Séminaire EDP et Applications | Nancy

Résumé

Le but de l’exposé est de présenter les grandes lignes de la méthode des éléments finis inversés. Cette méthode, introduite par l’orateur il y a quelques années, vise à  résoudre des EDP en domaines non bornés sans aucune troncature. Après une analyse de la convergence, on présente quelques résultats numériques obtenus en résolvant plusieurs problèmes issus de la physique. Ces résultats confirment l’efficacité de la méthode et son adaptativité dans de nombreuses situations.

Le spectre de Steklov d’un espace compact est constitué des valeurs propres de l’opérateur de Dirichlet-Neumann sur son bord. Il est lié à  la géométrie de cet espace. Dans cet exposé, je vous présenterai quelques résultats de type isopérimétrique dans le contexte d’hypersurfaces dont le bord dans l’espace euclidien est prescrit. Des bornes supérieures très générales seront présentées, ainsi que des bornes inférieures pour les hypersurfaces de révolutions. Il sera aussi question d’isospectralité en dimension 2. Ce travail est conjoint avec Bruno Colbois et Katie Gittins de l’Université de Neuchâtel, ainsi qu’avec Antoine Métras qui est doctorant à  l’Université de Montréal.

Le laplacien occupe, au sein de l’analyse mathématique des équations aux dérivées partielles, une place centrale. Récemment, les travaux de Jun Kigami, poursuivis par Robert S. Strichartz, ont permis la construction d’un opérateur de même nature, défini localement, sur des domaines présentant un caractère fractal. Curieusement, le cas du graphe de la fonction de Weierstrass, introduite en 1872 par K. Weierstrass, continue partout, mais nulle part dérivable, et qui présente des propriétés d’auto-similarité, ne semble pas avoir été envisagé. Nous nous sommes posé la question suivante : si on se donne une fonction définie et continue sur le graphe de la fonction de Weierstrass, est-il possible de lui associer une fonction qui soit, au sens faible, son laplacien ? En pratique, il suffit d’utiliser une formulation faible, écrite à  l’aide de formes de Dirichlet, construites par itérations successives sur une suite de graphes convergeant vers le domaine considéré. Pour une fonction continue sur ce domaine, son laplacien est obtenu comme la limite normalisée de la suite de laplaciens obtenus à  chaque itération. Le spectre du laplacien ainsi construit est obtenu par décimation spectrale. Par rapport aux travaux existant, les résultats que nous présentons mettent en avant les spécificités dues au caractère non affine de notre étude. Déjà , la construction des formes de Dirichlet requiert la prise en compte de la géométrie très particulière du graphe. Ensuite, il faut disposer d’une mesure adaptée à  l’intégration le long de courbes fractales.

Ce travail, en collaboration avec E. Bonnetier et F. Triki s’intéresse au spectre de l’opérateur de Poincaré-Neumann. Cet opérateur intégral intervient de manière récurrente dans l’étude de problèmes de conductivité mettant en jeu plusieurs phases, et son spectre gouverne certains phénomènes physiques découverts récemment, tels que celui de « résonances plasmoniques ». Le cadre d’étude de ce travail met en jeu une distribution périodique de petites inclusions de taille caractéristique $varepsilon$. En combinant des techniques appartenant à  la théorie de l’homogénéisation périodique et à  la théorie du potentiel, nous prouvons que le spectre de l’opérateur de Poincaré-Neumann associé à  cette collection d’inclusions est composé de deux valeurs propres 0 et 1 (dont les sous-espaces propres sont ‘triviaux’), ainsi que d’une partie qui est uniformément éloignée de 0 et 1 lorsque la taille des inclusions tend vers 0. Cette partie non triviale s’écrit comme l’union d’un `spectre de Bloch’ – composé de bandes décrivant les résonances collectives des cellules – ainsi que d’un `spectre de couche limite’, associé aux fonctions propres qui conservent une fraction non négligeable de leur énergie près de la frontière du domaine macroscopique. Ces résultats donnent un éclairage nouveau au problème de l’homogénéisation du potentiel électrique engendré par une source donnée dans un milieu diélectrique ponctué de petites inclusions distribuées périodiquement, remplies d’une conductivité arbitraire (y compris négative).

