Le séminaire Théorie des Nombres de Nancy-Metz a lieu les jeudis à
14h30 à l’IECL, en général dans la salle Döblin au 4 ème étage, site de
Nancy.
Organisateurs: Jérémy Dousselin, Youness Lamzouri, et Anne De Roton
Exposés à venir
Aucun évènement dans cette catégorieExposés passés
Une extension probabiliste de la suite d’Oldenburger-Kolakoski
20 octobre 2022 14:30-15:30 - Salle DöblinOratrice ou orateur : Irène Marcovici (IECL) et Damien Jamet (LORIA)
Résumé :
La suite d’Oldenburger-Kolakoski est l’unique suite infinie sur l’alphabet {1,2} qui commence par un 1 et est un point fixe de l’application de codage par plage. Dans cet exposé, nous prendrons un peu de recul par rapport à cette suite bien connue et très étudiée, en introduisant de l’aléa dans le choix des lettres écrites. Cela nous permettra de montrer des résultats portant sur la convergence de la densité de 1 dans les suites ainsi construites. Dans le cas où les lettres sont choisies selon une suite i.i.d. de variables aléatoires ou selon une chaîne de Markov, la densité moyenne de 1 converge. De plus, dans le cas i.i.d., nous arrivons même à démontrer que la densité converge presque sûrement. Il s’agit d’un travail réalisé conjointement par Chloé Boisson, Damien Jamet, et Irène Marcovici.
Conjecture de Manin—Peyre pour une famille de solides admettant des fibrations quadriques
23 juin 2022 11:00-12:00 -Oratrice ou orateur : Zhizhong Huang (IST Austria)
Résumé :
Manin et ses collaborateurs ont conjecturé des formules asymptotiques pour le nombres des points de hauteur anticanonique bornée sur les variétés de Fano. Nous démontrons cette conjecture pour la famille de variétés définies par l’équation $$L_1(x_1,x_2)y_1^2+L_2(x_1,x_2)y_2^2+L_3(x_1,x_2)y_3^2+L_4(x_1,x_2)y_4^2=0,$$ où $L_i$ sont des formes bilinéaires deux à deux non-proportionnelles. La constante arithmétique apparaissant dans le terme principal coïncide avec celle conjecturée par Peyre. La démonstration utilise divers outils de la théorie analytique des nombres. Il s’agit d’un travail en commun avec D. Bonolis et T. Browning.
Sums of Kloosterman sums with multiplicative coefficients
23 juin 2022 14:00-15:00 - Salle DöblinOratrice ou orateur : Igor Shparlinski (University of New South Wales)
Résumé :
We consider Kloosterman sums
$$
K_p(n) = \sum_{x=1}^{p-1} \exp(2 \pi i (nx + x^{-1})/p)
$$
modulo a prime $p$ and define their sums
$$
M_p(N) = \sum_{n \le N} \mu(n) \mathcal{K}_p(n) \qquad \mbox{and}\quad T_{\nu,p}(N) = \sum_{n \le N} \tau_\nu(n) \mathcal{K}_p(n)
$$
twisted by the Möbius function $\mu(n)$ and by the $\nu$-fold divisor function $\tau_\nu(n)$. Fouvry, Kowalski & Michel (2014) and Kowalski, Michel & Sawin (2018) improved the trivial bounds
$$
M_p(N) \ll N \qquad \mbox{and}\quad T_{\nu,p}(N) \ll N (\log N)^{\nu -1}.
$$
for $N \ge p^{3/4+\varepsilon}$ and $N \ge p^{2/3+\varepsilon}$, respectively (for any fixed $\varepsilon>0$). We will explain the ideas of the recent joint work with Maxim Korolev (2020) where both these thresholds are lowered down to $N \ge p^{1/2+\varepsilon}$. We will also discuss some open questions.
Quelques problèmes ouverts sur des familles de suites binaires
23 juin 2022 15:15-16:15 - Salle DöblinOratrice ou orateur : Shalom Eliahou (Université du Littoral Côte d'Opale)
Résumé :
Dans cet exposé, on considérera des familles finies de suites binaires (1 et -1) de même longueur finie n dont les coefficients de corrélation satisfont quelques conditions élémentaires. La question de l’existence de telles familles, et de leur construction, donne lieu à divers problèmes ouverts, avec des ramifications tant théoriques (combinatoire, algèbre, théorie des nombres, etc) qu’appliquées (codes correcteurs, spectrométrie, radars, etc). On se penchera plus spécifiquement sur trois ou quatre problèmes typiques dans ce cadre.
