In a landmark paper, Scott Sheffield introduced a famous bijection, called the “hamburger-cheeseburger” bijection, to encode a certain model of random planar maps as a certain queue model in a kitchen selling hamburgers and cheeseburgers. Under this correspondence, natural geometric observables have a nice “burger” interpretation, for which Sheffield established scaling limit results. These scaling limits exhibit a phase transition in a special regime where the maps are believed to be “critical”. The goal of this talk is to present the analogue of these scaling limit results in the critical case, which can be thought of as the first convergence result of planar maps in the universality class of critical Liouville quantum gravity, in the so-called peanosphere sense. The talk is based on joint work with Xingjian Hu, Ellen Powell and Mo Dick Wong.

Many phenomena of interest in various applicative fields (epidemiology, neuroscience,…) can be idealized as interacting particle systems on random graphs. Various approaches have been proposed in recent years to develop tractable approximations of these dynamics that take the graph geometry and particle correlations into account. One of them, introduced by Lacker, Ramanan and Wu, focuses on dynamics on sparse graphs and their local limits. Analogously to mean-field models on complete and dense graphs, it is possible to establish so-called local-field equations on random trees that provide an autonomous description of the neighborhood of the root. In this talk, we will give a general overview of the local-field approach, as well as a recent result of quantitative propagation of chaos in this framework.

Exposé à Metz. Titre et résumé à venir.

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La suite d’Oldenburger-Kolakoski est l’unique mot infini sur l’alphabet {1,2} qui commence par un “1” et est point fixe de l’opérateur de dérivation. En 1991, M.S. Keane conjecture que cette suite admet une fréquence d’1/2 pour la lettre “1”.

Les suites dites “auto-descriptives” sont une généralisation du mot d’Oldenburger-Kolakoski. Ces suites sont en bijection naturelle avec l’ensemble de toutes les suites sur l’alphabet {1,2} : une suite auto-descriptive est dite “dirigée” par son homologue naturelle sur {1,2}. Est-il possible d’inférer les fréquences de lettres de l’une à partir de l’autre ?

Je présenterai dans cet exposé deux approches à cette question : l’une probabiliste (Boisson, Jamet, Marcovici — 2024), l’autre analytique (Akiyama, Jamet, Marcovici, T.C. — 2024).

Many arguments in mathematics rely on the introduction of an auxiliary function that is compactly supported. Sometimes this compactly supported function is required to satisfy some additional regularity, but this cannot be pushed too far. It can for instance not be analytic as follows by the identity principle.

In this talk, we wish to present a technique that may bypass this obstruction. Namely, instead of considering a single function, we shall construct a sequence of function that are supported in the same compact, and satisfy some good uniform bounds on their derivatives.

This method is a powerful tool as it can, in some circumstances, turn a heuristic argument relying on a compactly supported analytic auxiliary function, into a rigorous proof. As an application, we shall discuss how this technique leads to improvements in some quantified Tauberian theorems.

Résumé

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Suivant les travaux de H. Oyono-Oyono et de G. Yu sur les espaces métriques, nous construisons des applications d’assemblage à  valeurs dans la $K$-théorie contrôlée de la $C^*$-algèbre réduite d’un groupoïde étale $G$ muni d’une longueur propre. Nous relions ensuite ces applications à  l’application d’assemblage de Baum-Connes pour $G$, ainsi que les conjectures associées.

https://dev-iecl.univ-lorraine.fr/Les-Seminaires/Theorie-Des-Nombres/

In the representation theory of locally compact groups the one-to-one passage between unitary group representations and representations of the corresponding group $C^*$-algebra obtained from $L^1(G)$ is a key tool that makes the rich toolbox of $C^*$-algebraic techniques available in the group context. For infinite dimensional groups there is no Haar measure and therefore no $L^1$-algebra that can be used to obtain a universal $C^*$-algebra. However, under certain semiboundedness requirements on spectra, one can use analytic continuations to obtain $C^*$-algebras whose representation theory cover the so-called semibounded unitary representations of Lie groups. This technique can even be used to construct $C^*$-algebras whose representations are precisely the unitary representations of certain Lie supergroups. The CAR algebra of the canonical anticommutation relations is the most basic example.

