Philippe Bougerol

Au début des années 90, dans le cadre de la théorie classique des représentations des groupes compacts, ou des groupes complexes semi-simples, Peter Littelmann a introduit une nouvelle approche basée sur l’étude des chemins continus à valeurs dans l’espace euclidien correspondant à une sous-algèbre de Cartan. C’est un modèle combinatoire : par exemple la multiplicité d’un poids va correspondre au nombre de chemins ayant une certaine propriété. On peut le traduire en termes probabilistes : il s’agit alors de considérer des marches aléatoires à valeurs dans des réseaux. Si l’on s’intéresse à des propriétés asymptotiques des représentations (par exemple en faisant tendre le plus haut poids vers l’infini), on ne peut plus compter. Par contre la mesure de Wiener, donc le mouvement brownien, donne un sens au ”nombre infini de chemins vérifiant telle ou telle propriété”. Le mouvement brownien étant une limite de marches aléatoires, le modèle de Littelmann se généralise en une théorie asymptotique des représentations.

Gérard Besson

Nous essaierons d’expliquer, d’abord sur un exemple simple, ensuite sur les variétés de dimen- sion 3 la démarche proposée par R. Hamilton et G. Perelman afin de prouver la conjecture de Poincaré. Il s’agit d’analyse sur les variétés et cet exposé tentera de présenter quelques-unes des techniques d’analyse et de géométrie utilisées en restant le plus possible dans l’esprit d’un colloque.

Alain Chenciner

Le [latex]N[/latex]-gone régulier est la plus simple des ”configurations centrales” de N masses égales et l’équilibre relatif qui lui est associé est la plus simple des solutions périodiques du problème newtonien des N corps. Considérée dans un repère tournant qui met en résonance sa fréquence de rotation avec une fréquence bien choisie de son ” ́équation aux variations verticales”, une telle solution engendre des familles de solutions périodiques relatives qui peuvent aboutir à des solutions périodiques remarquables dans le repère fixe initial. On obtient ainsi en particulier le ”Huit” à partir du triangle équilatéral et le ”Hip-Hop” à partir du carré. On commencera l’exposé par une rapide introduction au problème des [latex]N[/latex]-corps puis on indiquera dans quelle mesure on peut démontrer les assertions ci-dessus à l’aide du calcul des variations et de l’utilisation des symétries du problème.

Sylvestre Gallot

En revisitant la notion euclidienne de barycentre, nous généraliserons cette notion aux espaces de courbure négative. Ceci permet de construire “à la main” une application, dite “application naturelle”, entre deux variétés [latex]Y′[/latex] et [latex]X′[/latex] (la courbure de [latex]X′[/latex] étant négative) dès qu’on dispose d’une correspondance entre mesures définies sur [latex]Y′[/latex] et sur [latex]X′[/latex]. Une telle correspondance est fournie (par exemple) par deux actions d’un même groupe discret sur [latex]Y′[/latex] et sur [latex]X′[/latex].

J.M. Deshouillers

La conférence a pour but d’illustrer les liens entre la théorie des probabilités et la théorie des nombres, en présentant les aspects suivants :

A. Les probabilités fournissent des modèles pour les entiers naturels,
B. Les méthodes probabilistes permettent de résoudre des questions de théorie des nombres,
C. Les interrogations arithmétiques conduisent à des problèmes probabilistes,
D. Les méthodes arithmétiques permettent de résoudre des questions probabilistes.

Michel Brion

La classification topologique des courbes algébriques projectives (complexes, lisses) est très simple : une telle courbe peut être vue comme une surface (de Riemann) compacte, si bien que deux courbes sont homéomorphes si et seulement si elles ont le même genre. Et on sait depuis Riemann que les courbes de genre g fixé (au moins 2) dépendent de [latex]3 g – 3[/latex] paramètres complexes, ou ”modules”. Mais la construction de ”l’espace des modules des courbes de genre g” est bien plus récente (Mumford, 1965).

Jean Bertoin

On présentera des résultats sur la formation des composantes macroscopiques dans deux modèles de recouvrement aléatoire, à la limite hydrodynamique.

