Séminaire EDP et Applications | Nancy

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Sur une inégalité en géométrie spectrale et la conjecture P2mu1

Catégorie d'évènement : Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 12 octobre 2021 10:45-11:45 Lieu : Oratrice ou orateur : Antoine Lemenant (IECL) Résumé :

Dans cet exposé, qui se veut élémentaire et facile à suivre, on parlera d’un travail en collaboration avec Antoine Henrot et Ilaria Lucardesi au cours duquel nous cherchons à maximiser la première valeur propre (non triviale) du Laplacien Neumann parmi tous les corps convexes du plan, à Périmètre fixé. Ceci fait référence à une conjecture ouverte depuis au moins 2009. Nous avons notamment résolu la question pour les convexes ayant 2 axes de symétrie orthogonaux à l’aide d’une preuve assez courte et astucieuse. Le cas général semble beaucoup plus difficile, et j’essaierai d’expliquer pourquoi.


Towards Sustainable Fisheries Management

Catégorie d'évènement : Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 29 juin 2021 10:45-11:45 Lieu : Oratrice ou orateur : Nadia Raissi (Université Mohammed V, Rabat) Résumé :

The concept of sustainability can be formulated as the search for a stable ecosystemic balance. The manager has an arsenal of legal measures at his disposal, and mathematical models can be used to analyze their performance. Mathematical modeling in fisheries management has undergone significant theoretical development. Looking over basic fishery models of the literature, it appears three main conceptual frameworks to analyze the sustainability. Maximum sustainable yield, optimal equilibrium then viability.  that its application is a process in continuous progress, knowing that the potential of mathematical theory remains under used. For instance, the introduction of the recent development of « game theory » into the modeling of this issue should be helpful. Illustrating therefore the previously stated thesis that the more the assumptions are realistic, the more sophisticated mathematical tools are needed.


On the minimization of convex, variational integrals of linear growth

Catégorie d'évènement : Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 22 juin 2021 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférence virtuelle EDP Oratrice ou orateur : Lisa Beck (Augsburg University) Résumé :

We study the minimization of functionals of the form

$$ u \mapsto \int_\Omega f(\nabla u) \, dx $$

with a convex integrand $f$ of linear growth (such as the area integrand), among all functions in the Sobolev space W$^{1,1}$ with prescribed boundary values. Due to insufficient compactness properties of these Dirichlet classes, the existence of solutions does not follow in a standard way by the direct method in the calculus of variations and might in fact fail, as it is well-known already for the non-parametric minimal surface problem. In such cases, the functional is extended suitably to the space BV of functions of bounded variation via relaxation, and for the relaxed functional one can in turn guarantee the existence of minimizers. However, in contrast to the original minimization problem, these BV minimizers might in principle have interior jump discontinuities or not attain the prescribed boundary values.

After a short introduction to the problem I want to focus on the question of regularity of BV minimizers. In past years, Sobolev regularity was established provided that the lack of ellipticity — which is always inherent for such linear growth integrands — is mild, while, in general, only some structure results seems to be within reach. In this regard, I will review several results which were obtained in cooperation with Miroslav Bulíček (Prague), Franz Gmeineder (Konstanz), Erika Maringová (Vienna), and Thomas Schmidt (Hamburg).


Sur la diffraction dans une plaque de Kirchhoff-Love infinie : problème direct et problème inverse

Catégorie d'évènement : Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 15 juin 2021 10:45-11:45 Lieu : Oratrice ou orateur : Laurent Bourgeois (ENSTA) Résumé :
Cette présentation concernera des problèmes directs et inverses de diffraction dans une plaque de Kirchhoff-Love infinie, l’objet diffractant étant formé par un obstacle pénétrable de forme quelconque.
Quatre types de conditions aux limites sont considérées sur le bord de l’obstacle : plaque encastrée, simplement supportée, portée par un roller et libre.
Concernant le problème direct, nous prouvons le caractère bien posé dans ces quatre situations, pour tout nombre d’onde dans les trois premières, sauf pour un nombre discret de nombres d’onde dans la dernière, qui est la plus difficile (le cas libre correspond à un trou dans la plaque).
Nous aborderons ensuite le problème inverse de reconstruction de l’obstacle à partir de mesures en champ proche. A cette fin, nous adaptons la Linear Sampling Method de Colton-Kirsch pour imager les obstacles, et montrerons des résultats numériques pour illustrer la faisabilité de cette approche.

La partie « problème direct » est un travail en collaboration avec Christophe Hazard, la partie « problème inverse » une collaboration avec Arnaud Recoquillay.


Duality between invisibility and resonance with some applications

Catégorie d'évènement : Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 8 juin 2021 10:45-11:45 Lieu : Oratrice ou orateur : Houssem Haddar (Inria Saclay) Résumé :

For a given scatterer, is it possible to design an incident wave that produces no scattering? The answer is yes if and only if the wave number coincides with a resonant frequency of an interior problem formulated inside the scatterer. This duality can be reversed and exploited to compute scattering poles. It can also be used to produce an indicator function for crack densities in a fractured media. These issues and related open questions will be the main topic of my talk.


