Initialement considéré comme un lemme clé dans les structures de régularité, le théorème de reconstruction s’est avéré être un outil analytique très flexible pour étudier l’intégration à la fois stochastique et déterministe en dimension supérieure. Dans cet exposé, nous discuterons d’une extension particulière du théorème de reconstruction dans un contexte stochastique où la famille de distributions sous-jacente satisfait certaines conditions naturelles impliquant des incréments rectangulaires. Cela nous permet de prouver l’existence et l’unicité d’une nouvelle classe d’équations aux dérivées partielles stochastiques de type hyperbolique qui combine l’intégration stochastique standard à la Walsh et les produits de Young.

Travail en collaboration avec Hannes Kern (TU Berlin).

In this talk, I will present controllability results for some linear and non-linear wave equations. The linear equations will be vector-valued and at different levels of regularity. I will give the main ideas of the proof of a change of regularity result. For the non-linear equations, I will consider the case of the focusing cubic Klein-Gordon equation. I will state a local controllability result around a regular solution, and a null-controllability result for scattering solutions. In the presence of damping, I will give both a positive and a negative stabilization result. I will also provide some ideas of proofs.

The presentation will focus on some new results concerning the limiting behavior of minimizing $p$-harmonic maps from a bounded Lipschitz  domain $\Omega \subset \mathbb{R}^{3}$ to a compact connected Riemannian manifold without boundary and with finite fundamental group as $p \nearrow 2$. We prove that there exists a closed set $S_{*}$ of finite length such that minimizing $p$-harmonic maps converge to a locally minimizing harmonic map in $\Omega \setminus S_{*}$. We prove that locally inside $\Omega$ the singular set $S_{*}$ is a finite union of straight line segments, and it minimizes the mass in the appropriate class of admissible chains. Furthermore, we establish local and global estimates for the limiting singular harmonic map. Under additional assumptions, we prove that globally in $\overline{\Omega}$ the set $S_{*}$ is a finite union of straight line segments, and it minimizes the mass in the appropriate class of admissible chains, which is defined by a given boundary datum and $\Omega$. In this talk, I will try to give an overview of these results. This is a joint work with Jean Van Schaftingen and Benoît Van Vaerenbergh.

Dans cet exposé, nous discuterons de la convergence vers 0 des solutions de l’équation des ondes amorties non-linéaire. Dans le cas où l’amortissement agit dans une zone vérifiant la « condition de contrôle géométrique », les solutions de l’équation linéaire tendent uniformément et exponentiellement vite vers 0. Il existe de nombreux travaux montrant que cette convergence se transmet presque toujours à l’équation avec une non-linéarité. Quand la « condition de contrôle géométrique » n’est pas vérifiée, la décroissance du semigroupe linéaire n’est plus uniforme. Plusieurs géométries ont été étudiées, donnant lieu à différentes vitesses de décroissance. Le but de l’exposé sera de discuter de ces situations pour l’équation non-linéaire, ce qui reste un domaine très ouvert. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Camille Laurent.

Nous étudions un problème de résonance inverse sur un cylindre hyperbolique infini perturbé radialement et de manière compacte. En utilisant les symétries de ce type de géométrie, nous sommes amenés à étudier une équation de Schrödinger stationnaire sur la droite réelle avec un potentiel V, qui est la somme d’un potentiel de Pöschl-Teller et d’une perturbation que nous considérons intégrable et à support compact. Nous définissons les résonances comme les pôles des coefficients de réflexion avec une partie imaginaire négative. Nous prouvons que, sous certaines hypothèses sur le support de la perturbation compacte, nous sommes capables de résoudre la question de l’unicité dans le problème de résonance inverse. Nous donnons également des asymptotiques des résonances et montrons qu’elles sont asymptotiquement localisées sur deux branches logarithmiques et, selon la localisation du support de q, parfois aussi sur des lignes parallèles à l’axe imaginaire.

On s’intéresse à la notion d’observabilité pour l’équation de la chaleur posée sur un domaine $\Omega$. Étant donné un temps imparti et une donnée initiale quelconque, on cherche à savoir s’il est possible d’estimer la solution de l’équation de la chaleur sur $\Omega$ à l’instant final en fonction de l’évolution de la solution sur un sous-ensemble $\omega$ contenu dans $\Omega$. On souhaite déterminer quelle est la condition géométrique minimale sur \omega assurant l’observabilité. Je présenterai les travaux passés, puis le nouveau résultat obtenu avec Walton Green, Jérémy Martin et Marcu-Antone Orsoni.

