Après une courte introduction, je montrerai dans cet expose comment on peut établir, au niveau numérique, des propriétés d’hypocoercivité discretes pour des méthodes d’intégration en temps de l’équation de Fokker–Planck linéaire, qui assurent notamment la convergence exponentielle en temps long de la solution numérique vers un état d’équilibre discret. On utilisera pour cela une méthode de preuve à la Villani, adaptée au contexte discret. Il s’agit d’un travail en commun avec Frédéric Herau (Nantes) et Pauline Lafitte (CentraleSupelec).

Les EDPs elliptiques du type $\Delta f = |\nabla f|^2$ sortent du cadre
classique de l’analyse par Calderon-Zygmund et admettent des solutions non
régulières. Il est remarquable de constater que l’équation $\Delta \phi =
|\nabla \phi|^2 \phi$, $\phi \in \mathbb S^2$, elle, satisfait une régularité. Ce
contraste ne peut s’expliquer analytiquement : les deux équations ont les
mêmes croissances, la même forme, le même comportement extérieur. Il faut
faire appel à une intuition géométrique, et à des résultats de compacité par
compensation pour expliquer cette divergence.

Cette procédure, cette idée, cette méthode, se retrouve pour analyser
d’autres équations, au deuxième ordre l’ensemble des équations harmoniques,
et au quatrième ordre, l’équation des surfaces de Willlmore.

Nous aborderons la régularité de ces solutions, et le comportement des
suites en mettant en évidence les phénomènes de concentration, conditionnés
par l’analyse des équations. Enfin nous exploiterons les liens entre les
deux problèmes pour en tirer des applications.

Dans cet exposé, nous montrons un résultat de stabilisation pour l’équation de la plaque amortie avec une décroissance logarithmique de l’énergie de la solution. La preuve de ce résultat est réalisée au moyen d’une estimation de Carleman pour les opérateurs elliptiques d’ordre quatre avec les conditions au bord dites de Lopatinskii-Sapiro et d’une estimation de la résolvante pour le générateur du semigroupe de la plaque amortie associé à ces conditions aux limites. La dérivation des inégalités de Carleman passe d’abord par des estimations microlocales, puis par des estimations locales, et enfin par une estimation globale.

Dans cet exposé, je présenterai le modèle tensoriel de Landau de Gennes pour les cristaux liquides nématiques dans le régime dit de Lyutsyukov faisant intervenir des applications à valeurs dans la sphère S4. Ce modèle décrit les configurations stables de cristaux liquides comme étant les minimiseurs d’une énergie de type Ginzburg-Landau dont le puit de potentiel est le plan projectif réel. Lorsque le domaine est une boule et la donnée de Dirichlet est à symétrie radiale (équivariante), on pourrait s’attendre à ce qu’un minimiseur soit également à symétrie radiale. De nombreuses simulations numériques montrent que ce n’est pas du tout le cas. Une certaine structure en tore apparaît. Une symétrie axiale semble toutefois préservée, et celle-ci a souvent été utilisée comme ansatz faisant alors apparaître d’autres solutions, singulières, appelées solutions splits. A l’aide de résultats de régularité sur ce modèle, j’essayerai d’expliquer l’existence et la géométrie de ces solutions tores et splits. Cet exposé est basé sur une série de travaux en collaboration avec Federico Dipasquale et Adriano Pisante.

We consider the reaction-diffusion competition system

which is the so-called critical case. The associated ODE system then admits infinitely many equilibria, which makes the analysis quite intricate. We first prove the non-existence of monotone traveling waves by applying the phase plane analysis. Next, we study the long-time behavior of the solution of the Cauchy problem with a compactly supported initial datum. We not only reveal that the  »faster » species excludes the   »slower » species (with an identified  »spreading speed »), but also provide a sharp description of the profile of the solution, thus shedding light on a new  »bump phenomenon ».

Nous nous intéresserons dans cet exposé à l’équation de Schrödinger logarithmique (abrégé en logNLS), équation non-linéaire introduite en 1976 par Białynicki-Birula et Mycielski dans un modèle de mécanique des ondes linéaires en physique. Longtemps oublié par les mathématiciens, cette équation présente une dynamique originale, parfois surprenante comparée à celle des équations de Schrödinger non-linéaires usuellement étudiées, dont les non-linéarités sont régulières voire lisses (typiquement du type puissance). J’exposerai quelques propriétés de logNLS qui attestent de cette originalité, en me focalisant sur les résultats de comportement en temps long. En particulier, sera présenté plus en profondeur le cas du régime dispersif, dont la compréhension du comportement en temps grand est très avancée : la vitesse de dispersion est plus rapide d’un facteur logarithmique et le carré du module de la solution renormalisée converge faiblement dans L^1 vers une gaussienne universelle, ne dépendant pas des conditions initiales. Je montrerai que cette description peut être améliorée par une vitesse de convergence explicite et optimale en distance de Wasserstein-1 (aussi appelé métrique de Kantorovich-Rubinstein), indépendante de la constante semi-classique, et que cette convergence est également valable à la limite semi-classique.

L’équation quasi-géostrophique de surface est un modèle issu de la mécanique des fluides géophysiques qui présente de fortes similarités avec l’équation d’Euler incompressible. Le but de cet exposé est de décrire deux constructions variationnelles qui permettent d’obtenir des solutions particulières de cette équation sous la forme d’une paire de vortex en translation et sous celle d’un polygone régulier de vortex en rotation. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Ludovic Godard-Cadillac (Université de Nantes) et Didier Smets (Sorbonne Université).

