new phenomena in singular regimes.