Séminaire EDP et Applications | Nancy

We will discuss several models that might be regarded as migration models of populations moving from one part of a domain to the other and becoming part of the population living on the other side. Different situations assuming symmetry of movement between both sides of the domain, following a logistic model in their own environment and assuming spatial heterogeneities, are going to be discussed. Through such a common boundary both populations are coupled, acting as a permeable membrane on which their flow moves in and out. We will describe the precise interplay between the stationary solutions with respect to the parameters involved in the problem, in particular the growth rate of the populations and the coupling parameter involved on the boundary where the interchange of flux is taking place.

L’exposé se veut un résumé de mes travaux de thèse, qui portent une attention particulière aux schémas de Boltzmann sur réseau. Cette classe de schémas est utilisée depuis la fin des années ’80, en particulier en mécanique des fluides, et se caractérise par sa grande rapidité. Cependant, les méthodes de Boltzmann sur réseau sont très gourmandes en termes d’espace mémoire et conçues pour des maillages Cartésiens uniformes. De plus, nous manquons d’outils théoriques généraux qui permettent d’en analyser la consistance, la stabilité et enfin la convergence. Le travail s’articule autour de deux axes principaux. Le premier consiste à proposer une stratégie permettant d’appliquer les méthodes de Boltzmann sur réseau à des grilles de calcul non-uniformes adaptées dynamiquement en temps, afin de réduire le coût de calcul et de stockage. Le fait de pouvoir contrôler l’erreur commise et d’être en mesure d’employer la méthode quel que soit le schéma de Boltzmann sous-jacent sont des contraintes supplémentaires à prendre en compte. Pour cela, nous proposons d’adapter dynamiquement le réseau ainsi que d’ajuster toute méthode de Boltzmann à des maillages non-uniformes en nous appuyant sur la multirésolution. Cela a permis de proposer un cadre innovant pour des maillages mobiles en respectant les contraintes posées. Le second axe de recherche consiste à donner un cadre mathématiquement rigoureux aux méthodes de Boltzmann sur réseau, lié en particulier à leur consistance vis-à-vis des EDPs visées, leur stabilité et donc leur convergence. Pour cela, nous proposons une procédure, basée sur des résultats d’algèbre, pour éliminer les moments non-conservés de n’importe quel schéma de Boltzmann sur réseau, en le transformant en un schéma aux différences finies multi-pas sur les moments conservés. Les notions de consistance et stabilité pertinentes pour les méthodes de Boltzmann sur réseau sont donc celles des schémas aux différences finies. En particulier, tous les résultats concernant ces derniers, entre autres le théorème de Lax, se transpose naturellement aux schémas de Boltzmann sur réseau. Une étape ultérieure consiste à étudier la consistance et la stabilité directement sur le schéma de départ sans devoir calculer sa méthode aux différences finies « correspondante ». Cela permet d’en obtenir les équations modifiées et de montrer le bien-fondé des analyses de stabilité à la von Neumann couramment utilisées au sein de la communauté.

Depuis son introduction par Allen et Berkley en 1972, la méthode des
sources images est l’une des techniques les plus populaires pour la
modélisation des réponses impulsionnelles (RIR) en acoustique des
salles. Cette méthode modélise chaque réflexion d’une impulsion sonore
sur les murs d’une pièce rectangulaire (ou polyédrique) comme une source
impulsionnelle de type Dirac, obtenue à partir de critères géométriques
simples. Quelques travaux récents étudient l’estimation de la forme
d’une pièce tridimensionnelle en exploitant les temps d’arrivée des
échos dans l’enregistrement de la réponse impulsionnelle de salle.
Différentes limitations apparaissent dans ce type de méthode, notamment
la localisation temporelle des échos et leur labellisation. La méthode
présentée dans cet exposé permet la reconstruction des positions 3D des
sources images sans labellisation préalable des réflexions. Le problème
inverse est posé comme un problème convexe en dimension infinie de
reconstruction parcimonieuse en 3D des sources images, l’opérateur
linéaire d’observation à inverser faisant intervenir la solution de
l’équation des ondes avec un terme source mesure. Les dimensions d’une
pièce rectangulaire peuvent ensuite être estimées précisément à l’aide
du nuage de sources images ainsi reconstruites. L’exposé se conclura par
la présentation d’une approche alternative en cours de développement
basée sur l’optimisation de forme et la méthode des solutions
fondamentales, qui devrait permettre de dépasser le cas des pièces
rectangulaires.

The aim of this article is to analyze numerical schemes using two-layer neural networks with infinite width for the resolution of the high-dimensional Poisson partial differential equation (PDE) with Neumann boundary condition. Using Barron’s representation of the solution with a probability measure defined on the set of parameter values, the
energy is minimized thanks to a gradient curve dynamic on the 2-Wasserstein space of the set of parameter values defining the neural network. Inspired by the work from Bach and Chizat, we prove that if the gradient curve converges, then the represented function is the solution of the elliptic equation considered. In contrast to previous works, the activation function we use here is not assumed to be homogeneous to obtain global convergence of the flow. Numerical experiments are given to show the potential of the method.

On s’intéresse au problème d’optimisation de formes consistant à maximiser les valeurs propres du Laplacien avec conditions de Neumann homogènes. Ces valeurs propres interviennent notamment dans des problèmes acoustiques ou thermiques et sont en particulier liées à la « hot spot conjecture ». Contrairement aux valeurs propres de Dirichlet, celles associées au problème de Neumann sont de nature plutôt instable, ce qui rend le problème d’optimisation difficile. On verra comment certaines explorations numériques du problème pour des domaines du plan et de la sphère ont permis de mettre en évidence certaines propriétés des optima.

En fin de présentation, on fera une petite digression sur la capacité d’un réseau de neurones à apprendre les valeurs propres d’un opérateur.

Les fronts monostables sont des ondes propagées qui apparaissent dans
des contextes biologiques. Dans cette présentation on présentera les
mécanismes (instabilité VS transport et poids) qui garantissent la
stabilité de ces objets, et donc leur observabilité sur des grandes
périodes de temps. Les arguments seront valables à la fois pour des
équations paraboliques (réaction-diffusion) et hyperboliques (équations
de bilan).

Dans cet exposé, nous présenterons la thématique de
l’optimisation de forme et certaines de ses applications dans des
problèmes réels. Nous nous concentrerons ensuite sur quelques problèmes
motivés par la question suivante : où devrions-nous placer un parc à
l’intérieur d’un quartier donné et comment devrions-nous le concevoir
afin de le rendre le plus proche (dans un sens pertinent) à tous les
habitants du quartier ? l’exposé est basé sur des travaux en
collaboration avec Zakaria Fattah (ENSAM, Maroc) et Enrique Zuazua (FAU,
Allemagne).

Dans cet exposé, je présenterai une nouvelle méthode numérique pour résoudre le problème de transmission scalaire avec des coefficients à changement de signe. En électromagnétisme, un tel problème de transmission peut se poser si le domaine d’intérêt consiste en un matériau diélectrique classique et un métal ou un métamatériau, avec, par exemple, une permittivité électrique qui est strictement négative dans le métal ou le métamatériau. La méthode est basée sur une reformulation du problème en un problème de contrôle optimal. Contrairement à d’autres approches existantes, la convergence de cette méthode est prouvée sans aucune condition restrictive sur le maillage utilisé ou sur la régularité de la solution du problème. Ces résultats sont illustrés par quelques expériences numériques.