In a landmark paper, Scott Sheffield introduced a famous bijection, called the “hamburger-cheeseburger” bijection, to encode a certain model of random planar maps as a certain queue model in a kitchen selling hamburgers and cheeseburgers. Under this correspondence, natural geometric observables have a nice “burger” interpretation, for which Sheffield established scaling limit results. These scaling limits exhibit a phase transition in a special regime where the maps are believed to be “critical”. The goal of this talk is to present the analogue of these scaling limit results in the critical case, which can be thought of as the first convergence result of planar maps in the universality class of critical Liouville quantum gravity, in the so-called peanosphere sense. The talk is based on joint work with Xingjian Hu, Ellen Powell and Mo Dick Wong.

Many phenomena of interest in various applicative fields (epidemiology, neuroscience,…) can be idealized as interacting particle systems on random graphs. Various approaches have been proposed in recent years to develop tractable approximations of these dynamics that take the graph geometry and particle correlations into account. One of them, introduced by Lacker, Ramanan and Wu, focuses on dynamics on sparse graphs and their local limits. Analogously to mean-field models on complete and dense graphs, it is possible to establish so-called local-field equations on random trees that provide an autonomous description of the neighborhood of the root. In this talk, we will give a general overview of the local-field approach, as well as a recent result of quantitative propagation of chaos in this framework.

Exposé à Metz. Titre et résumé à venir.

Exposé à Metz. Titre et résumé à venir.

Date possible pour le colloquinte

La suite d’Oldenburger-Kolakoski est l’unique mot infini sur l’alphabet {1,2} qui commence par un “1” et est point fixe de l’opérateur de dérivation. En 1991, M.S. Keane conjecture que cette suite admet une fréquence d’1/2 pour la lettre “1”.

Les suites dites “auto-descriptives” sont une généralisation du mot d’Oldenburger-Kolakoski. Ces suites sont en bijection naturelle avec l’ensemble de toutes les suites sur l’alphabet {1,2} : une suite auto-descriptive est dite “dirigée” par son homologue naturelle sur {1,2}. Est-il possible d’inférer les fréquences de lettres de l’une à partir de l’autre ?

Je présenterai dans cet exposé deux approches à cette question : l’une probabiliste (Boisson, Jamet, Marcovici — 2024), l’autre analytique (Akiyama, Jamet, Marcovici, T.C. — 2024).

Many arguments in mathematics rely on the introduction of an auxiliary function that is compactly supported. Sometimes this compactly supported function is required to satisfy some additional regularity, but this cannot be pushed too far. It can for instance not be analytic as follows by the identity principle.

In this talk, we wish to present a technique that may bypass this obstruction. Namely, instead of considering a single function, we shall construct a sequence of function that are supported in the same compact, and satisfy some good uniform bounds on their derivatives.

This method is a powerful tool as it can, in some circumstances, turn a heuristic argument relying on a compactly supported analytic auxiliary function, into a rigorous proof. As an application, we shall discuss how this technique leads to improvements in some quantified Tauberian theorems.

http://www.iecn.u-nancy.fr/~nombres/Les-Seminaires/

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Résumé

Résumé

Je vais présenter un problème d’optimisation à frontière libre analogue au problème de Alt-Caffarelli pour les fonctions biharmoniques. Ce problème apparaît dans différentes questions d’optimisation de forme, dont la minimisation de la trainée d’un obstacle dans un fluide sous contrainte de mesure, la minimisation de la première valeur propre de l’opérateur de Stokes (ou de flambage) dans les domaines du plan, etc.. On s’attend à ce que la frontière libre obtenue soit généralement une union de courbes lisses, pouvant se rejoindre avec un angle d’environ 1.43pi, et je présenterai plusieurs résultats allant dans ce sens.

C’est un travail en collaboration avec Jimmy Lamboley.

Résumé à venir

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We present results concerning the rigorous analysis of the vanishing viscosity limit and associated boundary layer for certain classes of non-linear, 3D flows in pipes and channels.

Résumé

Let $varOmega$ be a domain in ${mathbb R}^n$ with $ngeq 2$ and $0in varOmega$. We study anisotropic elliptic equations such as $-sum_{i=1}^n,partial_{x_i} (|partial_{x_i} u|^{p_i-2}partial_{x_i} u)=delta_0$ in $varOmega$ (with Dirac mass $delta_0$ at zero), subject to $u=0$ on $partialvarOmega$. We assume that all $p_i$ are in $(1,infty)$ with their harmonic mean $p$ satisfying either Case 1: $p < n$ and $max_{1leq ileq n}{p_i}<frac{p(n-1)}{n-p}$ or Case 2: $p=n$ and $varOmega$ is bounded. We introduce a suitable notion of fundamental solution and establish its existence, together with sharp pointwise upper bound estimates near the origin for the solution and its derivatives. The latter is based on a Moser-type iteration scheme specific to each case, which is intricate due to our anisotropic analogue of the reverse H"older inequality. This is joint work with Jérôme Vétois (University of Nice)."