Dans cet exposé, qui se veut élémentaire et facile à suivre, on parlera d’un travail en collaboration avec Antoine Henrot et Ilaria Lucardesi au cours duquel nous cherchons à maximiser la première valeur propre (non triviale) du Laplacien Neumann parmi tous les corps convexes du plan, à Périmètre fixé. Ceci fait référence à une conjecture ouverte depuis au moins 2009. Nous avons notamment résolu la question pour les convexes ayant 2 axes de symétrie orthogonaux à l’aide d’une preuve assez courte et astucieuse. Le cas général semble beaucoup plus difficile, et j’essaierai d’expliquer pourquoi.

The concept of sustainability can be formulated as the search for a stable ecosystemic balance. The manager has an arsenal of legal measures at his disposal, and mathematical models can be used to analyze their performance. Mathematical modeling in fisheries management has undergone significant theoretical development. Looking over basic fishery models of the literature, it appears three main conceptual frameworks to analyze the sustainability. Maximum sustainable yield, optimal equilibrium then viability.  that its application is a process in continuous progress, knowing that the potential of mathematical theory remains under used. For instance, the introduction of the recent development of « game theory » into the modeling of this issue should be helpful. Illustrating therefore the previously stated thesis that the more the assumptions are realistic, the more sophisticated mathematical tools are needed.

We study the minimization of functionals of the form

$$ u \mapsto \int_\Omega f(\nabla u) \, dx $$

with a convex integrand $f$ of linear growth (such as the area integrand), among all functions in the Sobolev space W$^{1,1}$ with prescribed boundary values. Due to insufficient compactness properties of these Dirichlet classes, the existence of solutions does not follow in a standard way by the direct method in the calculus of variations and might in fact fail, as it is well-known already for the non-parametric minimal surface problem. In such cases, the functional is extended suitably to the space BV of functions of bounded variation via relaxation, and for the relaxed functional one can in turn guarantee the existence of minimizers. However, in contrast to the original minimization problem, these BV minimizers might in principle have interior jump discontinuities or not attain the prescribed boundary values.

After a short introduction to the problem I want to focus on the question of regularity of BV minimizers. In past years, Sobolev regularity was established provided that the lack of ellipticity — which is always inherent for such linear growth integrands — is mild, while, in general, only some structure results seems to be within reach. In this regard, I will review several results which were obtained in cooperation with Miroslav Bulíček (Prague), Franz Gmeineder (Konstanz), Erika Maringová (Vienna), and Thomas Schmidt (Hamburg).

La partie « problème direct » est un travail en collaboration avec Christophe Hazard, la partie « problème inverse » une collaboration avec Arnaud Recoquillay.

For a given scatterer, is it possible to design an incident wave that produces no scattering? The answer is yes if and only if the wave number coincides with a resonant frequency of an interior problem formulated inside the scatterer. This duality can be reversed and exploited to compute scattering poles. It can also be used to produce an indicator function for crack densities in a fractured media. These issues and related open questions will be the main topic of my talk.

Dans ce travail en collaboration avec Flaviana Iurlano et Filip Rindler, nous considérons un problème classique d’optimisation qui consiste à rechercher la forme optimale minimisant la compliance d’une structure élastique sous une contrainte de masse. Nous effectuons une analyse asymptotique des formes « quasi-optimales » quand la masse tend vers zéro. Les configurations limites sont données par des mesures de probabilité minimisant une énergie relaxée explicite, due à une perte de convexité du fait de la contrainte de masse. Nous retrouvons ainsi un modèle limite qui justifie rigoureusement la théorie des treillis de Michell pour des structures optimales de petite dimension par rapport à l’espace ambiant.

Il est connu qu’une application harmonique minimisante sur un domaine borné \(\Omega\subset\mathbb{R}^2\) à valeurs dans une variété \(\mathcal{N}\) — à savoir minimisant l’énergie de Dirichlet avec sa propre donnée au bord — est lisse. En particulier, si \(\Omega\) est simplement connexe, alors il n’est pas possible d’étendre à énergie finie une donnée au bord dont la classe d’homotopie n’est pas triviale. Pour de telles données au bord, nous verrons cependant comment définir des applications les plus harmoniques possibles. Ces applications sont harmoniques en dehors d’un ensemble fini de points — ou singularités ponctuelles — d’où l’appellation {\it applications harmoniques singulières}. L’énergie diverge alors logarithmiquement près de chaque singularité et dépend de la classe d’homotopie associée (le degré dans le cas où la variété est le cercle). La minimisation de l’énergie à l’ordre principal conduit à un problème combinatoire non trivial consistant à décomposer la donnée au bord en une liste optimale de singularités topologiquement compatibles ; nous décrirons quelques exemples concrets issus de la physique. À l’ordre suivant, être le plus harmonique possible signifie que l’énergie renormalisée, obtenue en retirant à l’énergie de Dirichlet la contribution infinie près de chaque singularité, est minimale. Nous verrons que pour certaines variétés suffisamment symétriques, en particulier dans le cas du cercle étudié par Bethuel-Brézis-Hélein, il est possible de caractériser le comportement près d’une singularité des applications minimisant l’énergie renormalisée.

Dans cette présentation sont présentées des méthodes de type éléments discrets ayant la particularité de dériver des équations continues de modèles mécaniques d’intérêt.

Ces travaux ont été effectués en collaboration avec A. Ern et L. Monasse.

We study the asymptotic behavior of linear hyperbolic systems subject to unknown boundary disturbances. Our aim is to construct a boundary feedback law, based on a sliding mode procedure, which rejects the disturbance in finite time and which globally stabilizes the equilibrium point zero. The main novelty of our approach consists in defining a sliding variable and a corresponding sliding surface on which the global exponential stability is ensured. More precisely, the sliding surface is derived from the gradient of a Lyapunov function. We will extend this approach to an equation of conservation laws with simulations.