Nous nous intéresserons à une méthode de décomposition de domaine avec recouvrement pour l’équation de Helmholtz à hautes fréquences – il s’agit de la méthode avec recouvrement classique due à Schwarz mais utilisée ici avec des conditions au bord absorbantes du type impédance sur les bords des sous-domaines. Nos travaux [Gong-Gander-Graham-Lafontaine-Spence] ont relié la convergence d’une telle méthode aux normes de certaines applications du type impédance-vers-impédance et de leurs itérées, applications qui à une donnée du type impédance sur un bord du domaine associent la trace du type impédance sur l’autre bord du domaine de la solution de Helmholtz associée. Je présenterai des bornes fines sur de telles applications dans la limite des hautes fréquences, et leurs conséquences sur l’étude de la méthode de décomposition de domaine correspondante. Travail en collaboration avec Euan Spence.

Variational formulations are a popular tool to analyse linear PDEs (eg. neutron
diffusion, Maxwell equations, Stokes equations …), and it also provides a
convenient basis to design numerical methods to solve them. Of paramount
importance is the inf-sup condition, designed by Ladyzhenskaya, Necas,
Babuska and Brezzi in the 1960s and 1970s. As is well-known, it provides
sharp conditions to prove well-posedness of the problem, namely existence
and uniqueness of the solution, and continuous dependence with respect to the
data. Then, to solve the approximate, or discrete, problems, there is the
(uniform) discrete inf-sup condition, to ensure existence of the approximate
solutions, and convergence of those solutions to the exact solution. Often, the
two sides of this problem (exact and approximate) are handled separately, or at
least no explicit connection is made between the two.
In this talk, I will focus on an approach that is completely equivalent to the
inf-sup condition for problems set in Hilbert spaces, the T-coercivity
approach. This approach relies on the design of an explicit operator to realize
the inf-sup condition. If the operator is carefully chosen, it can provide useful
insight for a straightforward definition of the approximation of the exact
problem. As a matter of fact, the derivation of the discrete inf-sup condition
often becomes elementary, at least when one considers conforming methods,
that is when the discrete spaces are subspaces of the exact Hilbert spaces. In
this way, both the exact and the approximate problems are considered,
analysed and solved at once.
In itself, T-coercivity is not a new theory, however it seems that some of its
strengths have been overlooked, and that, if used properly, it can be a simple,
yet powerful tool to analyse and solve linear PDEs. In particular, it provides
guidelines such as, which abstract tools and which numerical methods are the
most “natural” to analyse and solve the problem at hand. In other words, it
allows one to select simply appropriate tools in the mathematical, or
numerical, toolboxes. This claim will be illustrated on classical linear PDEs,
and for some generalizations of those models.

L’existence globale de solutions classiques est étudiée pour un modèle de chimiotactisme basé sur des interactions locales individu/signal et incluant une mobilité décroissante quand l’intensité du signal augmente. Contrairement au modèle classique de chimiotactisme de Keller-Segel, on montre qu’il n’y a pas d’explosion en temps fini. On identifie de plus une classe de mobilités pour lesquelles les solutions sont bornées (collaborations avec Jie Jiang, Wuhan et Yanyan Zhang, Shanghai).

Dans cet exposé, nous nous intéressons à une équation de convection-diffusion avec un terme non linéaire en gradient de température appelé terme « d’effet Joule ». Une méthode de volumes finis est proposée pour l’approximation numérique de la solution, dont la convergence vers une solution faible est démontrée. Nous établissons en particulier une inégalité discrète de Gagliardo-Nirenberg d’ordre deux sur laquelle la preuve s’appuie. Ce travail a été réalisé en collaboration avec Caterina Calgaro et Clément Cancès.

