Cet exposé est dédié à  la modélisation et à  l’approximation   numérique du modèle d’Euler bitempérature dans le contexte de la   physique des plasmas. Ce système entre dans la catégorie des systèmes   hyperboliques non conservatifs dont l’étude est à  ce jour largement   incomprise tant du point de vue théorique que numérique. On introduit dans un premier temps un modèle cinétique sous-jacent   couplé aux équations de Poisson et d’Ampère. Le modèle bitempérature est alors obtenu par limite hydrodynamique   après un scaling ad-hoc. On présente ensuite différents schémas numériques pour approcher ce système. Nous détaillerons une première approche basée sur des schémas de type    cinétiques puis une seconde basée sur des schémas de relaxation de   type Suliciu. Enfin dans une dernière partie nous considèrerons une discrétisation   du modèle cinétique de type DVM. Le but est d’obtenir un schéma physiquement cohérent y compris dans la   limite fluide o๠on comparera ses résultats avec ceux des schémas précédents.

Dans cet exposé, on s’intéressera aux méthodes du contrôle pour étudier l’ergodicité des EDP stochastiques. Sous certaines hypothèses génériques sur l’équation (satisfaites par les équations de Navier-Stokes et de Ginzburg-Landau), nous montrerons l’existence et l’unicité de la mesure invariante et la convergence à  vitesse exponentielle des solutions. Il s’agit d’un travail en commun avec S. Kuksin et A. Shirikyan.

Dans cet exposé, nous nous placerons dans le cadre du trafic piéton et nous présenterons un modèle permettant de décrire la chute de capacité (c’est-à -dire le flux maximal de piétons par unité de temps) d’une sortie de salle lors d’une évacuation. Le modèle repose sur une loi de conservation et la capacité de la sortie est décrite par une contrainte sur le flux. Nous supposons que cette contrainte dépend de la solution du modèle elle-même, de façon non locale en espace. La chute de capacité se produit pour les hautes densités de piétons exprimant ainsi la congestion de la sortie. Par des simulations numériques, nous montrerons que le modèle est capable de reproduire deux effets paradoxales liés à  la chute de capacité et qui ont déjà  été observés et reproduits expérimentalement : l’effet  »Faster-Is-Slower » qui stipule qu’une augmentation de la vitesse des piétons peut entraîner une augmentation du temps d’évacuation, et une variante du « paradoxe de Braess » qui indique que placer un obstacle avant la sortie peut faire diminuer la pression des piétons sur la sortie et entraîner une réduction du temps d’évacuation. Nous présenterons également des améliorations du modèle initial. Ces travaux sont en collaboration avec Boris Andreianov, Carlotta Donadello et Massimiliano Rosini.

Bien que les domaines optimisant la première valeur propre du Laplacien soient bien connus, très peu de résultats existent concernant l’optimisation de valeurs propres loin dans le spectre. Dans les dernières années, il a été montré, à  travers une série de publication culminant par celle de Gittins et Larson, que les cuboïdes optimisant la k-ième valeur propre de Dirichlet ou de Neumann convergent vers le cube et ce en toute dimension. Nous verrons comment ce comportement diffère pour les tores plats. Nous montrons qu’en dimension inférieure à  10 il n’existe pas de tore plat limite à  ce problème d’optimisation asymptotique. Ce sera fait en obtenant un contrôle géométrique explicite sur le reste dans la loi de Weyl pour la fonction de compte des valeurs propres.

Le modèle de Navier-Stokes quantique correspond au modèle classique de Navier-Stokes auquel est ajouté un terme de correction quantique appelé potentiel de Bohm. On s’intéressera dans cet exposé à  l’étude de l’existence de solutions ainsi qu’aux limites asymptotiques du modèle (limite semi-classique et limite de faible viscosité).

