Séminaire EDP et Applications | Nancy

Je présenterai quelques résultats concernant la modélisation du développement des plantes dans leur environnement. En partant d’un nouveau modèle de distribution de sucrose dans les arbres, j’arriverai à  la propagation de ravageurs (végétales puis animales) dans des paysages agricoles. Mon propos sera centré sur des systèmes continus de type advection-réaction-diffusion.

On étudie le problème de rigidité qui consiste à  savoir si le spectre marqué des longueurs de géodésiques fermées determine la métrique Riemannienne sous-jacente. Travail avec Thibault Lefeuvre.

La conjecture de résolution en solitons affirme que toute solution globale des équations de Schrödinger nonlinéaires se décompose en temps grand en une somme de solitons et un reste dispersif. Après avoir illustré cette conjecture sur un modèle jouet, nous présenterons différents résultats qui sont autant de jalons vers une preuve de cette conjecture : stabilité des solitons, existence et stabilité de multi-solitons.

La classe des ensembles prox-réguliers (introduite en dimension finie sous le nom « positivement atteints » par Federer en 1959 et également connue sous les noms : « O(2)-convexe », « faiblement convexe », « Phi-convexe », « lisse au sens proximal ») constitue une extension remarquable et naturelle de la convexité. Nous débuterons cet exposé par une présentation générale de la théorie de la prox-régularité dans un cadre hilbertien. Nous verrons que (contrairement à  la convexité) cette notion peine à  bénéficier de propriétés de stabilité/préservation sous diverses opérations ensemblistes. A ce sujet, nous développerons quelques conditions suffisantes (dites « d’ouverture ») assurant la prox-régularité d’ensembles de contraintes et plus généralement d’ensembles de solutions d’équations généralisées. Nous nous attacherons enfin à  réaliser un tour d’horizon de la vaste gamme de problèmes mathématiques dans lesquels la prox-régularité intervient : analyse multivoque, théorie du contrôle, équations aux dérivées partielles, théorie spectrale, algorithmes de projections… Les problèmes d’évolution de Moreau (qui sont un exemple d’inclusions différentielles avec contraintes) bénéficieront d’une attention toute particulière.

Le but de cet exposé est de présenter quelques résultats pour la mise en évidence numérique du phénomène de superradiance, permettant l’extraction de l’énergie d’un trou noir sphérique de Reissner-Nordstrom à  partir d’une configuration dans laquelle l’énergie totale conservée n’est pas une quantité définie positive. Ceci autorise alors la possibilité d’obtenir loin du trou noir une énergie plus grande que ce qu’elle était à  l’instant initial. Nous présenterons le modèle sous-jacent, avec une attention particulière sur les méthodes numériques pour la simulation de celui-ci.

In this talk, we consider the global existence and large time behavior of solutions for reaction diffusion systems coming from reversible chemistry. First, we introduce the fundamental structures these systems hold, namely nonnegativity of solutions and total mass control. It is well known that, under homogeneous boundary conditions and with linear diffusions, these structures assure global existence of weak solutions if the nonlinearities are a priori bounded in $L^1$. Recently, this result was extended up to the case where diffusion operators are nonlinear (2017, Laamri-Pierre). We will recall these results and describe a slight improvement. It is mainly derived from the entropy structure. Next, we consider the large time behavior for these systems.

Résumé

Le but de l’exposé est de présenter les grandes lignes de la méthode des éléments finis inversés. Cette méthode, introduite par l’orateur il y a quelques années, vise à  résoudre des EDP en domaines non bornés sans aucune troncature. Après une analyse de la convergence, on présente quelques résultats numériques obtenus en résolvant plusieurs problèmes issus de la physique. Ces résultats confirment l’efficacité de la méthode et son adaptativité dans de nombreuses situations.

Le spectre de Steklov d’un espace compact est constitué des valeurs propres de l’opérateur de Dirichlet-Neumann sur son bord. Il est lié à  la géométrie de cet espace. Dans cet exposé, je vous présenterai quelques résultats de type isopérimétrique dans le contexte d’hypersurfaces dont le bord dans l’espace euclidien est prescrit. Des bornes supérieures très générales seront présentées, ainsi que des bornes inférieures pour les hypersurfaces de révolutions. Il sera aussi question d’isospectralité en dimension 2. Ce travail est conjoint avec Bruno Colbois et Katie Gittins de l’Université de Neuchâtel, ainsi qu’avec Antoine Métras qui est doctorant à  l’Université de Montréal.

Le laplacien occupe, au sein de l’analyse mathématique des équations aux dérivées partielles, une place centrale. Récemment, les travaux de Jun Kigami, poursuivis par Robert S. Strichartz, ont permis la construction d’un opérateur de même nature, défini localement, sur des domaines présentant un caractère fractal. Curieusement, le cas du graphe de la fonction de Weierstrass, introduite en 1872 par K. Weierstrass, continue partout, mais nulle part dérivable, et qui présente des propriétés d’auto-similarité, ne semble pas avoir été envisagé. Nous nous sommes posé la question suivante : si on se donne une fonction définie et continue sur le graphe de la fonction de Weierstrass, est-il possible de lui associer une fonction qui soit, au sens faible, son laplacien ? En pratique, il suffit d’utiliser une formulation faible, écrite à  l’aide de formes de Dirichlet, construites par itérations successives sur une suite de graphes convergeant vers le domaine considéré. Pour une fonction continue sur ce domaine, son laplacien est obtenu comme la limite normalisée de la suite de laplaciens obtenus à  chaque itération. Le spectre du laplacien ainsi construit est obtenu par décimation spectrale. Par rapport aux travaux existant, les résultats que nous présentons mettent en avant les spécificités dues au caractère non affine de notre étude. Déjà , la construction des formes de Dirichlet requiert la prise en compte de la géométrie très particulière du graphe. Ensuite, il faut disposer d’une mesure adaptée à  l’intégration le long de courbes fractales.