Olivier Schiffmann

Combien y-a-t-il de fibrés indécomposables de rang et degré fixés sur une courbe projective lisse (definie sur un corps fini), à isomorphisme près ?

Nous expliquerons pourquoi —malgré les apparences !— cette question est intéressante, et à quoi ressemble la réponse. Nous expliquerons aussi le lien, encore conjectural, avec les espaces de modules de fibrés de Higgs.

Fernando Codá Marques

Marco Picasso

Depuis 1850, le retrait des glaciers a été observé, d’abord avec soulagement, puis avec inquiétude. Un modèle numérique permettant de simuler le retrait des glaciers alpins sur plusieurs siècles sera présenté. La glace est considérée comme un fluide incompressible, la viscosité étant fonction du gradient de vitesse. Le domaine de glace est décrit par une fonction discontinue qui satisfait une équation de transport contenant un terme source qui tient compte des données climatiques.

Les simulations numériques de 1850 à 2000 ont été comparées avec les observations passées. Des simulations numériques de 2000 à 2100 ont été obtenues, en fonction de divers scénarios climatiques.

La question de la reconstruction inverse des données et de la quantification de l’incertitude sera abordée.

Pierre-Henri Chaudouard

Les intégrales orbitales jouent un rôle central dans l’analyse harmonique des groupes réductifs réels et p-adiques. Leurs variantes globales, sur les corps de nombres ou les corps de fonctions, apparaissent dans la formule des traces d’Arthur-Selberg et sont au coeur de la partie endoscopique du programme de Langlands.

Dans l’exposé, on expliquera que, sur les corps de fonctions, ces objets peuvent
s’interpréter, à l’aide de la vibration de Hitchin, comme des nombres de points sur
les corps finis de certaines variétés algébriques. Cela nous permettra de formuler
un théorème de densité des intégrales orbitales globales elliptiques. Ce théorème a été découvert par Ngô et c’est la clef de sa démonstration du lemme fondamental de Langlands-Shelstad. Si le temps le permet, on expliquera comment on peut généraliser ce théorème de densité à d’autres intégrales orbitales globales.

Jean-Pierre Demailly

Nous expliquerons comment l’étude des points rationnels des variétés algébriques amène naturellement à étudier les « courbes entières » tracées dans une variété algébrique lisse, c’est-à-dire les courbes paramétrées par des fonctions holomorphes définies sur tout entier, et satisfaisant une ou plusieurs équations polynomiales.

L’objectif de l’exposé sera de présenter une introduction élémentaire à un résultat récent, stipulant que si le degré des équations est suffisant (en un certain sens), alors de telles équations doivent satisfaire de multiples équations différentielles algébriques.

Hugo Duminil-Copin

La compréhension de la physique statistique planaire a été métamorphosée dans la dernière décennie grâce aux travaux de Kenyon, Lawler, Schramm, Smirnov et Werner pour ne citer qu’eux. Dans cet exposé, je me propose de présenter le rôle crucial joué par la notion d’holomorphicité discrète dans ces progrès. Nous insisterons également sur les connections entre la physique statistique planaire, la combinatoire, les systèmes intégrables, les probabilités et la physique mathématique.

Nous introduirons la notion d’observable parafermionic dont l’holomorphicité discrète (partielle) permet d’estimer le nombre de marches auto-évitantes dessinées sur le réseau hexagonal, ou de comprendre les transitions de phase dans les coloriages aléatoires du réseau carré. Ces deux exemples illustrent un programme plus général, dont les applications ne se résument pas à ces deux résultats. Par exemple, l’holomorphicité discrète de cette observable permet également de montrer l’invariance conforme du modèle dans certains cas particuliers.

Nous introduirons les notions d’holomorphicité discrète, d’invariance onforme, de transition de phase, etc… En particulier, aucune connaissance de ces domaines n’est requise pour suivre cet exposé.

Robert Bryant

Many problems in mechanics and control theory involve motion planning when there are constraints on how the objects can move in configuration space. For example, wheels, balls, or more general shapes that roll over a surface without twisting or slipping move in a configuration space in such a way that motion is only possible in certain directions and not in others. Developing methods to effectively control such motions turns out to have surprising connections with differential geometry, and (in an insight that is originally due to Élie Cartan) even with the 14-dimensional exceptional group now known as [latex]G_2[/latex].
In this talk, I will explain some physical motivation and history of this kind of problem, including some recent surprising results recently due to Nurowski and An showing that exceptional geometry can show up in a simple mechanical system in some very unexpected ways.

