Dans cet exposé je présenterai une classe de problèmes variationnels classiques ou moins classiques de type « optimisation de forme » sur les compacts connexes 1-dimensionnels du plan. Je m’intéresserai tout particulièrement à  leur approximation dite « par champ de phase », qui abouti à  une méthode numérique. La nouveauté étant de pouvoir contraindre la connexité dans l’ensemble optimal trouvé. L’étude de la fonctionnelle d’approximation est elle même intéressante, car reliée à  une equation de type Allen-Cahn avec terme source singulier (i.e. mesure de Hausdorff).

Les varifolds sont une notion de surface généralisée introduite par Almgren en 1965 anfin d’étudier les points critiques de la fonctionnelle d’aire. Comme la plupart des concepts développés en théorie géométrique de la mesure, l’utilisation des varifolds a longtemps été dédiée à  l’étude théorique de problèmes variationnels géométriques. Cependant, la souplesse de ces concepts constitue un véritable avantage en ce qui concerne l’étude des surfaces discrètes : il est possible de munir d’une structure de varifold les surfaces classiques mais aussi la plupart des surfaces discrètes (nuages de points, approximations volumiques, triangulations etc.), ce qui permet d’étudier objets discrets et continus dans un même espace. J’expliquerai comment ce cadre nous a permis de définir une notion de courbure discrète unifiée (puis de seconde forme fondamentale) possédant de bonne propriétés de convergence et reposant uniquement sur la structure de varifold. Des calculs numériques effectués sur des nuages de points illustreront cette approche. Il s’agit d’un travail en collaboration avec G.P. Leonardi (univ. Modena e Reggio Emilia) et S. Masnou (Univ. Lyon).

The aim of this seminar is to present some results about minimal bubble clusters in some sub-Riemannian spaces. This amounts to find the best configuration of $min mathbb N$ regions in a manifold enclosing given volumes, in order to minimize their total perimeter. In a $n$-dimensional sub-Riemannian manifold, the perimeter is a non-isotropic $(n-1)$-dimensional measure that is defined according to the geometry. After an introduction to the subject, we will present some results concerning the cases $m=1$ (isoperimetric problem) and $m=2$ (double bubble problem), in a class of sub-Riemannian structures connected to the Heisenberg geometry. This is the framework of an open problem about the shape of isoperimetric sets, known as Pansu’s conjecture. We start by presenting the isoperimetric problem in Grushin spaces and Heisenberg type groups, under a symmetry assumption that depends on the dimension (based on joint work with R. Monti, University of Padova). We conclude by showing some recent results in collaboration with Giorgio Stefani (SNS, Pisa) concerning the double bubble problem in the Grushin plane.

The seminar concerns the approximation à  la Ambrosio-Tortorelli of the Griffith energy functional for brittle fracture. While the Griffith energy depends on the n-1 dimensional discontinuity set of any function, the approximating energies are elliptic functionals (depending on a further emph{phase field} variable) so more convenient to minimise by Numerical Analysis techniques. For this reason this phase field approximation is employed in a large number of Mechanical works. The result applies to the Dirichlet minimisation problem and follows from a sharp density result in the energy space for the Griffith functional, that can be applied in other situations, e.g. to prove different approximations of Griffith energy.

L’équation des ondes avec une condition de transmission modélise la propagation d’ondes dans des milieux différents avec des vitesses de propagation différentes. à€ l’interface de ces milieux, la condition de transmission est équivalente, pour les rayons, à  la loi de Snell-Descartes. Un rayon incident à  l’interface peut donc être réfléchi dans le milieu d’o๠il provient et transmis dans l’autre milieu. La difficulté du problème d’observabilité de cette équation repose sur le fait que la condition de contrôle géométrique n’est plus suffisante. En effet, des interférences entre des rayons transmis et réfléchis peuvent survenir à  l’interface de sorte qu’un rayon observé dans la région d’observation ne donne pas suffisamment d’informations sur le rayon initial. Dans cet exposé nous présenterons des conditions géométriques suffisantes pour l’observabilité frontière de l’équation des ondes avec une condition de transmission. Nous introduirons une construction géométrique permettant d’analyser systématiquement la propagation des rayons provenant de l’interface.

Dans cet exposé, nous présentons de nouveaux résultats concernant un problème d’interaction fluide-structure. Nous considérons le problème de Cauchy pour l’équation des vagues dans le cas o๠le domaine occupé par le fluide est à  surface libre et avec un fond plat sur lequel un objet solide se translate horizontalement sous l’effet de la force de pression du fluide. Nous examinons deux systèmes asymptotiques décrivant le cas d’un fluide parfait incompressible en faible profondeur correspondant aux équations de Saint-Venant et de Boussinesq. Nous décrivons le système couplé dans ces deux régimes asymptotiques afin d’établir des résultats d’existence et d’unicité pour des données régulières (au sens de Sobolev). Afin de déterminer le mouvement du solide, une analyse précise des termes asymptotiquement singuliers induits par les forces de frottements est nécessaire.