Nous considérons le problème inverse consistant à  déterminer de façon unique un terme apparaissant dans une équation de diffusion, linéaire ou non-linéaire, à  partir de mesures des solutions sur le bord du domaine. Dans le cas linéaire, notre équation est une équation de convection-diffusion décrivant le transfert de particules, d’énergie ainsi que d’autres quantités physiques. Notre problème inverse consiste à  déterminer le champs de vitesse, avec lequel la quantité décrite se déplace, ainsi que des informations à  propos de la densité du milieu. Nous nous plaçons dans un cadre général o๠les quantités que nous cherchons à  déterminer sont associées à  des coefficients dépendant des variables spatiales et temporelles avec des conditions de régularité affaiblies. Dans le cas non-linéaire, nous traiterons le problème consistant à  déterminer un terme quasi-linéaire apparaissant dans l’équation. Ce travail est issu d’une collaboration avec Pedro Caro.

On s’intéresse au problème de sédimentation de N particules dans un fluide visqueux. On suppose que les particules sont sphériques avec un rayon proportionnel à  1/N. On néglige l’inertie et on prend en compte la vitesse angulaire des particules. Un premier résultat dà» à  P.E. Jabin et F. Otto montre qu’il n y a pas d’interaction entre les particules si elles sont « assez diluées ». i.e la distance minimale entre les particules est très grande devant 1/N^{1/3}. Un deuxième résultat dà» à  R.M Höfer montre que, dans le cas o๠la distance minimale entre les particules est de l’ordre de 1/N^{1/3}, il y a interaction entre les particules et le modèle converge lorsque N tend vers l’infini vers l’équation de Vlasov-Stokes. Dans cet exposé, on s’intéresse à  l’extension de ces résultats pour des configurations de particules ayant une distance minimale inférieure au seuil critique 1/N^{1/3}. En utilisant la méthode de reflections, on calcule explicitement la vitesse de chute de chaque particule. Ce qui nous permet, dans un premier temps, d’assurer la propagation en temps fini de la distance minimale. Dans un second temps, on montre que la densité converge au sens de la distance de Wasserstein vers la solution de l’équation de Vlasov-Stokes. L’étude de convergence découle de la théorie de champs moyens développée par M. hauray et P.E Jabin dans leurs papiers.

Dans cet exposé, on s’intéresse à  la minimisation du temps de crise, fonctionnelle discontinue en horizon infini. Cette fonctionnelle mesure le temps passé par une solution d’un système contrôlé à  l’extérieur d’un ensemble K qui représente typiquement des contraintes d’état. Lorsque la condition initiale n’est pas dans le noyau de viabilité de K, ou que ce noyau est vide, la minimisation de cette fonctionnelle prend tout son sens. A travers cet exposé, on verra comment donner les conditions nécessaires d’optimalité permettant de calculer une trajectoire optimale, et on étudiera une régularisation du temps de crise. On examinera la convergence des extrémales du problème régularisé vers une extrémale du problème original (par Gamma-convergence). Enfin, grâce une reformulation du temps de crise, nous développerons quelques exemples pour comparer celui-ci avec la stratégie « temps minimal » pour rejoindre le noyau de viabilité.

Je présenterai quelques résultats concernant la modélisation du développement des plantes dans leur environnement. En partant d’un nouveau modèle de distribution de sucrose dans les arbres, j’arriverai à  la propagation de ravageurs (végétales puis animales) dans des paysages agricoles. Mon propos sera centré sur des systèmes continus de type advection-réaction-diffusion.

On étudie le problème de rigidité qui consiste à  savoir si le spectre marqué des longueurs de géodésiques fermées determine la métrique Riemannienne sous-jacente. Travail avec Thibault Lefeuvre.

La conjecture de résolution en solitons affirme que toute solution globale des équations de Schrödinger nonlinéaires se décompose en temps grand en une somme de solitons et un reste dispersif. Après avoir illustré cette conjecture sur un modèle jouet, nous présenterons différents résultats qui sont autant de jalons vers une preuve de cette conjecture : stabilité des solitons, existence et stabilité de multi-solitons.