Optimisation de formes de masse infinitésimale

Catégorie d'évènement : Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 25 mai 2021 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférence virtuelle EDP Oratrice ou orateur : Jean-François Babadjian (Paris Saclay) Résumé :

Dans ce travail en collaboration avec Flaviana Iurlano et Filip Rindler, nous considérons un problème classique d’optimisation qui consiste à rechercher la forme optimale minimisant la compliance d’une structure élastique sous une contrainte de masse. Nous effectuons une analyse asymptotique des formes « quasi-optimales » quand la masse tend vers zéro. Les configurations limites sont données par des mesures de probabilité minimisant une énergie relaxée explicite, due à une perte de convexité du fait de la contrainte de masse. Nous retrouvons ainsi un modèle limite qui justifie rigoureusement la théorie des treillis de Michell pour des structures optimales de petite dimension par rapport à l’espace ambiant.

 


Singularités d'applications harmoniques renormalisables sur un domaine planaire à valeurs dans une variété

Catégorie d'évènement : Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 13 avril 2021 10:45-11:45 Lieu : Oratrice ou orateur : Antonin Monteil (University of Bristol) Résumé :

Il est connu qu’une application harmonique minimisante sur un domaine borné \(\Omega\subset\mathbb{R}^2\) à valeurs dans une variété \(\mathcal{N}\) — à savoir minimisant l’énergie de Dirichlet avec sa propre donnée au bord — est lisse. En particulier, si \(\Omega\) est simplement connexe, alors il n’est pas possible d’étendre à énergie finie une donnée au bord dont la classe d’homotopie n’est pas triviale. Pour de telles données au bord, nous verrons cependant comment définir des applications les plus harmoniques possibles. Ces applications sont harmoniques en dehors d’un ensemble fini de points — ou singularités ponctuelles — d’où l’appellation {\it applications harmoniques singulières}. L’énergie diverge alors logarithmiquement près de chaque singularité et dépend de la classe d’homotopie associée (le degré dans le cas où la variété est le cercle). La minimisation de l’énergie à l’ordre principal conduit à un problème combinatoire non trivial consistant à décomposer la donnée au bord en une liste optimale de singularités topologiquement compatibles ; nous décrirons quelques exemples concrets issus de la physique. À l’ordre suivant, être le plus harmonique possible signifie que l’énergie renormalisée, obtenue en retirant à l’énergie de Dirichlet la contribution infinie près de chaque singularité, est minimale. Nous verrons que pour certaines variétés suffisamment symétriques, en particulier dans le cas du cercle étudié par Bethuel-Brézis-Hélein, il est possible de caractériser le comportement près d’une singularité des applications minimisant l’énergie renormalisée.


Rationalisation des méthodes éléments discrets

Catégorie d'évènement : Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 6 avril 2021 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférence virtuelle EDP Oratrice ou orateur : Frédéric Marazzato (Louisiana State University) Résumé :

Dans cette présentation sont présentées des méthodes de type éléments discrets ayant la particularité de dériver des équations continues de modèles mécaniques d’intérêt.

La dérivation des équations discrètes depuis les équations continues est d’abord traitée puis un lien est effectué avec les méthodes éléments discrets traditionnelles.
Les modèles mécaniques traités dans cette présentation sont les matériaux élasto-plastiques de Cauchy sous chargement dynamique, les matériaux de Cosserat (matériaux à micro-structure) élastiques, également sous chargement dynamique, ainsi que la fissuration quasi-statique, en deux dimensions d’espace, des matériaux élastiques de Cauchy.
Des résultats numériques permettant de valider les approches choisies sont également présentés pour chaque type de modèle mécanique.

Ces travaux ont été effectués en collaboration avec A. Ern et L. Monasse.


Un problème à discontinuité libre avec condition de Robin

Catégorie d'évènement : Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 30 mars 2021 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférence virtuelle EDP Oratrice ou orateur : Camille Labourie (University of Cyprus) Résumé :


Boundary sliding mode control of hyperbolic systems

Catégorie d'évènement : Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 23 mars 2021 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférence virtuelle EDP Oratrice ou orateur : Thibault Liard (Université de Nantes) Résumé :

We study the asymptotic behavior of linear hyperbolic systems subject to unknown boundary disturbances. Our aim is to construct a boundary feedback law, based on a sliding mode procedure, which rejects the disturbance in finite time and which globally stabilizes the equilibrium point zero. The main novelty of our approach consists in defining a sliding variable and a corresponding sliding surface on which the global exponential stability is ensured. More precisely, the sliding surface is derived from the gradient of a Lyapunov function. We will extend this approach to an equation of conservation laws with simulations.


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