L’étude de stabilité d’une interface séparant deux fluides non miscibles confinés dans une cellule de Hele-Shaw annulaire en rotation constante a fait l’objet de plusieurs travaux théoriques et expérimentaux. Les forces centrifuges, en présence d’une différence de densités entre les deux fluides donnent lieu a une instabilité de Rayleigh-Taylor avec des effets de viscosité. Le cas d’une rotation constante a été largement étudié et sans etre exhaustif on peut citer Schwartz (Phys.Fluids 1989), Miranda et al. (Phys. Rev. E 2000,2004,2017)……Le cas de la vitesse de rotation instationnaire a été très peu étudié. C’est pourquoi, nous avons entamé cette étude avec une vitesse de rotation sinusoidale dans lequel un écoulement pulsé généré par des forces d’entrainement résultant de la dépendance du temps de la rotation. On considère deux fluides newtoniens incompressibles non miscibles de densités et viscosités différentes confinés dans une cellule de Hele-Shaw annulaire soumise a un mouvement de rotation périodique sinusoidale et on s’intéresse a la stabilité de l’interface. Dans le cadre de l’approximation de Hélé-Shaw une solution analytique de base instationnaire a été trouvée. La solution de base perturbée a l’aide des méthodes classiques de la stabilité linéaire conduit a une équation de dispersion de type Mathieu. Equation qui permet de déterminer les zones d’instabilités dans le plan amplitude-fréquence de forcage pour un nombre d’onde azimutal donné. Les différents effets de la viscosité, de tension superficielle, de forces de Coriolis, et des forces d’inertie seront discutés. La résolution de l’équation de dispersion dans le cas général avec la méthode de Floquet est en cours et seul des résultats pour des cas particuliers (perturbations non visqueuses et effet de force de Coriolis négligeable) seront présentés. Ce travail est mené en collaboration avec Dr S. Aniss FS Ain Choc Casablanca.

In this talk, we present some recent results on the analysis of singular perturbation problems in perforated domains. First, we will consider the asymptotic behavior of the solutions of a mixed problem for the Laplace equation in a domain with moderately close holes, i.e., with distance tending to zero « not faster » than the size. We describe what happens to the solutions in terms of real analytic maps and we compute asymptotic expansions, by an approach based on Potential Theory and Functional Analysis. Then we will show how our method can be exploited to analyze the influence of perforations approaching to a point of the boundary. First we will assume that the boundary is « flat » around the « singular » point. Then we will consider perforations concentrating around the vertex of a planar sector. The talk is based on joint works with V. Bonnaillie-No »el, M. Costabel, M. Dalla Riva, M. Dambrine, and M. Dauge. »

The time-harmonic formulation of Maxwell’s equations presents several difficulties when the frequency is large. Here we propose a precise and efficient solution strategy that couples high order finite element discretizations with domain decomposition preconditioners. Finite elements suited for the approximation of the electric field are the curl-conforming (or edge) finite elements. Here, we revisit the classical degrees of freedom defined by Nédélec, in order to obtain a new more friendly expression in terms of the chosen high order basis functions. Moreover, we propose a general technique to restore duality between degrees of freedom and basis functions. We explicitly describe an implementation strategy, which we embedded in the open source domain specific language FreeFem++. In the second part, we focus on the preconditioning of the system resulting from the finite element discretization. In particular we investigate how two-level domain decomposition preconditioners recently analyzed for the Helmholtz equation work in the Maxwell case, both from the theoretical and numerical points of view. We apply these methods to the large scale problem arising from the modeling of a microwave imaging system, for the detection and monitoring of brain strokes. In this application accuracy and computing speed are indeed of paramount importance.

Ce travail s’inscrit dans un contexte de contrôle de la pollution d’origine agricole des ressources en eau, en alliant modélisation économique et hydrogéologique. Pour cela, nous définissons d’une part un objectif économique spatio-temporel prenant en compte le compromis entre l’utilisation d’engrais et les coà»ts de dépollution. D’autre part, nous décrivons le transport du polluant dans le sous-sol (3D en espace) par un système non linéaire d’équations aux dérivées partielles couplées de type parabolique (réaction-convection-dispersion) et elliptique dans un domaine borné. Des résultats génériques sont donnés (cf. [Augeraud-Véron, Choquet, Comte : JOTA 2017]) et le cas particulier des faibles concentrations est traité, cas pour lequel un résultat d’unicité est démontré par analyse asymptotique (cf. [Augeraud-Véron, Choquet, Comte : ESAIM COCV, à  paraitre]) ́. Quelques résultats numériques (2D en espace) illustreront ces résultats analytiques. Ces derniers pourront être élargis au cadre de la théorie des jeux, o๠plusieurs joueurs interviennent, avec notamment un résultat d’existence d’un équilibre de Nash.

On considère un système semi-linéaire d’interaction à  trois ondes posée sur un grand tore, avec nonlinéarité petite et forçage stochastique en angle des coefficients de Fourier. Ce système possède des mesures invariantes naturelles. Dans un certain régime asymptotique (taille du tore tendant vers l’infini, taille de la nonlinéarité tendant vers zéro et taille du forçage tendant vers zéro), on montre que dans un régime linéarisé autour des mesures invariantes, les fluctuations des modules des coefficients de Fourier convergent vers les solutions d’équations de Zakharov linéarisées apparaissant en théorie de turbulence d’ondes.