L’estimation spectrale consiste en l’estimation des valeurs propres ou vecteurs propres de matrices bruitées. Dans cet exposé, nous verrons comment la notion d’indépendance libre, un concept issu de la théorie des opérateurs, permet de construire des estimateurs spectraux pertinents et d’en étudier la précision dans un régime non-asymptotique. Si le temps le permet, je présenterai des résultats relativement récents de Au, Dahlqvist, Gabriel et Male qui permettent une application de ce principe dans le cas de l’estimation de grands graphes bruités.

Cet exposé s’appuie partiellement sur un travail en collaboration avec Octavio Arizmendi et Carlos Vargas Obieta.

Dans ce séminaire, je m’intéresse au problème de l’identification d’une utilité dynamique consistante, qui, par définition, coïncide avec la fonction valeur d’un problème d’optimisation de portefeuille. Je montre que cette utilité est nécessairement solution d’une équation aux dérivées partielles stochastique (EDPS) forward, de second ordre et non linéaire.

J’établis ensuite une caractérisation explicite de cette solution en la représentant comme la composition de deux flots stochastiques bien choisis, ce qui permet d’en obtenir une résolution théorique.

À partir de cette représentation, je propose une approche numérique nouvelle pour approximer la solution. Cela conduit naturellement à l’étude d’un problème plus général : la composition de schémas d’Euler. Dans ce cadre, nous établissons un résultat général de convergence pour de telles compositions, applicable en particulier à l’EDPS considérée. Cette approche permet ainsi de construire des méthodes numériques simples et efficaces, fondées sur la composition de schémas associés à deux équations différentielles stochastiques appropriées.

Enfin, je présenterai quelques applications de cette approche, illustrant son intérêt au-delà du cadre initial, en particulier dans le domaine d’apprentissage des préférences.

Date possible pour le colloquinte

Dans cet exposé, nous revisiterons un sujet classique de la théorie multiplicative des nombres. Inspirés par les travaux de Hildebrand et Tenenbaum, notre objectif est d’obtenir une formule asymptotique en petits intervalles pour le nombre d’entiers ayant exactement k diviseurs premiers distincts. Nous mettrons l’accent sur l’uniformité en k, ainsi que sur la structure anatomique typique des entiers $E_k$.

We discuss the method of picking a convenient coordinate system adapted to vector fields. Let $X_1, …, X_q$ be either real or complex $C^1$ vector fields. We discuss the question of when there is a coordinate system in which the vector fields are smoother (e.g. $C^m$ or $C^\infty$, or real analytic). By answering this in a quantitative way, we obtain coordinate charts which can be used as generalized scaling maps. When the vector fields are real this is joint work with Stovall, and continues in the line of quantitative sub-Riemannian geometry initiated by Nagel, Stein, and Wainger. When the vector fields are complex one obtains a geometry with more structure which can be thought of as “sub-Hermitian”.

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https://iecl.univ-lorraine.fr/Les-Seminaires/Theorie-Des-Nombres/wolfcms/seminaire.html

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Les équations classiques de l’hydrodynamique (Euler, Navier-Stokes) sont non-locales à travers le terme de pression. Des modèles simplifiés comme l’équation de Burgers se focalisent sur un champ scalaire pour enlever les contraintes géométriques. Nous présentons ici une variante non-locale des équations de Burgers, dont les instabilités sont liées au signe local de la solution, avec des résultats obtenus en collaboration avec R. Shvydkoy, C. Imbert, J. Tan, R. Anton et K. Verdure.

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L’équation d’Euler à surface libre régit la dynamique de l’interface séparant l’air d’un fluide parfait incompressible. Cet exposé concerne l’étude de la contrôlabilité et de la stabilisation de cette équation. Le but est de comprendre la génération ainsi que l’amortissement des vagues dans un bassin à houle. Ces deux probl èmes seront abordés par des méthodes différentes : analyse microlocale pour la contrôlabilité, et étude de quantités globales pour la stabilisation (méthode des multiplicateurs, identité de Pohozaev, formulations hamiltonienne et lagrangienne des équations, lois de conservation, etc.).