Dominique Cerveau

Ce groupe intervient dans l’étude qualitative des équations différentielles ordinaires. Nous decrirons à conjugaison près quelques éléments de ce groupe et nous intéresserons à sa struc- ture algébrique (sous groupes nilpotents, résolubles ou libres). Nous présenterons quelques résultats de représentations de « groupes de Poincaré » à valeurs dans ce groupe et nous donnerons quelques problèmes ouverts. Il n’y a pas de prérequis si ce n’est quelques notions élémentaires de fonctions holomorphes.

Yves Derriennic

Une trajectoire du mouvement brownien est une fonction continue dont les variations sont soumises à un maximum de hasard. Un sens précis est donné à cette assertion par la construction de la mesure de Wiener fondée sur la renormalisation d’une marche aléatoire sur les entiers. Cette méthode permet une approche intuitive des propriétés remarquables du brownien : variation totale infinie et différentiabilité fractionnaire des trajectoires, ensemble des zéros « parfait » et de dimension de Hausdorff 1/2. . .

Sur le plan ou l’espace euclidien, des mouvements browniens « à plusieurs paramètres » ont été définis en tant que processus Gaussiens. Mais il est aussi possible d’utiliser encore l’idée de renormalisation en l’appliquant à une marche aléatoire « à temps discret multidimensionnel ».

Dans cet exposé nous discuterons les problèmes suscités par ce point de vue. Certains sont de nature algé- brique, d’autres relèvent de la percolation stationnaire. Nous rappellerons pour commencer les éléments sur le mouvement brownien ordinaire.

Bernhard Keller

Nous présenterons la définition et les premiers exemples des algèbres amassées (cluster algebras) introduites par Fomin et Zelevinsky en 2002. Nous montrerons ensuite comment les générateurs canoniques de ces algèbres peuvent s’exprimer à l’aide d’objets géométriques qui généralisent les grassmanniennes. Ces expressions ont permis de montrer une série de conjectures sur les algèbres amassées.

Frank Pacard

L’étude des surfaces à courbure moyenne constante dans l’espace euclidien de dimension 3 et l’étude des ondes stationnaires pour l’équation de Schödinger non linéaire qui sont définies dans le plan sont a priori des problèmes qui n’ont pas grand chose à voir. Pourtant, on peut construire pour ces deux problèmes de surprenantes solutions dont le groupe de symétrie est réduit à l’identité et les constructions sont curieusement très proches.

Patrick Joly

Dans cet exposé, je présenterai les résultats d’un travail de coopération interdisciplinaire entre l’équipe POems (CNRS – ENSTA – INRIA) et l’Unité de Mécanique de l’ENSTA sur la simulation numérique d’un piano de concert à partir d’un modèle physique complet de l’instrument. Ce travail s’inscrit dans le cadre d’une collaboration à plus long terme sur la simulation numérique en acoustique musicale.

Compte tenu de la complexité du modèle, il est impossible d’évoquer tous les aspects du probleme dans un exposé d’une heure. Je ferai le choix d’insister sur la construction du modèle mathématique sous la forme d’un système d’équations aux dérivées partielles couplées permettant de prendre en compte l’intégralité des principaux phénomènes mis en jeu et leur couplage : l’interaction entre le marteau et la corde, les vibrations de celle-ci et leur transmission à la table d’harmonie au travers du chevalet et enfin le rayonnement acoustique tridimensionnel. On mettra en évidence l’adéquation du modèle aux observations expérimentales. Je présenterai ensuite brièvement les grandes lignes et les propriétés principales de la méthode numérique mise en oeuvre. La dernière partie de la présentation sera consacrée aux résultats numériques, ce qui inclut des comparaisons calcul/expérience et des exemples plus musicaux.

Cédric Bonnafé

L’exposé se propose de dresser un panorama des divers domaines mathématiques (théorie des invariants, topologie, géométrie, théorie de Lie…) dans lesquels les groupes de réflexions peuvent apparaître, soit comme cœur de la théorie, soit comme curiosité, soit comme pont entre plusieurs problèmes.

En fin d’exposé seront abordées les questions récentes soulevées par les travaux sur les invariants diagonaux (déformation, résolution des singularités, théorie des représentations).