This talk summarizes joint works by the speaker and Anne-Sophie BonnetBen Dhia, Lucas Chesnel, Camille Carvalho and Juan-Pablo Borthagaray on how to solve problems with discontinuous, sign-changing coefficients. In electromagnetic theory, the effective response of specifically designed materials is modeled by strictly negative coefficients: these are the so-called negative materials. Transmission problems with discontinuous, sign-changing coefficients then occur in the presence of negative materials surrounded by classical materials. For general geometries, establishing Fredholmness of these transmission problems is well-understood thanks to the T-coercivity approach [2]. Let $sigma$ be a parameter that is strictly positive in some part of the computational domain, and strictly negative elsewhere. We focus on the scalar source problem: find $u$ such that $mathrm{div}sigma nabla u – omega^2 u = f $ plus boundary condition, where $f$ is some data and $omega$ is the pulsation. Denoting by $sigma^+$ the strictly positive value, and by $sigma^-$ the strictly negative value, one can prove that there exists a critical interval $I_sigma$, such that the scalar source problem is well-posed in the Fredholm sense if, and only, if, the ratio $sigma^-/sigma^+$ lies outside the critical interval [2]. One may derive similar results for the related eigenvalue problem [4]. The shape of the interface separating the two materials must be taken into account to solve the problems numerically. For a plane interface, there exist meshing rules that guarantee an optimal convergence rate for the finite element approximation. We propose a new treatment at the corners of the interface which allows to design meshing rules for an arbitrary polygonal interface and then recover standard error estimates. This treatment relies on the use of simple geometrical transforms to define the meshes. Numerical results illustrate the importance of this new design [5, 1]. In a last part (time permitting), we discuss the extension of those results to nonlocal problems with discontinuous, sign-changing coefficients [3]. References : [1] A.-S. Bonnet-Ben Dhia, C. Carvalho, P. Ciarlet Jr., Mesh requirements for the finite element approximation of problems with sign-changing coefficients, Numer. Math. (To appear). [2] A.-S. Bonnet-Ben Dhia, L. Chesnel, P. Ciarlet Jr., T-coercivity for scalar interface problems between dielectrics and metamaterials, Math. Mod. Num. Anal., 46 (2012), pp. 1363–1387. [3] J.P. Borthagaray, P. Ciarlet Jr., Nonlocal models for interface problems between dielectrics and metamaterials, Proceedings of the Metamaterials’2017 Conference, Marseille, France, IEEE (To appear). [4] C. Carvalho, L. Chesnel, P. Ciarlet Jr., Eigenvalue problems with signchanging coefficients, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, 355 (2017), pp. 671– 675. [5] L. Chesnel, P. Ciarlet Jr., T-coercivity and continuous Galerkin methods: application to transmission problems with sign changing coefficients, Numer. Math., 124 (2013), pp. 1–29.

Dans cet exposé je souhaite présenter un résultat d’existence de solutions fortes, locales en temps, pour un système fluide-structure avec conditions de bord mixtes. Le fluide est décrit par les équations de Navier-Stokes incompressibles en dimension 2 dans un domaine de type rectangulaire. La partie supérieure du domaine est une membrane dont le déplacement satisfait une équation d’Euler-Bernoulli amortie. Le résultat est donné sans aucunes hypothèses de petitesse sur les données initiales. Je conclurai en évoquant l’existence de solutions périodiques en temps pour ce système.

When several stable states coexist, propagation phenomena are often observed in many fields including dissipative situations. To characterize the universal profiles of these phenomena, traveling wave solutions and entire solutions play important roles. Here traveling wave solution is meant by a solution of a partial differential equation that propagates with a constant speed, while it maintains its shape in space, and an entire solution is a solution defined for all space and time variables. In this talk we focus on the Allen-Cahn-Nagumo equation, which is a single reaction diffusion equation with bistable nonlinearity and explain how to construct entire solutions and the relation between traveling wave solutions and entire solutions.

On preuve que les fonctions spéciales à  déformation bornée avec peu de saut sont proches dans le sens de l’énergie à  des fonctions qui sont régulières dans un domaine plus petit. Cela permet de généraliser l’inégalité de monotonie de De Giorgi, Carriero et Leaci au contexte linéarisé en dimension n et d’établir la fermeture de l’ensemble de saut pour les minimiseurs de l’énergie de Griffith.

Bernoulli’s free boundary problem is an overdetermined problem in which one seeks an annular domain such that the capacitary potential satisfies an extra boundary condition. There exist two different types of solutions: elliptic and hyperbolic solutions. Elliptic solutions are « stable » solutions and tractable by variational method and maximum principle, while hyperbolic solutions are « unstable » solutions of which the qualitative behavior is less known. I will present a recent joint work with Antoine Henrot in which we show the qualitative behavior of hyperbolic solutions by a new flow approach.