La classe des ensembles prox-réguliers (introduite en dimension finie sous le nom « positivement atteints » par Federer en 1959 et également connue sous les noms : « O(2)-convexe », « faiblement convexe », « Phi-convexe », « lisse au sens proximal ») constitue une extension remarquable et naturelle de la convexité. Nous débuterons cet exposé par une présentation générale de la théorie de la prox-régularité dans un cadre hilbertien. Nous verrons que (contrairement à  la convexité) cette notion peine à  bénéficier de propriétés de stabilité/préservation sous diverses opérations ensemblistes. A ce sujet, nous développerons quelques conditions suffisantes (dites « d’ouverture ») assurant la prox-régularité d’ensembles de contraintes et plus généralement d’ensembles de solutions d’équations généralisées. Nous nous attacherons enfin à  réaliser un tour d’horizon de la vaste gamme de problèmes mathématiques dans lesquels la prox-régularité intervient : analyse multivoque, théorie du contrôle, équations aux dérivées partielles, théorie spectrale, algorithmes de projections… Les problèmes d’évolution de Moreau (qui sont un exemple d’inclusions différentielles avec contraintes) bénéficieront d’une attention toute particulière.

Le but de cet exposé est de présenter quelques résultats pour la mise en évidence numérique du phénomène de superradiance, permettant l’extraction de l’énergie d’un trou noir sphérique de Reissner-Nordstrom à  partir d’une configuration dans laquelle l’énergie totale conservée n’est pas une quantité définie positive. Ceci autorise alors la possibilité d’obtenir loin du trou noir une énergie plus grande que ce qu’elle était à  l’instant initial. Nous présenterons le modèle sous-jacent, avec une attention particulière sur les méthodes numériques pour la simulation de celui-ci.

In this talk, we consider the global existence and large time behavior of solutions for reaction diffusion systems coming from reversible chemistry. First, we introduce the fundamental structures these systems hold, namely nonnegativity of solutions and total mass control. It is well known that, under homogeneous boundary conditions and with linear diffusions, these structures assure global existence of weak solutions if the nonlinearities are a priori bounded in $L^1$. Recently, this result was extended up to the case where diffusion operators are nonlinear (2017, Laamri-Pierre). We will recall these results and describe a slight improvement. It is mainly derived from the entropy structure. Next, we consider the large time behavior for these systems.

Résumé

Le but de l’exposé est de présenter les grandes lignes de la méthode des éléments finis inversés. Cette méthode, introduite par l’orateur il y a quelques années, vise à  résoudre des EDP en domaines non bornés sans aucune troncature. Après une analyse de la convergence, on présente quelques résultats numériques obtenus en résolvant plusieurs problèmes issus de la physique. Ces résultats confirment l’efficacité de la méthode et son adaptativité dans de nombreuses situations.

Le spectre de Steklov d’un espace compact est constitué des valeurs propres de l’opérateur de Dirichlet-Neumann sur son bord. Il est lié à  la géométrie de cet espace. Dans cet exposé, je vous présenterai quelques résultats de type isopérimétrique dans le contexte d’hypersurfaces dont le bord dans l’espace euclidien est prescrit. Des bornes supérieures très générales seront présentées, ainsi que des bornes inférieures pour les hypersurfaces de révolutions. Il sera aussi question d’isospectralité en dimension 2. Ce travail est conjoint avec Bruno Colbois et Katie Gittins de l’Université de Neuchâtel, ainsi qu’avec Antoine Métras qui est doctorant à  l’Université de Montréal.

Le laplacien occupe, au sein de l’analyse mathématique des équations aux dérivées partielles, une place centrale. Récemment, les travaux de Jun Kigami, poursuivis par Robert S. Strichartz, ont permis la construction d’un opérateur de même nature, défini localement, sur des domaines présentant un caractère fractal. Curieusement, le cas du graphe de la fonction de Weierstrass, introduite en 1872 par K. Weierstrass, continue partout, mais nulle part dérivable, et qui présente des propriétés d’auto-similarité, ne semble pas avoir été envisagé. Nous nous sommes posé la question suivante : si on se donne une fonction définie et continue sur le graphe de la fonction de Weierstrass, est-il possible de lui associer une fonction qui soit, au sens faible, son laplacien ? En pratique, il suffit d’utiliser une formulation faible, écrite à  l’aide de formes de Dirichlet, construites par itérations successives sur une suite de graphes convergeant vers le domaine considéré. Pour une fonction continue sur ce domaine, son laplacien est obtenu comme la limite normalisée de la suite de laplaciens obtenus à  chaque itération. Le spectre du laplacien ainsi construit est obtenu par décimation spectrale. Par rapport aux travaux existant, les résultats que nous présentons mettent en avant les spécificités dues au caractère non affine de notre étude. Déjà , la construction des formes de Dirichlet requiert la prise en compte de la géométrie très particulière du graphe. Ensuite, il faut disposer d’une mesure adaptée à  l’intégration le long de courbes fractales.

