PDE and applications seminar | Nancy

In this talk, we will study a class of metric spaces that satisfy a strengthened version of the triangle inequality, known as metric spaces with small rough angles (SRA), and that capture the idea that all metric angles determined by triples of points are, in a certain sense, small. We will explore different scenarios in which an arbitrary metric space may fall into one of two possibilities: either it does not contain sufficiently large subsets satisfying the SRA condition, or it admits arbitrarily large subsets that do satisfy this property. We will also see that these conditions are particularly relevant for investigating whether self-contracted curves, a class of curves that provides a natural framework for the study of convex gradient-type dynamical systems, have finite length.

Dans cet exposé, je présenterai un résultat de contrôlabilité locale pour une large classe d’équations d’évolution sur (0,1) entre des états de fonctions analytiques. Si l’on prescrit des conditions au bord, la contrôlabilité a lieu entre fonctions satisfaisant des conditions de compatibilité. La preuve utilise la résolution d’un problème mal posé à partir du bord dans des espaces Gevrey ainsi que la description du lien entre le “jet” des dérivées en temps et celui des dérivées en espace. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Ivonne Rivas et Lionel Rosier.

Nous étudions une fonctionnelle d’énergie en deux dimensions motivée par des modèles de cristaux liquides présentant des constantes élastiques très disparates. L’énergie s’applique aux champs de vecteurs u et est formée de la fonctionnelle de Ginzburg-Landau à laquelle on ajoute un terme pénalisant l’énergie L2 de la divergence avec un coefficient de l’ordre de log(1/eps). Nous considérons des configurations avec des conditions aux limites tangentielles dans un régime d’énergie modéré.

Dans ce régime, le modèle a des propriétés de régularité et de compacité plus fortes que celles données pas la théorie classique sur Ginzburg-Landau. Alors que cette dernière ne donne qu’une compacité faible du paramètre d’ordre u et une convergence des jacobiens vers des sommes de masses de Dirac représentant des singularités de type vortex, nous prouvons la compacité forte du paramètre d’ordre et donnons une description fine des singularités. Ces travaux mettent en évidence un lien étroit avec la théorie sur la fonctionnelle d’Aviles-Giga, en particulier un phénomène de régularité par compensation.

Dans cet exposé, je présenterai un résultat récent de stabilisation obtenu avec Hugo Parada (IECL) et portant sur l’équation des ondes avec une condition au bord hyperbolique (ou condition au bord de Wentzell dynamique). Dans ce cas, le comportement au bord est régi par une équation des ondes couplée à l’équation des ondes interne.

Nous considérerons une configuration mixte où le bord est fait d’une partie dynamique et d’une autre (disjointe, éventuellement vide) laissée au repos. Lorsque la partie dynamique du bord est amortie et satisfait la condition de contrôle géométrique, nous avons montré que l’énergie des solutions classiques (ou fortes) décroît comme 1/t en temps long. Notre démonstration repose sur une estimation de la résolvante du système via l’analyse de quasi-modes aux hautes fréquences, des inégalités de traces obtenues dans différents régimes microlocaux et un argument spécial de découplage. Une analyse spectrale de “modes concentrés” dans le cas du disque révèle que ce taux est optimal. En particulier, la stabilité du système est non uniforme : l’énergie de certaines solutions faibles peut converger vers zéro de manière arbitrairement lente.

J’en profiterai pour rappeler également quelques résultats classiques de stabilisation des ondes par une condition de Neumann amortie statique et tâcherai alors d’expliquer “avec les mains” en quoi la dynamique au bord est une entrave à la stabilité uniforme.

Dans cet exposé, je discuterai de problèmes isopérimétriques issus du modèle de goutte liquide de Gamow pour le noyau atomique, dans lequel le périmètre est perturbé par une interaction répulsive non locale. Après avoir rappelé des résultats classiques et des conjectures liés au modèle original, je présenterai des résultats qui diffèrent du cas classique lorsque le noyau de répulsion décroît suffisamment rapidement. Je m’intéresserai en particulier aux questions d’existence de minimiseurs, de régularité et de phénomènes de brisure de symétrie.