Dans la première partie de l’exposé, je présenterai différents problèmes inverses auxquels je me suis intéressé ces dernières années et les contextes applicatifs associés : reconstruction d’images en tomographie, analyse d’images biologiques et d’images hyperspectrales en microscopie, problèmes d’inversion de données en spectroscopie optique avec applications biomédicales. Lorsque les données disponibles sont en nombre limité et partiellement informatives sur la quantité à estimer (problèmes inverses mal posés), la prise en compte d’informations a priori sur les inconnues est indispensable, et s’effectue par le biais des techniques de régularisation. Dans la seconde partie de l’exposé, je présenterai plus particulièrement la régularisation parcimonieuse de problèmes inverses, basée sur la minimisation de la “norme” l0. Les algorithmes heuristiques proposés sont conçus pour minimiser des critères mixtes L2-L0 du type $$min_x J(x;lambda) = || y – Ax ||_2^2 + lambda || x ||_0.$$ Ce problème d’optimisation est connu pour être fortement non-convexe et NP-difficile. Les heuristiques proposées (appelées algorithmes “gloutons”) sont définies en tant qu’extensions d’Orthogonal Least Squares (OLS). Leur développement est motivé par le très bon comportement empirique d’OLS et de ses versions dérivées lorsque la matrice A est mal conditionnée. Je présenterai deux types d’algorithmes pour minimiser $J(x;lambda)$ à $lambda$ fixé et pour un continuum de valeurs de $lambda$. Finalement, je présenterai quelques résultats théoriques visant à garantir que les algorithmes gloutons permettent de reconstruire exactement le support d’une représentation parcimonieuse $y = Ax^*$, c’est-à-dire le support du vecteur $x^*$.

Dans ce travail, nous étudions un problàƒÂ¨me de collision entre un solide rigide immergé et la paroi de la cavité dans laquelle il se trouve. Nous sommes amenés àƒÂ  considérer le comportement asymptotique de la solution d’un problàƒÂ¨me de Neumann (et de l’énergie de Dirichlet associée) lorsque le domaine devient singulier (apparition d’un point de rebroussement). Conformément àƒÂ  l’intuition que l’on peut avoir, le comportement diffàƒÂ¨re suivant le profil du solide (plus ou moins “aplati” au niveau du point de contact).

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Dans cet exposé je vous présenterai des résultats récents, en collaboration avec G. Dal Maso, concernant un problème de propagation dynamique de fractures. Dans le cas anti-plan, lorsque la fissure croît sur une variété prescrite et régulière, on démontre existence, unicité, et dépendance continue par rapport aux données de la fonction déplacement.

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Dans cet exposé je présenterai un modèle de dynamique des populations piloté par capacité biotique. La capacité biotique $f=rho-m$, qui est essentiellement la différence entre la densité d’espèce $rho(t,x)$ et la quantitié de ressources disponibles $m(x)$, intervient comme un terme de reproduction logistique, mais affecte également la dispersion de l’espèce qui se déplace vers l’environnement le plus favorable possible ($f>0$). Le modèle a été introduit et étudié mathématiquement par [Cosner et Winkler], et consiste en un problème parabolique dégénéré. Dans une série de travaux récents, nous avons montré avec S. Kondratyev et D. Vorotnikov (Univ. Coimbra, Portugal) que le modèle peut s’écrire comme un flot gradient dans l’espace des mesures, muni d’une nouvelle distance de transport optimal non conservatif. Ce point de vue revisité permet d’établir un nouveau résultat de convergence en temps long, dont la preuve est basée sur des techniques d’entropie/dissipation-entropie particulièrement adaptées au cadre variationnel et en lien avec une nouvelle famille d’inégalités fonctionnelles. Si le temps le permet je présenterai une extension au cas vectoriel.