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Ces deux heures d’exposé prendront la forme d’un mini-cours. Après des rappels sur la notion de front d’onde d’une distribution (due à  L. Hörmander), nous introduirons la notion de transversalité par rapport à  une submersion (due à  I. Androulidakis et G. Skandalis), et nous présenterons l’algèbre involutive des distributions à  support compact sur un groupoïde de Lie $G$, transversales par rapport à  la source et au but. Les opérateurs invariants à  gauche sur le groupoïde ($G$-opérateurs) admettant un adjoint sont ceux donnés par la convolution à  droite par une distribution bi-transversale. Nous introduirons la sous-algèbre involutive des distributions à  support compact dont le front d’onde est bi-transversal. Le front d’onde du produit de convolution de deux distributions dans cette algèbre est alors essentiellement donné par le produit des deux fronts d’ondes dans le groupoïde symplectique $T^*G$ de Coste-Dazord-Weinstein, que nous présenterons également.

Je vais présenter un problème d’optimisation à frontière libre analogue au problème de Alt-Caffarelli pour les fonctions biharmoniques. Ce problème apparaît dans différentes questions d’optimisation de forme, dont la minimisation de la trainée d’un obstacle dans un fluide sous contrainte de mesure, la minimisation de la première valeur propre de l’opérateur de Stokes (ou de flambage) dans les domaines du plan, etc.. On s’attend à ce que la frontière libre obtenue soit généralement une union de courbes lisses, pouvant se rejoindre avec un angle d’environ 1.43pi, et je présenterai plusieurs résultats allant dans ce sens.

C’est un travail en collaboration avec Jimmy Lamboley.

Résumé à venir

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Le problème spectral de Cosserat vient de la mécanique de la fin du 19e siècle, mais par ses relations avec la condition LBB et les équations de Stokes il a récemment gagné en popularité. En présence de coins, il existe un spectre essentiel causé par les singularités de coin des fonctions propres. Si ces singularités se déterminent bien par la théorie classique de Kondratev, leur rôle pour le spectre et son approximation numérique est original. Je présenterai des resultants récents théoriques et expérimentaux sur la convergence (ou non-convergence) de diverses approximations.

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On montre la décroissance de l’énergie locale pour l’équation des ondes dans un guide d’onde avec dissipation constante au bord. On observe que l’onde se comporte en fait en temps grand comme la solution d’une équation de la chaleur. La preuve repose sur des estimées de résolvante. Comme les fonctions propres du problème transverse ne forment pas une base de Riesz, l’analyse spectrale ne se réduit pas de façon évidente à  des études “séparées” sur des domaines compacts et euclidiens.

Dans cet exposé, on présentera une nouvelle approche de l’utilisation de conditions aux limites transparentes pour l’équation de Schrödinger et l’équation des ondes linéaires. L’idée est de pouvoir les rendre locales en considérant une inconnue auxiliaire qui sera calculée sur tout le domaine et liée à  la solution de l’équation initiale par un couplage linéaire et local sur le bord. On présentera des résultats numériques en dimensions 1 et 2, sur des demi-espaces et des quarts de plan, la difficulté de ce dernier cas étant la présence d’une singularité géométrique.

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Je décrirai des résultats récents sur des versions nonlocales d’une conjecture célèbre de De Giorgi sur la régularité des ensembles de niveau de solutions d’équations elliptiques. Dans un premier temps, on s’intéresse au laplacien fractionnaire puis je décrirai le cas d’opérateurs plus généraux pour lesquels une extension a la Caffarelli-Silvestre n’est pas disponible. 

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Nous présenterons un code de calcul robuste, efficace et avec un excellent passage à  l’échelle : G.P.S. (Gross-Pitaevskii Solver). GPS est un code qui peut aussi bien calculer des solutions stationnaire ou dépendantes du temps à  l’équation Gross-Pitaevskii, et permet ainsi d’étudier soit les condensats de Bose-Einstein (BEC), ou bien de la “turbulence superfluide” par exemple, ces phénomènes étant parmi les plus étudiés de la physique quantique. Afin d’obtenir des solutions les plus précises possibles, nous utilisons des schémas quasi spectraux pour la discrétisation des opérateurs différentiels. Dans le but de pouvoir utiliser aussi bien la machine de bureau la plus simple, que le supercalculateur le plus puissant du monde, nous avons implémenté deux schémas de communication MPI, ainsi qu’une programmation hybride à  l’aide de la librairie OpenMP. L’addition de schémas de très haute précision et la possibilité de pouvoir utiliser un raffinement de maillage très fin (jusqu’à  2048^3), nous permet de pouvoir reproduire des résultats expérimentaux avec une précision très satisfaisante.