L’exposé se veut une introduction à l’une des frontières actuelles de notre compréhension de la stabilité non linéaire des ondes progressives des équations aux dérivées partielles, spécifiquement comment la stabilité spectrale implique la stabilité non linéaire pour les ondes progressives générales des systèmes hyperboliques.

Les principaux obstacles à une théorie générale trouvent leur origine dans le fait que les profils des ondes comprennent typiquement des discontinuités et/ou des points caractéristiques, tous deux ayant un fort impact même au niveau spectral.

L’exposé montrera quelques avancées significatives vers une théorie générale obtenues par l’orateur dans une série de travaux en collaborations (disjointes) avec Vincent Duchêne (Rennes), Paul Blochas (Rennes), Louis Garénaux (Karlsruhe) et Grégory Faye (Toulouse).

Nous allons discuter des méthodes pour construire des mesures invariantes pour l’équation de Benjamin-Ono et le rôle joué par l’intégrabilité de cette équation dans ces constructions.

Le système point-vortex décrit la dynamique de tourbillons idéaux dans un fluide 2D incompressible et non visqueux. Lorsqu’une collision de points-vortex se produit, la dynamique devient singulière et le temps de vie maximal des solutions est atteint. Nous discuterons de ce phénomène en montrant en particulier que les trajectoires des points-vortex sont 1/2-Hölderiennes jusqu’au temps de collision. Nous verrons également comment ce résultat s’étend en présence d’un bord, ainsi que dans le contexte des fluides quasi-géostrophiques. Nous mentionnerons également un résultat d’improbabilité des collisions, ainsi que le problème ouvert de l’existence de collisions au bord d’un domaine.

L’exposé se fera en visio-conférence.

Résumé : On présente quelques résultats autour du
comportement asymptotique
d’opérateurs de convolution itérés (en une dimension d’espace). Ce
problème intervient à la
fois dans l’étude en temps grand des schémas aux différences finies pour
les équations
d’évolution ainsi que dans l’étude en temps grand des marches
aléatoires. Le but est d’obtenir
une généralisation du théorème dit de la limite locale en théorie des
probabilités, et de montrer
des bornes gaussiennes généralisées dans le cas « stable » des schémas
numériques stables pour
la norme du maximum. Il s’agit d’un travail en collaboration avec
Grégory Faye.

Nous nous intéresserons à une méthode de décomposition de domaine avec recouvrement pour l’équation de Helmholtz à hautes fréquences – il s’agit de la méthode avec recouvrement classique due à Schwarz mais utilisée ici avec des conditions au bord absorbantes du type impédance sur les bords des sous-domaines. Nos travaux [Gong-Gander-Graham-Lafontaine-Spence] ont relié la convergence d’une telle méthode aux normes de certaines applications du type impédance-vers-impédance et de leurs itérées, applications qui à une donnée du type impédance sur un bord du domaine associent la trace du type impédance sur l’autre bord du domaine de la solution de Helmholtz associée. Je présenterai des bornes fines sur de telles applications dans la limite des hautes fréquences, et leurs conséquences sur l’étude de la méthode de décomposition de domaine correspondante. Travail en collaboration avec Euan Spence.

Variational formulations are a popular tool to analyse linear PDEs (eg. neutron
diffusion, Maxwell equations, Stokes equations …), and it also provides a
convenient basis to design numerical methods to solve them. Of paramount
importance is the inf-sup condition, designed by Ladyzhenskaya, Necas,
Babuska and Brezzi in the 1960s and 1970s. As is well-known, it provides
sharp conditions to prove well-posedness of the problem, namely existence
and uniqueness of the solution, and continuous dependence with respect to the
data. Then, to solve the approximate, or discrete, problems, there is the
(uniform) discrete inf-sup condition, to ensure existence of the approximate
solutions, and convergence of those solutions to the exact solution. Often, the
two sides of this problem (exact and approximate) are handled separately, or at
least no explicit connection is made between the two.
In this talk, I will focus on an approach that is completely equivalent to the
inf-sup condition for problems set in Hilbert spaces, the T-coercivity
approach. This approach relies on the design of an explicit operator to realize
the inf-sup condition. If the operator is carefully chosen, it can provide useful
insight for a straightforward definition of the approximation of the exact
problem. As a matter of fact, the derivation of the discrete inf-sup condition
often becomes elementary, at least when one considers conforming methods,
that is when the discrete spaces are subspaces of the exact Hilbert spaces. In
this way, both the exact and the approximate problems are considered,
analysed and solved at once.
In itself, T-coercivity is not a new theory, however it seems that some of its
strengths have been overlooked, and that, if used properly, it can be a simple,
yet powerful tool to analyse and solve linear PDEs. In particular, it provides
guidelines such as, which abstract tools and which numerical methods are the
most “natural” to analyse and solve the problem at hand. In other words, it
allows one to select simply appropriate tools in the mathematical, or
numerical, toolboxes. This claim will be illustrated on classical linear PDEs,
and for some generalizations of those models.

L’existence globale de solutions classiques est étudiée pour un modèle de chimiotactisme basé sur des interactions locales individu/signal et incluant une mobilité décroissante quand l’intensité du signal augmente. Contrairement au modèle classique de chimiotactisme de Keller-Segel, on montre qu’il n’y a pas d’explosion en temps fini. On identifie de plus une classe de mobilités pour lesquelles les solutions sont bornées (collaborations avec Jie Jiang, Wuhan et Yanyan Zhang, Shanghai).

Dans cet exposé, nous nous intéressons à une équation de convection-diffusion avec un terme non linéaire en gradient de température appelé terme « d’effet Joule ». Une méthode de volumes finis est proposée pour l’approximation numérique de la solution, dont la convergence vers une solution faible est démontrée. Nous établissons en particulier une inégalité discrète de Gagliardo-Nirenberg d’ordre deux sur laquelle la preuve s’appuie. Ce travail a été réalisé en collaboration avec Caterina Calgaro et Clément Cancès.