On veut expliquer la forme des oeufs d’eulimnadia, petit animal vivant dans des mares éphémères, en utilisant les outils de l’optimisation de forme. En effet, la théorie de l’évolution laisse penser que la forme des objets que l’on retrouve dans la nature résulte d’un processus d’optimisation, c’est à  dire que leur forme est telle que l’objet en question est le plus à  même de résister aux contraintes qui s’exercent sur lui. On propose un critère naturel optimisé par la forme de l’oeuf, que l’on modélise mathématiquement par un problème de minimisation de fonctionnelle de forme s’écrivant comme combinaison convexe du rayon intérieur, du diamètre et de la densité, notion que l’on définira. On présente le travail réalisé jusqu’à  présent.

Let us consider the bilinear Schr »{o}dinger equation $ipartial_t psi(t)=Apsi(t)+u(t)Bpsi(t)$ in $L^2(G,mathbb C)$ for $G$ a compact quantum graph. We assume $B$ a bounded symmetric operator, $u$ a control function and $psi^0$ is the initial state of the system. The operator $A=-Delta$ is the Laplacian equipped with self-adjoint type boundary conditions into the vertices of the graph. Provided the well-posedness of the equations, we present assumptions on $B$ and on the spectrum of $A$ implying the global exact controllability in suitable subspaces of $mathcal H$. When the previous assumptions fail, we introduce a weaker notion of controllability allows to provide interesting results also when the graph $G$ is a complex structure and we are not able to verify the spectral assumptions for the global exact controllability. »

Joint work with Z. Ammari, and F. Nier. In this work, we study how multiscale analysis and quantum mean field asymptotics can be brought together. In particular we study when a sequence of one-particle density matrices has a limit with two components: one classical and one quantum. The introduction of « separating quantization for a family » provides a simple criterion to check when those two types of limit are well separated. We give examples of explicit computations of such limits, and how to check that the separating assumption is satisfied.

Nous discutons dans cet exposé de la limite du cout du controle a zero de l’equation d’advection-diffusion $y_t-epsilon y_{xx}+ M y_x=0$ lorsque le paramètre $epsilon$ tend vers $0$. Cette limite dépend fortement du temps de contrôlabilité et du signe de M. A travers quelques remarques de nature théoriques et numériques, nous montrons à  quel point ce problème de contrôlabilité est singulier. Nous discutons notamment l’analyse asymptotique de l’équation.

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Nous présentons deux approches différentes pour construire des méthodes numériques pour les problèmes hautement oscillants, dont la précision est uniforme par rapport à  la fréquence d’oscillation. On parle dans ce cas de schémas UA (uniformly accurate). Une première méthode UA consiste à  séparer les variables rapide et lente, en rajoutant de façon adéquate une variable supplémentaire au modèle. Une deuxième méthode UA est basés sur une décomposition micro-macro qui reformule le problème en une équation moyennée à  différents ordres en la fréquence, couplée à  une équation micro satisfaite par le reste. Les propriétés de régularité uniforme par rapport à  la fréquence dont jouissent ces deux reformulations, permettent l’utilisation des méthodes numériques usuelles avec un ordre de précision indépendant de la fréquence des oscillations. Des applications en théorie cinétique (Vlasov avec Champ magnétique fort) et en mécanique quantique (Klein-Gordon et limite non-relativiste) seront présentées.

En 2005-2007 Burdzy, Caffarelli et Lin, Van den Berg ont conjecturé, dans des contextes différents, que l’asymptotique des partitions optimales d’un domaine du plan en cellules minimisant la somme (le maximum) des premières valeurs propres du Laplacien-Dirichlet est donnée par un réseau d’hexagones réguliers. Nous allons discuter l’historique de cette conjecture en présentant les arguments de Toth et Hales pour le problème du nid d’abeilles en nous allons démontrer la conjecture (du maximum) pour les valeurs propres du Laplacien-Robin. Les résultats ont été obtenus en collaboration avec I. Fragala, B. Velichkov et G. Verzini.

On présentera une séries de travaux en collaboration avec Henri Berestycki sur des systèmes de prédateurs qui interagissent entre eux et avec une seule proie. Ce système est lié au célèbre modèle de dynamique de population de Lotka et Volterra, ainsi que au modèle de Gross et Pitaevskii proposé pour l’étude des condensats de Bose-Einstein, et à  des modèles de réactions chimiques distribuées spatialement. On analysera le cas de prédateurs qui, comme les loups, peuvent se partager en meutes hostiles. Les questions qui on se posera sont de comprendre sous quelles conditions les prédateurs se partagent en meutes, s’il y a un avantage à  avoir des meutes hostiles et finalement de comparer les différents configurations qui émergent dans ce contexte. Plus précisément, on se concentra sur l’analyse des solutions stationnaires, notamment leur stabilité, et sur l’asymptotique du système quand le paramètre de compétition diverge.

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