Séminaire EDP et Applications | Nancy - Institut Élie Cartan de Lorraine

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Rencontre GDR - Calva "Théorie de la mesure géométrique et Calcul des variations"

Catégorie d'évènement : Conférence Date/heure : 13 décembre 2022 - 14 décembre 2022 00:00-00:00 Lieu : Description

Rencontre GDR-Calva à Nancy 13-14 décembre 2022

Site de la rencontre : https://indico.math.cnrs.fr/event/8364/page/567-accueil

Organisateurs: Antoine Lemenant (Nancy), Reza Pakzad (Toulon)

Gestion administrative: Virginie Lamouroux (Nancy), Valérie Gobert (Nancy)

Pour toute question veuillez contacter : Antoine.Lemenant@univ-lorraine.fr

Liste des orateurs :

Jean-François Babadjian (Paris-Saclay)

Antonin Chambolle (Paris-Dauphine)

Gisella Croce (Le Havre)

Thierry De Pauw (Paris)

Guy David (Paris Saclay)

Michael Goldman (Paris)

Ilaria Lucardesi (Florence)

Exposés courts :

Jules Candau-Tilh (Lille-Paris)

Peter Gladbach (Bonn)

Camille Labourie (Erlangen-Nuremberg)

Yana Teplitskaya (Leiden)

Propagation des ondes en milieux quasi-périodiques

Catégorie d'évènement : Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 6 décembre 2022 10:45-11:45 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Pierre Amenoagbadji Résumé :

Résumé: Un milieu quasi-périodique est un milieu ordonné sans être périodique. Un exemple assez connu depuis le prix Nobel de Chimie 2011 est le quasi-cristal. La notion de quasi-périodicité est très bien définie dans la littérature mathématique. Pour donner une idée, une fonction quasi-périodique 1D est la trace suivant une droite donnée d’une fonction périodique de plusieurs variables. Les EDP à coefficients quasi-périodiques ont fait l’objet d’études théoriques dans le contexte de l’homogénéisation, mais il semble qu’il y ait eu beaucoup moins de travaux en dehors de ce contexte, et encore moins sur la résolution numérique de ces équations.

L’objectif de ce travail est de développer des méthodes numériques originales pour résoudre l’équation des ondes harmoniques en milieux quasi-périodiques, dans l’esprit des méthodes précédemment développées pour des milieux périodiques. L’idée est d’utiliser le fait que l’étude d’une EDP elliptique avec des coefficients quasi-périodiques se ramène à l’étude d’une EDP augmentée non-elliptique, posée en dimension supérieure, mais dont les coefficients sont périodiques. Cette approche, dite de relèvement, permet de résoudre l’EDP périodique avec des outils adaptés. Cependant, le caractère non-elliptique rend l’analyse mathématique et numérique de la méthode délicate.

Dans cet exposé, je présenterai dans un premier temps la méthode de relèvement sur un problème 1D quasi-périodique. Je discuterai ensuite de l’extension de cette méthode à un problème de transmission entre un milieu périodique et un milieu constant, lorsque l’interface ne coupe pas le milieu périodique dans une direction de périodicité. L’efficacité de l’approche sera illustrée par des résultats numériques.

Frédéric Hérau (Université de Nantes)

Catégorie d'évènement : Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 29 novembre 2022 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Frédéric Hérau (Université de Nantes) Résumé :

Dérivation d'un modèle d'écoulement compressible à bulles

Catégorie d'évènement : Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 22 novembre 2022 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Hélène Mathis (Université de Montpelliers) Résumé :

On s’intéresse à la modélisation d’un écoulement à bulles compressibles par une méthode d’homogénéisation.

A l’échelle microscopique, le fluide est décrit par le système de Navier-Stokes compressible, le comportement des bulles étant décrit individuellement.

L’originalité du modèle réside dans la prise en compte de la tension de surface aux interfaces.

Considérant que le nombre de bulles diverge, on propose une construction des quantités macroscopiques.

On présente le système d’équations macroscopiques associé qui contient non seulement une équation d’évolution de la fraction de volume mais également une équation cinétique sur la fonction de répartition des bulles.

Il s’agit d’un travail en collaboration avec M. Hillairet et N. Seguin.

We introduce a general framework of low regularity integrators which allows us to approximate the time dynamics of a large class of equations, including parabolic and hyperbolic problems, as well as dispersive equations, up to arbitrary high order on general domains. The structure of the local error of the new schemes is driven by nested commutators which in general require (much) lower regularity assumptions than classical methods do. Our main idea lies in embedding the central oscillations of the nonlinear PDE into the numerical discretisation. The latter is achieved by a novel decorated tree formalism inspired by singular SPDEs with Regularity Structures and allows us to control the nonlinear interactions in the system up to arbitrary high order on the infinite dimensional (continuous) as well as finite dimensional (discrete) level.

This is a joint work written in collaboration with Yvonne Alama Bronsard and Katharina Schratz.

Quelques résultats d’existence et de régularité des solutions de l'équation fractionnaire d’Hamilton-Jacobi

Catégorie d'évènement : Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 18 octobre 2022 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Somia ATMANI (Université Abou Bakr Belkaïd, Tlemcen) Résumé :

Abstract

Stabilization of 1D systems of PDEs

Catégorie d'évènement : Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 11 octobre 2022 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Amaury Hayat Résumé :

As part of control theory, stabilization consists in finding a way to make stable a trajectory of a system on which one has some means of action. In this talk, we will discuss recent advances in stabilization of PDEs, starting with one of the most natural approaches for nonlinear systems, quadratic Lyapunov functions, to more complex approaches such as Fredholm backstepping. Backstepping consists in finding a control operator such that the PDE system can be invertibly mapped to a simpler PDE system for which stability is known. Surprisingly powerful, this approach offers the possibility to deal with very general classes of systems. We will review the origin of the method and present new results that resolve a question opened in 2017 and illustrate it on the rapid stabilization of the linearized water-wave equations. Finally, if time allows we will talk about a completely different subject: teaching mathematics to an AI and we will consider two questions, can we train an AI to predict the solution of a mathematical problem? can we train an AI to prove a statement?

A morphelastic model

Catégorie d'évènement : Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 21 juin 2022 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Ulisse Stefanelli (University of Vienna) Résumé :

I will present some recent work in collaboration with Elisa Davoli (TU Wien) and Katerina Nik (University of Vienna) on a three-dimensional quasistatic morpholelastic model. The mechanical response of the body and its growth are modeled by the interplay of hyperelastic energy minimization and growth dynamics. An existence result is obtained by regularization and time-discretization, also taking advantage of an exponential-update scheme. Then, we allow the growth dynamics to depend on an additional scalar field modeling nutrient concentration, and formulate an optimal control problem. Eventually, we tackle the existence of coupled morphoelastic and nutrient solutions, when the latter is allowed to diffuse and interact with the growing body.

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