Attention : le séminaire aura lieu en salle Döblin.

Abstract: Dispersive nonlinear partial differential equations can be used to describe a range of physical systems, from water waves to spin states in ferromagnetism. The numerical approximation of solutions with limited differentiability (low-regularity) is crucial for simulating fascinating phenomena arising in these systems including emerging structures in random wave fields and dynamics of domain wall states, but it poses a significant challenge to classical algorithms. Recent years have seen the development of tailored low-regularity integrators to address this challenge. Inherited from their description of physicals systems many such dispersive nonlinear equations possess a rich geometric structure, such as a Hamiltonian formulation and conservation laws. To ensure that numerical schemes lead to meaningful results, it is vital to preserve this structure in numerical approximations. This, however, results in an interesting dichotomy: the rich theory of existent structure-preserving algorithms is typically limited to classical integrators that cannot reliably treat low-regularity phenomena, while most prior designs of low-regularity integrators break geometric structure in the equation. In this talk, we will outline recent advances incorporating structure-preserving properties into low-regularity integrators. Starting from simple discussions on the nonlinear Schrödinger and the Korteweg–de Vries equation we will discuss the construction of such schemes for a general class of dispersive equations before demonstrating an application to the simulation of low-regularity vortex filaments. This is joint work with Yvonne Alama Bronsard, Valeria Banica, Yvain Bruned and Katharina Schratz.

On s’intéressera dans cet exposé à l’étude d’objets présentant un caractère singulier et des opérations mal posées, l’objet central étant l’opérateur d’Anderson, un opérateur de Schrödinger où le potentiel est un bruit blanc espace. Après avoir discuté de sa construction et des propriétés qui en découlent, on établira un contrôle de sa fonction de Green de l’opérateur afin de comprendre sa singularité.
Dans un deuxième temps, on s’intéressera à des dynamiques dirigées par cet opérateur et particulièrement à la construction de mesures invariantes dans ce cadre. On s’attardera sur la définition de la mesure gaussienne associée et son utilisation pour comprendre le modèle $\Phi^4_2$ dans un environnement régi par un bruit blanc espace. Après avoir construit la mesure invariante par des méthodes variationnelles, on s’intéressera aux propriétés qui découlent du point de vue dynamique : solutions globales, propriété de Feller et propriété de Feller forte.
Les résultat présentés sont basés sur des travaux en collaboration avec Antoine Mouzard et Tristan Robert.

On va montrer comment on peut définir le carré du module de la solution de l’équation de Schrödinger fractionnaire sur le tore avec condition initiale dans un espace de Sobolev arbitrairement singulier. Ensuite on va montrer comment cela peut être utile dans des estimations d’observabilité.

De nombreux travaux ont été consacrés à la dérivation d’approximations asymptotiques
des solutions d’une équation elliptique, lorsqu’on perturbe le milieu par des inhomogénéités
de petit volume. Les termes des développements asymptotiques des solutions contiennent
des informations sur la localisation, la forme et les propriétés physiques des inhomogénéités,
qui ont été exploitées avec bonheur dans le contexte des problèmes inverses d’identification
.
Dans cet exposé, nous présentons des résultats concernant le comportement des solutions
lorsque l’on perturbe la condition au bord sur un `petit’ ensemble $\omega_\e$. Nous caractérisons
le terme de premier ordre du développement asymptotique en fonction de la mesure pertinente de
la taille de la perturbation $\omega_\e$. Nous donnons des exemples explicites lorsque $\omega_\e$
est une boule surfacique dans $\R^d, d=2,3$.

Ce travail a été réalisé en collaboration avec Charles Dapogny et Michael Vogelius.

In this talk, I will briefly recall the historical Kalman filter and its ensemble form. Then I will show how the latter has been successfully implemented for data assimilation, in particular in numerical weather forecasting. More recently, the Ensemble Kalman Filter has been proposed as a methodology for solving very general inverse problems in high-dimensional contexts. I will present the theory, show some simple applications and point out the numerous open problems that remain.