Marc Rosso

Les battages (ou ”shuffles”) apparaissent naturellement dans de nombreux contextes mathématiques : combinatoire du groupe symétrique, intégrales itérées, fonctions polylogarithmes, valeurs de fonctions zéta multiples,… Certaines variantes (appelés parfois quasi- battages) jouent aussi un rôle dans des questions voisines : fonctions quasi-symétriques, valeurs de fonctions zéta multiples (encore !), intégrales stochastiques quantiques,…

Si on remplace le groupe symétrique par le groupe des tresses, on obtient une notion naturelle de ”battage quantique”, qui permet de donner des réalisations concrètes des groupes quantiques et de leurs représentations.

Denis Serre

Même pour une équation différentielle ordinaire autonome dans [latex]R^n[/latex]

[latex]dy = f(y), y(0) = a,[/latex]

l’existence d’une solution [latex]y(t)[/latex] définie pour tout temps [latex]t > 0[/latex] n’est pas parfaitement comprise. La condition suffisante, dont on peut souvent se contenter, est qu’il existe un compact [latex]K[/latex], contenant [latex]a[/latex], positivement invariant pour [latex]f[/latex]. Si le bord de [latex]K[/latex] est une hypersurface régulière, il revient au même de dire que [latex]f[/latex] est un champ de vecteurs rentrant.

Pour certaines équations aux dérivées partielles (qu’on se rassure, les EDPs qui apparaîtront dans l’exposé se ramènent à des EDOs), on sait mettre en œuvre la même idée. Mais la présence de termes d’ordres distincts impose que [latex]K[/latex] soit positivement invariant à chaque ordre. Par exemple, K est positivement invariant pour l’équation de réaction-diffusion du = ∆u + f(u) si et seulement si il l’est à la fois pour l’équation de la chaleur  du/dt = ∆u (on verra que ̧ca signifie K convexe) et pour l’EDO du = f(u). dt dt

Dans l’exposé, j’examinerai cette question de l’invariance pour un système appa- remment simple, qui pose cependant des questions non triviales de géométrie classique. Par exemple : quand est-ce que l’image par une application (pas linéaire, a priori) d’un convexe est convexe ?

Marcel Berger

On présentera trois travaux de R. Schwartz. Tous les trois étudient ce qui se passe quand on itère (à l’infini) des résultats de géométrie élémentaire. La théorie des groupes intervient, mais aussi les résultats et les conjectures pour les cas ouverts, qui utilisent abondamment les calculs sur ordinateurs.

Claude Le Bris

Le contrôle par laser des évolutions des systèmes moléculaires est aujourd’hui une réalité expérimentale. On sait en effet ”sculpter” le faisceau laser qui amènera le système moléculaire dans un état voulu, propice a la réalisation d’une réaction chimique désirée. La modélisation mathématique et la simulation numérique sont des outils primordiaux dans le choix de ce champ laser optimal. On expliquera les difficultés et les enjeux dans ce domaine, à l’intersection de la physique fondamentale, de la chimie et des mathématiques appliquées.

Claude Le Bris

Le contrôle par laser des évolutions des systèmes moléculaires est aujourd’hui une réalité expérimentale. On sait en effet ”sculpter” le faisceau laser qui amènera le système moléculaire dans un état voulu, propice a la réalisation d’une réaction chimique désirée. La modélisation mathématique et la simulation numérique sont des outils primordiaux dans le choix de ce champ laser optimal. On expliquera les difficultés et les enjeux dans ce domaine, à l’intersection de la physique fondamentale, de la chimie et des mathématiques appliquées.

Michel Raynaud

Considérons une courbe algébrique [latex]X[/latex] sur les nombres complexes [latex]C[/latex]. Vue comme variété topologique, elle possède un groupe fondamental qui classifie les revêtements topologiques de [latex]X[/latex], et dont on rappellera la structure. En géométrie algébrique, on doit se limiter aux revêtements de degré fini, ce qui amène à introduire le complété profini du groupe fondamental topologique. On peutétendre la notion de groupe fondamental algébrique au cas d’une courbe algébrique définie sur un corps quelconque, par exemple le corps [latex]Q[/latex] des nombres rationnels.