Optimality for Tauberian theorems
22 juin 2022 10:00-11:00 - Salle DöblinOratrice ou orateur : Gregory Debruyne (Ghent University)
Résumé :
One version of the Ingham-Karamata theorem states that for each slowly oscillating function $\tau$ whose Laplace transform admits an analytic continuation beyond the line $\Re s \: s = 0$ must obey the asymptotic law $\tau(x) = o(1)$. This theorem is a cornerstone in Tauberian theory and has plenty of applications in number theory; one of the quickest proofs of the Prime Number Theorem passes through this theorem.
We shall show that the decay rate $o(1)$ in the Ingham-Karamata theorem is optimal even if one assumes analytic continuation of the Laplace transform up to a larger halfplane. The attractive proof is based on the open mapping theorem.
Well-behaved Beurling number systems
22 juin 2022 11:00-12:00 - Salle DöblinOratrice ou orateur : Frederik Broucke (Ghent University)
Résumé :
De l’identité de B.-Reutenauer à la conjecture de Fraenkel et Simpson
17 juin 2022 11:00-12:00 - Salle DöblinOratrice ou orateur : Srečko Brlek (UQAM)
Résumé :
Une identité remarquable relie deux mesures de complexité sur les mots: complexité en facteurs $C(n)$ et complexité palindromique $P(n)$. Il s’avère qu’elle est aussi valide quand on remplace la complexité palindromique $P(n)$ par celle des facteurs carrés $S(n)$. Ce résultat, facile à établir pour les mots finis, suggère cependant un lien avec la conjecture sur le nombre de facteurs carrés distincts dans un mot : les graphes de Rauzy y jouent un rôle essentiel.
Combinatoire des mots et théorie de Markoff
16 juin 2022 14:30-15:30 - Salle DöblinOratrice ou orateur : Christophe Reutenauer (UQAM)
Résumé :
La théorie de Markoff, élaborée par lui pour les formes quadratiques, a été étendue par Hurwitz et ses successeurs, aux approximations des réels par des rationnels. Elle concerne les nombres qui sont « mal approximés », le plus mauvais d’entre eux étant le nombre d’or. On verra comment certains mots sur un alphabet à deux lettres, appelés mots de Christoffel, s’introduisent naturellement dans cette théorie.
Ensembles d'entiers sans progression arithmétique
9 juin 2022 14:30-15:30 - Salle DöblinOratrice ou orateur : Anne de Roton (IECL)
Résumé :
Loi Gaussienne du nombre d'entiers sans facteur carré dans les intervalles courts
19 mai 2022 14:30-15:30 - Salle DöblinOratrice ou orateur : Sacha Mangerel (Université de Durham)
Résumé :
Pour modéliser les premiers, nous considérerons au cours de l’exposé de telles questions de nature statistique concernant la suite des entiers sans facteur carré (SFC), parmi d’autres suites « criblées ». J’espère pouvoir motiver et expliquer notre résultat principal inconditionnel qui énonce que le nombre de SFC dans les intervalles courts uniformément aléatoires suit en effet une loi Gaussienne, ce faisant résolvant plusieurs problèmes de R.R. Hall.
Ceci est un travail en commun avec O. Gorodetsky et B. Rodgers.
Summing $\mu(n)$: an even faster elementary algorithm
12 mai 2022 14:30-15:30 - Salle DöblinOratrice ou orateur : Lola Thompson (Université de Utrecht)
Résumé :
We present a new elementary algorithm for computing $M(x) = \sum_{n \leq x} \mu(n),$ where $\mu(n)$ is the Möbius function. Our algorithm takes
\[\begin{aligned}
\mathrm{time} \ \ O_\epsilon\left(x^{\frac{3}{5}} (\log x)^{\frac{3}{5}+\epsilon} \right)
\ \ \mathrm{and}\ \ \mathrm{space} \ \ O\left(x^{\frac{3}{10}} (\log x)^{\frac{13}{10}}
\right)\end{aligned},\] which improves on existing combinatorial algorithms. While there is an analytic algorithm due to Lagarias-Odlyzko with computations based on the integrals of $\zeta(s)$ that only takes time $O(x^{1/2 + \epsilon})$, our algorithm has the advantage of being easier to implement. The new approach roughly amounts to analyzing the difference between a model that we obtain via Diophantine approximation and reality, and showing that it has a simple description in terms of congruence classes and segments. This simple description allows us to compute the difference quickly by means of a table lookup. This talk is based on joint work with Harald Andrés Helfgott.
Euler-Kronecker constants and cusp forms
9 mai 2022 11:00-12:00 - Salle de conférences NancyOratrice ou orateur : Pieter Moree (Max Planck Institute, Bonn)
Résumé :
A general sieve problem
5 mai 2022 14:30-15:30 - Salle DöblinOratrice ou orateur : Andreas Weingartner (Southern Utah University, États-Unis)
Résumé :
Given an arithmetic function $\theta$, we consider the set
$$ \mathcal{B}_\theta = \Bigl\{n\ge 1: p|n \Rightarrow p\le \theta\Bigl(\prod_{q<p \atop q^\alpha || n} q^\alpha \Bigr) \Bigr\},$$
where $p$ and $q$ denote primes. Depending on the choice of $\theta$, the possible sets $\mathcal{B}_\theta$ include the set of prime powers, almost primes, friable numbers, dense numbers, and practical numbers.
