Séminaire EDP et Applications | Nancy

The aim of this article is to analyze numerical schemes using two-layer neural networks with infinite width for the resolution of the high-dimensional Poisson partial differential equation (PDE) with Neumann boundary condition. Using Barron’s representation of the solution with a probability measure defined on the set of parameter values, the
energy is minimized thanks to a gradient curve dynamic on the 2-Wasserstein space of the set of parameter values defining the neural network. Inspired by the work from Bach and Chizat, we prove that if the gradient curve converges, then the represented function is the solution of the elliptic equation considered. In contrast to previous works, the activation function we use here is not assumed to be homogeneous to obtain global convergence of the flow. Numerical experiments are given to show the potential of the method.

On s’intéresse au problème d’optimisation de formes consistant à maximiser les valeurs propres du Laplacien avec conditions de Neumann homogènes. Ces valeurs propres interviennent notamment dans des problèmes acoustiques ou thermiques et sont en particulier liées à la « hot spot conjecture ». Contrairement aux valeurs propres de Dirichlet, celles associées au problème de Neumann sont de nature plutôt instable, ce qui rend le problème d’optimisation difficile. On verra comment certaines explorations numériques du problème pour des domaines du plan et de la sphère ont permis de mettre en évidence certaines propriétés des optima.

En fin de présentation, on fera une petite digression sur la capacité d’un réseau de neurones à apprendre les valeurs propres d’un opérateur.

Les fronts monostables sont des ondes propagées qui apparaissent dans
des contextes biologiques. Dans cette présentation on présentera les
mécanismes (instabilité VS transport et poids) qui garantissent la
stabilité de ces objets, et donc leur observabilité sur des grandes
périodes de temps. Les arguments seront valables à la fois pour des
équations paraboliques (réaction-diffusion) et hyperboliques (équations
de bilan).

Dans cet exposé, nous présenterons la thématique de
l’optimisation de forme et certaines de ses applications dans des
problèmes réels. Nous nous concentrerons ensuite sur quelques problèmes
motivés par la question suivante : où devrions-nous placer un parc à
l’intérieur d’un quartier donné et comment devrions-nous le concevoir
afin de le rendre le plus proche (dans un sens pertinent) à tous les
habitants du quartier ? l’exposé est basé sur des travaux en
collaboration avec Zakaria Fattah (ENSAM, Maroc) et Enrique Zuazua (FAU,
Allemagne).

Dans cet exposé, je présenterai une nouvelle méthode numérique pour résoudre le problème de transmission scalaire avec des coefficients à changement de signe. En électromagnétisme, un tel problème de transmission peut se poser si le domaine d’intérêt consiste en un matériau diélectrique classique et un métal ou un métamatériau, avec, par exemple, une permittivité électrique qui est strictement négative dans le métal ou le métamatériau. La méthode est basée sur une reformulation du problème en un problème de contrôle optimal. Contrairement à d’autres approches existantes, la convergence de cette méthode est prouvée sans aucune condition restrictive sur le maillage utilisé ou sur la régularité de la solution du problème. Ces résultats sont illustrés par quelques expériences numériques.

Attention, le séminaire aura lieu exceptionnellement en salle Döblin.

A dynamically protected cat-qubit is an open quantum system that stabilizes a two-dimensional subspace (called code space) of a quantum harmonic oscillator and shows very promising robustness to noise. Experimental realizations of cat-qubits rely on reservoir engineering, a method of coupling a high-quality cavity with a dissipative cavity. In this talk, after an introduction to the mathematics of open quantum systems, we will present a new generalized LaSalle invariance principle to prove the long-time convergence of a cat-qubit to the code space.

De nombreuses applications en traitement d’images (débruitage, segmentation), en science des données (lissage de nuages de points, associations de formes), en sciences des matériaux (évolution des grains dans les alliages, croissance des cristaux) ou en biologie (modélisation cellulaire) nécessitent l’approximation de l’évolution d’interfaces géométriques telles que l’emblématique mouvement par courbure moyenne.
Dans ce contexte, la méthode des champs de phase est un outil particulièrement efficace pour approcher
l’évolution des surfaces orientées, mais les choses se révèlent beaucoup plus difficiles pour les surfaces non orientées.
Dans cet exposé, nous expliquerons comment approcher de telles évolutions en entraînant des réseaux de neurones dont les structures dérivent des schémas classiques de discrétisation de l’équation d’Allen Cahn.
Des applications numériques aux problèmes de Steiner et de Plateau seront aussi proposées.