On indiquera pourquoi cette notion est utile en arithmétique et on évoquera quelques-unes des questions de théorie des groupes liées à la complétion profinie.

Alan Huckleberry

The goal of the talk is to explain complex geometric phenomena which have been of basic use in recent work giving computable descriptions of certain domains which arise in transforming cohomology to the level of fuctions in a context of representation theoretic interest. Incidence geometry arises as a tool for computing integrals over high-dimensional sets by intersecting with classically defined transversal varieties. Proper understanding of this incidence geometry also leads to proof of the hyperbolicity and complex geometric convexity of these domains. The exact determination of the domains then results from a study of analytic continuation in a concrete low-dimensional situation.

Jean-Michel Coron

Dans les systèmes contrôlés on dispose d’un moyen d’action, à savoir le contrôle, pour réaliser certains objectifs. Les deux objectifs les plus classiques sont celui de la contrôlabilité (faire passer le système d’une configuration donnée à une autre) et celui de la stabilisation (rendre asymptotiquement stable un point d’équilibre qui serait instable sans le contrôle). Si ces deux problèmes sont bien compris pour les systèmes linéaires, au moins en dimension finie, c’est loin d’être le cas pour les systèmes non linéaires. On présentera différentes méthodes pour traiter le cas des systèmes non linéaires. Des applications à des systèmes de contrôle issus de la mécanique des fluides seront données (équation d’Euler des fluides parfaits incompressibles,équations de Navier-Stokes, équation de Saint-Venant).

Jean-Louis Colliot-Thélène

Etant donné un polynôme [latex]f(x_1, . . . , x_n)[/latex] de degré [latex]d[/latex] à coefficients rationnels, peut-on résoudre l’équation [latex]f(x_1, . . . , x_n) = 0[/latex] en nombres rationnels ? Si oui, que peut-on dire de l’ensemble de ses solutions (densité, nombre de solutions de taille donnée) ? Ce sont là bien sûr de vieilles et difficiles questions, et les réponses sont partielles.

Jochen Brüning

A “Dirac system” is a model for Dirac operators which is a family of symmetric first order elliptic differential operators tied to the geometry of a Riemannian manifold. However, the model is much simpler than the Dirac operators themselves : it is merely a first order ordi- nary differential equation with operator coefficients. A point of the talk is to explain in what sense this operator valued differential equations behave like a matrix valued, true ordinary differential equation; or one might say, to explain in what sense the geometric situation modeled is “almost one dimensional”.

This is certainly not true in general since not all phenomena in higher dimensions can be reduced to one dimension but in certain situations this approach leads to very valuable in- formation. One example we will explain in detail is the case of complete manifolds with thin ends, like cylinders or cusps. Another case of interest arises in situations with symmetries (“scaling”) which applies locally in many situations.

The talk will proceed from simple notions to geometric situations, explaining the necessary definitions along the way. It will be acceptable to graduate students and non specialists of geometric analysis in general.

Jean-Paul Delahaye

La théorie de la calculabilité a permis de formuler des mesures de complexité des objets finis qui sont maintenant considérées comme des outils importants y compris en physique et en biologie. L’exposé présentera la notion de complexité de Kolmogorov et la notion de profondeur logique de Bennett et tentera de justifier la définition de cette dernière.

Michel Broué

Beaucoup de propriétés du groupe [latex]GL_n(F_q)[/latex] (où [latex]F_q[/latex] désigne un corps fini à [latex]q[/latex] éléments), de sa théorie de Sylow à ses représentations en caractéristique finie, en passant par les valeurs de ses caractères, suggèrent que ce groupe devrait être vu comme la spécialisation en [latex]x = q[/latex] d’un objet mystérieux, [latex]GL_n(x)[/latex]. Nous présenterons quelques uns des indices de l’existence de ces mystérieux objets.