Cet exposé vise à être une introduction aux techniques développées par [Zumbrun Howard, 98’] et [Mascia Zumbrun, 03 ‘] et utilisées pour étudier la stabilité des ondes progressives dans divers problèmes (généralement paraboliques). Ces techniques reposent généralement sur une étude précise du spectre du linéarisé au niveau de l’onde et la traduction de ces informations spectrales en estimées sur le comportement en temps long de la fonction de Green du linéarisé.

Dans cet exposé, on se concentrera sur l’application de ces techniques pour extraire le comportement en temps long des schémas aux différences finies pour l’équation de transport. En particulier, on détaillera l’étude et le prolongement analytique de la fameuse « fonction de Green spatiale » à travers le spectre essentiel de l’opérateur d’évolution du schéma. Tout cela sera suivi d’une discussion sur les difficultés supplémentaires pouvant apparaître en appliquant ces techniques pour des problèmes plus complexes tels que l’étude des profils de choc totalement discrets.

We study the time-harmonic scattering by a heterogeneous object covered with a thin layer of randomly distributed sound-soft nanoparticles. The size of the particles, their distance between each other and the layer’s thickness are all of the same order but small compared to the wavelength of the incident wave. Solving the Helmholtz equation in this context can be very costly and the simulation depends on the given distribution of particles. To circumvent this, we propose, via a multi-scale asymptotic expansion of the solution, an effective model where the layer of particles is replaced by an equivalent boundary condition. The coefficients that appear in this equivalent boundary condition depend on the solutions to corrector problems of Laplace type defined on unbounded random domains. Under the assumption that the particles are distributed given a stationary and mixing random point process, we prove that those problems admit a unique solution in the proper space. We then establish quantitative error estimates for the effective model and present numerical simulations that illustrate our theoretical results.

This is a joint work with Sonia Fliss (Poems, ENSTA).

Je présenterai la construction d’un domaine planaire à un unique trou, sur lequel la ligne nodale d’une seconde fonction propre du laplacien de Dirichlet est close et ne rencontre pas le bord. Ceci montre que la conjecture de Payne sur la ligne nodale ne peut être valide en dehors des domaines simplement connexes.

Je vais présenter un problème d’optimisation à frontière libre analogue au problème de Alt-Caffarelli pour les fonctions biharmoniques. Ce problème apparaît dans différentes questions d’optimisation de forme, dont la minimisation de la trainée d’un obstacle dans un fluide sous contrainte de mesure, la minimisation de la première valeur propre de l’opérateur de Stokes (ou de flambage) dans les domaines du plan, etc.. On s’attend à ce que la frontière libre obtenue soit généralement une union de courbes lisses, pouvant se rejoindre avec un angle d’environ 1.43pi, et je présenterai plusieurs résultats allant dans ce sens.

C’est un travail en collaboration avec Jimmy Lamboley.

Le succès de la chimiothérapie dépend à la fois de la stratégie d’administration du médicament et de sa capacité à éliminer les cellules cancéreuses tout en préservant autant que possible les tissus sains. Dans cette présentation, nous nous intéresserons à un problème de contrôle optimal avec des contraintes d’état appliqué à la chimiothérapie des tumeurs invasives, où la dose de médicament agit comme variable de contrôle. Étant donné que le traitement affecte à la fois les cellules tumorales et les tissus sains, l’objectif du
problème de contrôle est de réduire la densité tumorale en contrôlant la dose du médicament. Pour ce faire, nous modélisons l’action thérapeutique à l’aide d’une équation de réaction-diffusion non linéaire décrivant l’évolution d’une tumeur invasive sous traitement. Nous commençons par analyser mathématiquement le problème initial de valeur limite. Nous formulons ensuite le problème de contrôle optimal sous contraintes et en déduisons les conditions nécessaires à l’optimalité. Enfin, à l’aide de simulations numériques en 2D pour un cas de cancer du sein, nous illustrons l’importance des contraintes d’état dans les stratégies de traitement optimales, avant de conclure par quelques perspectives