L’existence de métriques kählériennes canoniques (Kähler-Einstein, à courbure scalaire constante, etc…) dans une classe de cohomologie donnée d’une variété kählérienne compacte admet une formulation variationnelle comme équation d’Euler-Lagrange de certaines fonctionnelles. Grâce aux travaux profonds de Darvas-Rubinstein et Chen-Cheng, on sait que de plus qu’elles admettent des points critiques (donc des métriques canoniques) ssi elles satisfont une condition de croissance linéaire. Après avoir passé en revue ces objets fondamentaux, j’expliquerai comment cette caractérisation permet de généraliser des travaux d’Arezzo-Pacard et Seyyedali-Szekelyhidi portant sur la stabilité de telles métriques par éclatement de la variété. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Mattias Jonsson et Antonio Trusiani.
Cônes de diviseurs sur éclaté en points très généraux
Soit l’éclatement de en points très généraux. Alors est une variété projective lisse dont le diviseur anticanonique est nef mais non semiample.
Dans cet exposé, on donne une description explicite sur le cône nef et le cône pseudoeffectif de . De plus, on montre qu’un certain groupe de Weyl agit sur le cône mobile effectif de avec un domaine fondamental rationnel polyhédral. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Isabel Stenger.
Je vais parler d’un vieux travail en collaboration avec Bruno Klingler et Vincent Koziarz sur une question/conjecture de Carlson et Toledo. Un groupe est dit kählerien s’il est isomorphe au groupe fondamental d’une variété kählerienne compacte. On connaît un certain nombre de restrictions sur les groupes kähleriens, souvent issues de la théorie de Hodge, par exemple que leur premier nombre de Betti doit être pair. La conjecture de Carlson et Toledo affirme que tout groupe kählerien infini a de la cohomologie en degré 2. J’expliquerai une stratégie possible vers cette conjecture, initiée par A. Reznikov et que nous avions poursuivie avec B. Klingler et V. Koziarz, qui est basée sur l’étude de certaines variations de structures de Hodge et des applications et domaines de périodes associés. Cette stratégie n’a pour l’instant donné que des résultats très partiels, mais j’aimerais comprendre si on peut pousser les choses un peu plus loin.
Les travaux de Yau et de Simpson sur l’uniformisation des variétés complexes donnent une caractérisation algébrique des variétés projectives qui sont des quotients lisses et compacts de la boule : ce sont celles pour lesquelles le fibré canonique est ample, et qui satisfont le cas d’égalité dans la célèbre inégalité de Miyaoka-Yau. Ces travaux ont ensuite été généralisés dans le cas singulier par Greb-Kebekus-Peternell-Taji et Claudon-Graf-Guenancia, pour caractériser les variétés qui sont des quotients singuliers de la boule.
Dans ce travail, nous voudrions maintenant trouver une caractérisation analogue pour les quotients non-compacts ; on peut déjà conclure dans plusieurs situations. On présentera la stratégie générale de la preuve, qui utilise de manière essentielle la théorie des variétés spéciales de F. Campana, ainsi que les liens entre hyperbolicité complexe et groupes fondamentaux des variétés quasi-projectives (dus notamment au travail de Brotbek, Deng, Daskalopoulos, Mese, Yamanoi…)
