Séminaire EDP et Applications | Nancy

Dans cet exposé, nous présenterons plusieurs résultats concernant un problème d’optimisation en écologie spatiale et qui peut se formuler ainsi: comment, au sein d’un domaine, répartir les ressources accessibles à une population afin de garantir que cette dernière soit de taille maximale? Dans cet exposé, nous nous concentrerons sur les propriétés qualitatives de ce problème. Nous mettrons en évidence, entre autre, des propriétés de type concentration/fragmentation des ressources: vaut-il mieux répartir le plus possible les ressources ou, au contraire, les concentrer en un unique endroit? Contrairement à plusieurs critères mieux connus (comme la capacité de survie), où la concentration de ressources est toujours favorable, et ce indépendamment de la vitesse de déplacement des individus, pour la taille de la population, nous montrons que, plus cette vitesse de déplacement est faible, plus la fragmentation est un atout. La première partie de l’exposé sera essentiellement descriptive, et nous donnerons des éléments de preuve dans la seconde. Les différents travaux qui seront présentés ont été réalisés en collaboration avec G. Nadin, Y. Privat et D. Ruiz-Balet.

We investigate the evolutionary dynamics of a population structured in phenotype, subjected to trait dependent selection with a linearly moving optimum and an asexual mode of reproduction. The model consists of a non-local and non-linear parabolic PDE. Our main goal is to measure the history of traits when the population stays around an equilibrium. We define an ancestral process based on the idea of neutral fractions. It allows us to derive quantitative information upon the evolution of diversity in the population along time. First, we study the long-time asymptotics of the ancestral process. We show that the very few fittest individuals drive adaptation. We then tackle the adaptive dynamics regime, where the effect of mutations is asymptotically small. In this limit, we provide an interpretation for the minimizer of some related optimization problem, an Hamilton Jacobi equation, as the typical ancestral lineage.

En se concentrant sur les équations de Burgers stochastiques avec bruit blanc espace-temps, on va dérouler une procédure générale et assez standard qui prouve simultanément existence et d’unicité de la solution de l’équation aux dérivés partielles stochastiques avec bruit additif et la convergence (forte) d’un schéma d’approximation vers la solution. Le schéma sera explicite discret de type Euler exponentiel accéléré. Au cours de la présentation on détaillera aussi toutes les quantités qu’on considère, bruit et convolution stochastique inclus. Une partie de l’exposé est basée sur des travaux commun avec A. Jentzen et D. Salimova.

La stabilisation des systèmes dynamiques est un problème classique en théorie du contrôle. Dans de nombreux cas provenant de l’ingénierie ou de la physique, seule une mesure partielle de l’état du système est connue. Une approche commune dans ce cas est de s’appuyer sur une estimation de l’état du système sur laquelle on construit notre contrôle. Cependant, l’estimation du système nécessite que la prise de mesure soit une opération injective pour permettre son inversion, c’est l’observabilité du système. Celle-ci dépend fortement de la dynamique. Pour un système dynamique contrôlé non linéaire, cette injectivité est mise à  mal lorsque le système traverse des singularités d’observabilité o๠la reconstruction de l’état est impossible. A ce jour, peu de garanties existent concernant le contrôle et l’estimation simultanée de systèmes admettant des singularités d’observabilité. On discute donc des difficultés posées par ce cas de figure et on explore des stratégies fondées sur les plongements de systèmes dynamiques et les observateurs de dimension infinie.

Nous nous intéresserons à  l’équation de Helmholtz, un des plus simples modèles d’onde, posée à  l’extérieur d’un obstacle. Pour résoudre numériquement une telle équation, posée dans un domaine non-borné, il est naturel d’essayer de se ramener à  un domaine borné. Une technique naturelle, très utilisée en pratique, est de tronquer le domaine et d’imposer une condition au bord du type impédance, qui approche la condition de radiation de Sommerfeld caractérisant le comportement sortant de l’onde, sur le bord tronqué. Avec Jeffrey Galkowski (University College London) et Euan Spence (University of Bath), nous venons de montrer qu’une telle approximation est en faite mauvaise à  hautes fréquences, car à  l’origine d’une erreur relative indépendante de la fréquence. Je présenterai ce résultat et l’idée derrière sa preuve, qui se base sur l’utilisation de mesures de défaut semi-classiques, objet mesurant la concentration de la masse des solutions, à  la fois en position et en direction, dans la limite des hautes fréquences.