Antoine Ducros

À tout nombre premier [latex]p[/latex], on associe un corps dit des nombres p-adiques. Nous expliquerons la construc- tion de ces corps, et certains de leurs nombreux intérêts arithmétiques, en insistant notamment sur leurs applications à l’étude de problèmes diophantiens (équations polynomiales à coefficients dans [latex]mathbf{Q}[/latex]).

Dans un second temps, nous parlerons de la géométrie sur un corps p-adique, qui est muni d’une métrique aux propriétés un peu étranges : tout triangle est isocèle, tout point d’une boule en est un centre…. Nous évoquerons différentes approches des « variétés analytiques p-adiques », depuis un joli résultat de Serre dans les années 50, qui fait avec les bizarreries signalée, jusqu’à la théorie de Berkovich, qui y remédie en rajoutant des points aux espaces étudiés pour «améliorer» leur topologie.

David Harari

Soit [latex]f(x_1,…,x_n)[/latex] une forme quadratique non dégénérée en n variables, à coefficients entiers. On cherche des critères pour déterminer si un entier a est représenté par [latex]f[/latex]. On donnera d’abord des conditions nécessaires simples, faisant intervenir des congruences, ou dans un langage plus élaboré des nombres [latex]p[/latex]-adiques. Puis on expliquera sous quelles hypothèses ces conditions peuvent être suffisantes, mais aussi comment des lois de réciprocité en arithmétique permettent d’obtenir des contre-exemples.

Yann Brenier

La théorie du transport optimal, dont l’origine remonte à Monge (1780) et Kantorovich (1942), a connu un succès grandissant, y compris en mathématiques « pures », durant les deux dernières décennies (ceci étant bien illustré par les deux volumes de C. Villani). On peut la voir comme une version « simplifiée » d’une théorie du transport optimal « incompressible », qui remonte en fait à Euler (1755) et son modèle de mécanique des fluides.

On examinera quelques résultats de cette théorie, ainsi que son interprétation géométrique dans la suite de V.I. Arnold et de son article de 1966.

Bertrand Deroin

Nous donnerons des exemples et certaines restrictions sur la topologie de certaines hypersurfaces réelles (dite Levi-plates) dans les surfaces algébriques complexes. Cela nous permettra de survoler la classification d’Enriques des surfaces algébriques complexes et le programme de géométrisation de Thurston pour les va- riétés de dimension 3 démontré par Perelman.

Nous expliquerons alors l’outil principal de notre technique : l’étude du mouvement Brownien le long du feuilletage de Levi et ses interprétations dynamiques et cohomologiques. C’est un travail en collaboration avec Christophe Dupont.

Gilles Carron

La topologie des variétés non compactes est par essence bien compliquée. Un aspect plus facile est d’es- sayer de comprendre le nombre de bout, c’est à dire le nombre de façon de partir à l’infini. Par exemple la droite réelle a deux bouts ([latex]pminfty[/latex]) alors que la plan en a un seul.

Il existe des outils analytiques/géométriques qui permettent de détecter si une variété non compacte a plusieurs bouts. Ces techniques peuvent donner des jolis résultats sur les hypersurfaces minimales, les variétés hyperboliques complexes.

On présentera donc les idées menant à ces outils et à leurs applications.

Ludovic Rifford

Toute surface dans l’espace euclidien hérite d’une distance géodésique correspondant aux longeurs mi- nimales des courbes tracées sur la surface entre deux points. Si on se donne une mesure de probabilité sur la surface, toute application de la surface dans elle-même transporte cette mesure vers une mesure image; la mesure « image » d’un ensemble n’étant rien d’autre que la mesure de son image réciproque par l’applica- tion. Etant données deux mesures de même masse, on peut se demander comment transporter la première mesure vers la deuxième de manière optimale relativement à la distance géodésique. Après avoir présenté des résultats assurant l’existence et l’unicité d’applications de transport minimisantes, on s’interessera à la régularités de ces applications. On expliquera en quoi la régularité de toutes les applications de transport entre de bonnes mesures est reliée à la géométrie de la surface.

Michel Brion

Lorsque l’on a un fibré principal sur un espace topologique, on peut former le fibré associé à un autre espace topologique dans lequel opère le groupe structural. Cependant, cette construction n’est pas toujours possible dans le cadre de la géométrie algébrique. L’exposé présentera des exemples et des résultats positifs dans cette direction, ainsi que quelques applications.