We will discuss (1) asymptotic results for the counting function of $\mathcal{B}_\theta$, (2) a generalization of the Siegel-Walfisz theorem, and (3) the normal order of the number of prime factors of integers in $\mathcal{B}_\theta$.
The distribution of character sums
28 avril 2022 14:30-15:30 - Salle DöblinOratrice ou orateur : Jonathan Bober (Université de Bristol)
Résumé :
Considering partial character sums as defining a family of random processes (by choosing the characters randomly from some set), it becomes natural to ask questions about the limiting distribution. I’ll describe this in some contexts and give examples of what we can find in the support. This is largely work of Ayesha Hussain, but also some joint work.
Valeurs polynomiales quartiques avec un grand facteur premier : les cas diédraux et cycliques
7 avril 2022 14:30-15:30 - Salle DöblinOratrice ou orateur : Cécile Dartyge (IECL)
Résumé :
Soit P un polynôme à coefficients entiers, unitaire, irréductible, de degré 4 et de groupe de Galois diédral ou cyclique.
Il existe c = c(P) > 0, tel que P(n) ait un facteur premier supérieur à n1+c pour une proportion positive d’entiers n.
Il s’agit d’un travail avec James Maynard.
Répartition des nombres premiers dans des suites d'entiers
31 mars 2022 14:30-15:30 - Salle DöblinOratrice ou orateur : Cécile Dartyge (IECL)
Résumé :
Répétition du séminaire Bourbaki du vendredi 1er avril.
Un théorème central limite pour les partitions des entiers en puissances petites
24 mars 2022 14:30-15:30 - Salle DöblinOratrice ou orateur : Manfred Madritsch (IECL)
Résumé :
Sums of two squares are strongly biased towards quadratic residues
17 mars 2022 14:30-15:30 - Salle DöblinOratrice ou orateur : Ofir Gorodetsky (University of Oxford)
Résumé :
Chebyshev famously observed empirically that more often than not, there are more primes of the form 3 mod 4 up to x than primes of the form 1 mod 4. This was confirmed theoretically much later by Rubinstein and Sarnak in a logarithmic density sense. Our understanding of this is conditional on the generalized Riemann Hypothesis as well as Linear Independence of the zeros of L-functions.
We investigate similar questions for sums of two squares in arithmetic progressions. We find a significantly stronger bias than in primes, which happens for almost all integers in a natural density sense. Because the bias is more pronounced, we do not need to assume Linear Independence of zeros, only a Chowla-type Conjecture on non-vanishing of L-functions at 1/2.
We’ll aim to be self-contained and define all the notions mentioned above during the talk. We shall review the origin of the bias in the case of primes and the work of Rubinstein and Sarnak. We’ll explain the main ideas behind the proof of the bias in the sums-of-squares setting.
Biais de Lemke Oliver et Soundararajan pour les sommes de deux carrés
10 mars 2022 14:30-15:30 - Salle DöblinOratrice ou orateur : Lucile Devin (Université du Littoral Côte d'Opale)
Résumé :
Récemment, Lemke Oliver et Soundararajan ont observé d’importants biais dans la répartition de couples de nombres premiers consécutifs dans les progressions arithmétiques. Ils ont proposé un modèle heuristique basé sur la conjecture de Hardy–Littlewood qui explique très bien ces observations.
Nous discuterons la question analogue pour les nombres qui s’écrivent comme une somme de deux carrés d’entiers. Un biais semblable apparaît dans les données et nous développons un modèle heuristique similaire pour l’expliquer.
Travail joint avec Chantal David, Jungbae Nam et Jeremy Schlitt.
Gowers uniformity of thin subsets of primes
3 mars 2022 14:30-15:30 - Salle de séminaire de Théorie des Nombres virtuelleOratrice ou orateur : Fernando Xuancheng Shao (University of Kentucky)
Résumé :
A celebrated theorem of Green-Tao asserts that the set of primes contains arbitrarily long arithmetic progressions. In fact, they count asymptotically the number of -term arithmetic progressions in primes up to a threshold. Their work involves discorrelation estimates between primes and nilsequences, which imply that the set of primes is Gowers uniform. In this talk I will discuss results of this type for primes restricted to short intervals and in arithmetic progressions. For example, we prove that the set of primes in
with
is Gowers uniform; we also prove that, for almost all
, the set of primes up to
in a coprime residue class
is Gowers uniform. This is based on joint works with K. Matomäki, J. Teräväinen, T. Tao.