Energie fondamentale du Laplacien magnétique dans des ouverts à  coins

L’opérateur de Laplace magnétique s’écrit
$$
(-ihnabla+A)^2
$$
o๠$A$ est un potentiel magnétique et $h$ un paramètre destiné à  tendre vers 0. Cet opérateur est complété par les conditions de Neumann sur le bord du domaine. Le domaine est supposé appartenir à  une certaine classe géenérale d’ouverts à  coins. Cette classe contient en particulier les polyèdres, les domaines coniques et les domaines réguliers.

Le comportement de la première valeur propre de l’opérateur magnétique quand $hto0$ est gouverné par une hiérarchie de problèmes modèles posés sur les cones tangents au domaine. Nous explorons les propriétés de ces problèmes modèles en dimension 3 d’espace (continuité, semi-continuité, existence de fonctions propres gén’eralisées). Nous démontrons des formules asymptotiques avec reste pour la première valeur propre magnétique en fonction de $h$.

Les bornes inférieures sont obtenues à  l’aide d’une partition IMS à  deux échelles, alors que les bornes supérieures sont établies grâce à  une nouvelle construction de quasimodes qualifiés d’assis (sitting) ou glissants (sliding) selon les propriétés spectrales des problèmes modèles.

Exposé basé sur l’article en commun avec Virginie Bonnaillie-Noà«l et Nicolas Popoff,
“Ground state energy of the magnetic Laplacian on general three-dimensional corner domains”, disponible sur arXiv, http://fr.arxiv.org/abs/1403.7043

Dans cette exposé je vais présenter des résultats concernant les problèmes de Gel’fand-Calderon et de conductivité inverse (problème de Calderon). Il s’agit de deux problèmes inverses de valeurs au bord avec différents applications, notamment dans le domaine médicale, géophysique et dans la tomographie océanique. Le problème de Calderon consiste à  déterminer une conductivité électrique dans un domaine à  partir de l’opérateur tension-à -courant (Dirichlet-to-Neumann) au bord. Dans le problème de Gel’fand-Calderon la quantité à  reconstruire est un potentiel dans l’équation de Schrodinger, étant donné l’opérateur Dirichlet-to-Neumann associé à  énergie fixée. Je vais présenter le premier résultat de stabilité globale en dimension deux pour le problème de Gel’fand-Calderon scalaire et multi-canal (matriciel). Ensuite je vais parler d’un algorithme de reconstruction stable et rapidement convergent pour le même problème dans le cas 2D multi-canal, avec applications à  l’étude du problème en 3D . Comme derniers résultats je vais montrer des nouvelles estimations de stabilité globale pour les deux problèmes qui dépendent explicitement de la régularité et de l’énergie. J’expliquerai notamment comment la stabilité augment à  hautes énergies.

In a planar infinite strip with a fast oscillating boundary we consider an elliptic operator assuming that both the period and the amplitude of the oscillations are small. On the oscillating boundary we impose Dirichlet, Neumann or Robin boundary condition. In all cases we describe the homogenized operator, establish the uniform resolvent convergence of the perturbed resolvent to the homogenized one, and prove the estimates for the rate of convergence. These results are obtained as the order of the amplitude of the oscillations is less, equal or greater than that of the period. It is shown that under the homogenization the type of the boundary condition can change.

Résumé

Dans cet exposé, on rappelle le problème de la tomographie et sa résolution par des méthodes de type inversion de la transformée de Radon. En particulier, la célèbre méthode de Feldkamp, Davis et Kress (FDK) est présentée. Puis, nous interprétons l’usage de cette méthode en imagerie laser 3D, avec résultats numériques sur des données industrielles à  l’appui.

In this talk, starting from the paper of R. Brizzi et J.P. Chalot on problems in domains with strongly oscillating boundaries, I shall recall the contribution with D. Blanchard on this subject and I shall present recent results obtained with O. Guibé.

A domain with strongly oscillating boundary is a domain whose boundary
presents numerous asperities. The asperities have fixed height, a size
depending on a small parameter $varepsilon$ and $varepsilon$-periodic
structure.

Boundary-value problems in such a domain arise in many fields of biology,
physics and engineering sciences. It is often impossible to approach these
problems directly with numerical methods, because the rough boundary
requires a large number of mesh points in its neighborhood. Thus, the
computational cost associated to such a problem grows rapidly when
$varepsilon$ gets smaller. Moreover, it can occur that the required
discretization step becomes too small for the machine precision. Then, the
goal is to replace the problem, when the periodicity $varepsilon$ gets
smaller, with a model in a “more regular” domain $Omega$ which can be
numerically solved.