Ce travail, en collaboration avec E. Bonnetier et F. Triki s’intéresse au spectre de l’opérateur de Poincaré-Neumann. Cet opérateur intégral intervient de manière récurrente dans l’étude de problèmes de conductivité mettant en jeu plusieurs phases, et son spectre gouverne certains phénomènes physiques découverts récemment, tels que celui de « résonances plasmoniques ». Le cadre d’étude de ce travail met en jeu une distribution périodique de petites inclusions de taille caractéristique $varepsilon$. En combinant des techniques appartenant à  la théorie de l’homogénéisation périodique et à  la théorie du potentiel, nous prouvons que le spectre de l’opérateur de Poincaré-Neumann associé à  cette collection d’inclusions est composé de deux valeurs propres 0 et 1 (dont les sous-espaces propres sont ‘triviaux’), ainsi que d’une partie qui est uniformément éloignée de 0 et 1 lorsque la taille des inclusions tend vers 0. Cette partie non triviale s’écrit comme l’union d’un `spectre de Bloch’ – composé de bandes décrivant les résonances collectives des cellules – ainsi que d’un `spectre de couche limite’, associé aux fonctions propres qui conservent une fraction non négligeable de leur énergie près de la frontière du domaine macroscopique. Ces résultats donnent un éclairage nouveau au problème de l’homogénéisation du potentiel électrique engendré par une source donnée dans un milieu diélectrique ponctué de petites inclusions distribuées périodiquement, remplies d’une conductivité arbitraire (y compris négative).

L’étude de stabilité d’une interface séparant deux fluides non miscibles confinés dans une cellule de Hele-Shaw annulaire en rotation constante a fait l’objet de plusieurs travaux théoriques et expérimentaux. Les forces centrifuges, en présence d’une différence de densités entre les deux fluides donnent lieu a une instabilité de Rayleigh-Taylor avec des effets de viscosité. Le cas d’une rotation constante a été largement étudié et sans etre exhaustif on peut citer Schwartz (Phys.Fluids 1989), Miranda et al. (Phys. Rev. E 2000,2004,2017)……Le cas de la vitesse de rotation instationnaire a été très peu étudié. C’est pourquoi, nous avons entamé cette étude avec une vitesse de rotation sinusoidale dans lequel un écoulement pulsé généré par des forces d’entrainement résultant de la dépendance du temps de la rotation. On considère deux fluides newtoniens incompressibles non miscibles de densités et viscosités différentes confinés dans une cellule de Hele-Shaw annulaire soumise a un mouvement de rotation périodique sinusoidale et on s’intéresse a la stabilité de l’interface. Dans le cadre de l’approximation de Hélé-Shaw une solution analytique de base instationnaire a été trouvée. La solution de base perturbée a l’aide des méthodes classiques de la stabilité linéaire conduit a une équation de dispersion de type Mathieu. Equation qui permet de déterminer les zones d’instabilités dans le plan amplitude-fréquence de forcage pour un nombre d’onde azimutal donné. Les différents effets de la viscosité, de tension superficielle, de forces de Coriolis, et des forces d’inertie seront discutés. La résolution de l’équation de dispersion dans le cas général avec la méthode de Floquet est en cours et seul des résultats pour des cas particuliers (perturbations non visqueuses et effet de force de Coriolis négligeable) seront présentés. Ce travail est mené en collaboration avec Dr S. Aniss FS Ain Choc Casablanca.