Il est bien connu que la reconstruction d’une donnée initiale associée à une équation parabolique à partir de mesures internes de sa solution pendant un temps T, sur un domaine $\omega$ appelé domaine d’observation équivaut à la question de l’observabilité, ou plus précisément à la positivité de ce qu’on appelle la constante d’observabilité associée à $\omega$. Cette constante dépend du domaine d’observation $\omega$ mais aussi de façon cruciale de l’horizon temporel T.  

Dans cet exposé, nous nous intéressons au positionnement optimal de capteurs thermiques. Il est raisonnable de modéliser cette question apr la recherche des domaines extrémaux (lorsqu’ils existent) maximisant cette constante d’observabilité. Pour être physiquement pertinent, nous imposons une restriction sur la mesure du domaine observé. 

Après avoir introduit une relaxation convexe du problème d’optimisation de la forme, nous déterminons le comportement asymptotique des maximiseurs lorsque T tend vers $+\infty$. En utilisant de façon cruciale un principe de la baignoire quantitatif, nous prouvons la forte convergence des maximiseurs vers la fonction caractéristique d’un ensemble mesurable que nous caractérisons précisément, et montrons en outre que cette convergence est exponentielle. 

Il s’agit d’un travail en collaboration avec Idriss Mazari (univ. Paris Dauphine) et Emmanuel Trélat (Sorbonne univ.)

! Attention ! Séminaire en visioconférence et à un horaire inhabituel.

Nous abordons l’approximation du flot de courbure moyenne des structures minces, pour lesquelles les méthodes classiques des champs de phase ne sont pas adaptées. Par structures minces, nous entendons soit des structures de codimension supérieure, typiquement des filaments, soit des surfaces non fermées et des surfaces non orientables.
Nous proposons une nouvelle approche qui consiste à introduire dans l’équation d’Allen-Cahn un terme de pénalisation localisé autour du squelette de l’ensemble en évolution. Cette approximation garantit une épaisseur minimale pendant l’évolution, prohibant ainsi les auto-intersections. L’efficacité numérique de notre approche est illustrée par des approximations du flot de courbure moyenne des filaments. Nous montrons son utilisation pour les approximations numériques aux problèmes de Steiner et de Plateau en dimension 3. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Elie Bretin (INSA Lyon) et Simon Masnou (Lyon 1).

The mathematical modelling of cancer has been increasingly applying fluid-dynamics concepts to describe the mechanical properties of tissue growth. The biomechanical pressure plays a central role in these models, both as the driving force of cell movement and as an inhibitor of cell proliferation. In this talk, I will present how it is possible to build a bridge between models that have different pressure-velocity or pressure-density relations. In particular, I will focus on the inviscid limit from a Brinkman model to a porous medium-type model, and the incompressible limit that links the latter to a Hele-Shaw free boundary problem with density constraint.

Dans cet exposé, nous discutons de l’existence de solutions de norme L^2 prescrites pour des équations de Schrödinger non linéaires sur des graphes métriques. Une stratégie commune employée pour trouver une telle solution est de chercher un point critique sous contrainte de la fonctionnelle d’énergie associée. Certaines propriétés géométriques de la fonctionnelle varient en fonction de l’exposant du terme non linéaire de l’équation. Dans le cas dit de masse sous-critique, la fonctionnelle est bornée inférieurement et coercive sur la contrainte, de sorte que l’on peut rechercher un point critique en tant que minimum global. C’est pourquoi ce cas a été largement étudié ces dernières années.

Cependant, dans le cas complémentaire, connu sous le nom de masse sur-critique, la fonctionnelle d’énergie n’est plus bornée inférieurement sur la contrainte et présente un manque de d’estimation a priori sur les points critiques possibles. Par conséquent, on sait encore très peu de choses sur ce cas. A travers la présentation des quelques résultats existants, nous discuterons des principaux obstacles qui doivent être surmontés pour traiter ce cas sous des hypothèses générales. Nous présenterons également certains des outils qui ont déjà été développés à cette fin.

Cet exposé est basé sur des travaux communs avec J. Borthwick (Besançon puis Montréal), X. Chang (Changchun) et N. Soave (Turin).