Grâce à  la vitesse infinie de propagation, l’équation de Schrodinger est souvent observable en temps très court. Cependant, ce n’est pas le cas si la géométrie sous-jacente est sous-elliptique. Dans cet exposé, on considère l’équation de Schrodinger associée à  l’opérateur de Bouendi-Grushin dont le symbole principal dégénère sur une droite. Dans le cas de Bouendi, l’effet de transport se manifeste dans un certain régime qui est responsable à  une condition de contrôle géométrique sous-elliptique. Dans le cas général o๠l’effet sous-elliptique est plus fort, l’observabilité en temps classique n’est pas vraie et l’on va la remplacer du point vue semi-classique, par une estimation de résolvante optimale. Cet exposé est basé sur les collaborations avec N. Burq (Orsay) et C. Letrouit (ENS).

Un résultat important de Casten, Holland (1978) et Matano (1979) établit que si le domaine est convexe et borné, toute solution stable d’une telle équation est constante. Dans cet exposé, nous examinerons dans quelle mesure ce résultat de classification s’étend aux domaines non-bornés ou non-convexes. Ces questions font intervenir la géométrie du domaine de manière délicate. Nos résultats étendent en particulier certains résultats classiques sur la conjecture de De Giorgi a propos de la classification des solutions de l’équation d’Allen dans R^n.

On considère l’équation de la chaleur semi-linéaire sur la droite réelle. Si la solution est bornée, alors elle est globale et lisse, et l’ensemble des profils limite est non vide, connexe. Il est naturel de se demander dans quelle mesure ces profils limites, et donc le comportement en temps long de la solution, sont déterminés par les solutions stationnaires de l’équation. Si par exemple la solution est convergente, alors son ensemble omega-limite est réduit à  un singleton, solution stationnaire de l’équation. La convergence n’est en revanche pas une propriété générique de ces équations, mais si tous les profils limites sont solutions stationnaires on parlera alors de quasiconvergence. Dans ce séminaire je présenterai quelques résultats de quasiconvergence dans le cas o๠la condition initiale admet des limites à  l’infini. En particulier, dans la situation générique o๠les limites à  l’infini sont distinctes, toute solution bornée est quasiconvergente, indépendamment du terme non linéaire. Dans un second temps, on s’intéresse à  la situation de limites égales. Un résultat similaire est impossible, des contre-exemples ayant été donnés. On montre alors que, dans une certaine mesure, les contreexemples connus sont les seules situations de non quasiconvergence.

Dans les modèles d’écoulement d’un fluide visqueux en contact avec par des parois solides, la condition d’adhérence (qui impose que la vitesse du fluide coïncide avec la vitesse de la paroi le long de celle-ci) est la plus communément employée. Cette condition empirique est satisfaisante pour des écoulements à  échelle macroscopique. Cependant, elle devient imprécise à  des échelles très petites, comme par exemple dans le cas d’écoulement dans des nanotubes de carbone, o๠de nombreuses expériences ont mesuré un glissement du fluide sur la paroi. Ce glissement est généralement modélisé par une condition de Navier, qui introduit un paramètre appelé longueur de glissement. De nombreuses hypothèses sont actuellement étudiées pour expliquer l’origine de ce glissement apparent, et obtenir des longueurs de glissement cohérentes avec celles mesurées expérimentalement. L’une d’entre elles est la présence au voisinage de la paroi d’une couche de gaz extrêmement fine réduisant la friction entre le fluide et la paroi. Suivant les travaux de Tim G. Myers (Centre for mathematical research, Barcelona), nous proposerons dans cet exposé un modèle simplifié dans lequel la couche gazeuse est caractérisée par sa viscosité beaucoup plus faible que dans le reste du fluide. En partant d’une condition d’adhérence sur la paroi, nous montrerons que pour un certain choix du rapport des viscosités, le problème limite obtenu lorsque l’épaisseur de la couche gazeuse tend vers zéro est effectivement régi par une condition de Navier. Ce travail est en collaboration avec Julien Olivier (Aix-Marseille Université).

On considère une question étroitement liée à  une conjecture de Gromov: A quel seuil de régularité les immersions isométriques des domaines de $mathbb R^2$ dans $mathbb R^3$ sont développables? On cherche la réponse dans les régimes de Hölder $C^{1,s}$ ou plus généralement de Sobolev fractionnel $W^{1+s, p}$. Des bornes supérieures pour la valeur de seuil de $s$ sont classiquement obtenues par la méthode de l’integration convexe. Pour trouver les bornes inférieures, on définit une seconde forme fondamentale pour l’isométrie en question et on démontre qu’elle est une solution faible du système d’EDP de Gauss-Codazzi si $s>2/3$. L’analyse menant à  une démonstration de cette rigidité passe alors à  une discussion des solutions non-convexes et très faibles de l’équation de Monge-Ampère, et aux problèmes liés au déterminant de jacobien distributionnel.