Rencontre GDR-Calva à Nancy 13-14 décembre 2022

Site de la rencontre :  https://indico.math.cnrs.fr/event/8364/page/567-accueil

Organisateurs:  Antoine Lemenant (Nancy), Reza Pakzad (Toulon)

Gestion administrative: Virginie Lamouroux (Nancy), Valérie Gobert (Nancy)

Pour toute question veuillez contacter : Antoine.Lemenant@univ-lorraine.fr

Liste des orateurs :

Jean-François Babadjian (Paris-Saclay)

Antonin Chambolle (Paris-Dauphine)

Gisella Croce (Le Havre)

Thierry De Pauw (Paris)

Guy David (Paris Saclay)

Michael Goldman (Paris)

Ilaria Lucardesi (Florence)

Exposés courts :

Jules Candau-Tilh (Lille-Paris)

Peter Gladbach (Bonn)

Camille Labourie (Erlangen-Nuremberg)

Yana Teplitskaya (Leiden)

Résumé: Un milieu quasi-périodique est un milieu ordonné sans être périodique. Un exemple assez connu depuis le prix Nobel de Chimie 2011 est le quasi-cristal. La notion de quasi-périodicité est très bien définie dans la littérature mathématique. Pour donner une idée, une fonction quasi-périodique 1D est la trace suivant une droite donnée d’une fonction périodique de plusieurs variables. Les EDP à coefficients quasi-périodiques ont fait l’objet d’études théoriques dans le contexte de l’homogénéisation, mais il semble qu’il y ait eu beaucoup moins de travaux en dehors de ce contexte, et encore moins sur la résolution numérique de ces équations.

L’objectif de ce travail est de développer des méthodes numériques originales pour résoudre l’équation des ondes harmoniques en milieux quasi-périodiques, dans l’esprit des méthodes précédemment développées pour des milieux périodiques. L’idée est d’utiliser le fait que l’étude d’une EDP elliptique avec des coefficients quasi-périodiques se ramène à l’étude d’une EDP augmentée non-elliptique, posée en dimension supérieure, mais dont les coefficients sont périodiques. Cette approche, dite de relèvement, permet de résoudre l’EDP périodique avec des outils adaptés. Cependant, le caractère non-elliptique rend l’analyse mathématique et numérique de la méthode délicate.

Dans cet exposé, je présenterai dans un premier temps la méthode de relèvement sur un problème 1D quasi-périodique. Je discuterai ensuite de l’extension de cette méthode à un problème de transmission entre un milieu périodique et un milieu constant, lorsque l’interface ne coupe pas le milieu périodique dans une direction de périodicité. L’efficacité de l’approche sera illustrée par des résultats numériques.  

On s’intéresse à la modélisation d’un écoulement à bulles compressibles par une méthode d’homogénéisation. 

Abstract

As part of control theory, stabilization consists in finding a way to make stable a trajectory of a system on which one has some means of action. In this talk, we will discuss recent advances in stabilization of PDEs, starting with one of the most natural approaches for nonlinear systems, quadratic Lyapunov functions, to more complex approaches such as Fredholm backstepping. Backstepping consists in finding a control operator such that the PDE system can be invertibly mapped to a simpler PDE system for which stability is known. Surprisingly powerful, this approach offers the possibility to deal with very general classes of systems. We will review the origin of the method and present new results that resolve a question opened in 2017 and illustrate it on the rapid stabilization of the linearized water-wave equations. Finally, if time allows we will talk about a completely different subject: teaching mathematics to an AI and we will consider two questions, can we train an AI to predict the solution of a mathematical problem? can we train an AI to prove a statement?

I will present some recent work in collaboration with Elisa Davoli (TU Wien) and Katerina Nik (University of Vienna) on a three-dimensional quasistatic morpholelastic model. The mechanical response of the body and its growth are modeled by the interplay of hyperelastic energy minimization and growth dynamics. An existence result is obtained by regularization and time-discretization, also taking advantage of an exponential-update scheme. Then, we allow the growth dynamics to depend on an additional scalar field modeling nutrient concentration, and formulate an optimal control problem. Eventually, we tackle the existence of coupled morphoelastic and nutrient solutions, when the latter is allowed to diffuse and interact with the growing body.

In this talk I will provide an overview on the problem of controllability of parameter dependent systems. I will explore different control notions successfully developed through the last decade.
The aim of the control function is to steer the system to a state satisfying some properties prescribed either at some time instant T>0 or during a given time interval. These properties may be separated with respect to parameter values and can refer just to a single system itself (e.g. greedy control), or may consider solutions corresponding to the whole parameter range (e.g. ensemble control, averaged control). In the latter case control functions are designed as parameter invariant, implying a same control is to be applied to the system independently of a particular realization of the parameter, while in the first case controls vary along with the parameter. Beside the positive theoretical results, for each notion we provide a computational algorithm.