Séminaire Géométrie

Je présenterai la conjecture en question, ses implications, les résultats connus et mes contributions.

Soit G un groupe réductif déployé (par exemple G=SL_n ou GL_n), k un corps et K=k(t), où K est une indéterminée. Si \omega est une valuation sur K, alors la théorie de Bruhat-Tits permet d’associer un « immeuble » I_\omega sur lequel le groupe G(K) agit, et on peut alors étudier G(K) via son action sur son immeuble.

Soient maintenant \omega_+ et \omega_- les valuations associées aux inclusions K\subset k((t)) et K\subset k((t^{-1})), et soient I_+ et I_- les immeubles associés. Alors I_+ et I_- sont reliés par une codistance d^*, qui définit un « jumelage » entre I_+ et I_-.

Dans cet exposé, je décrirai l’arbre jumelé de SL_2, puis je parlerai des masures jumelées que nous avons définies récemment avec Nicole Bardy-Panse et Guy Rousseau, ainsi que des polynômes de Kazhdan-Lusztig associés.

Iwahori a défini une déformation selon un paramètre q de l’algèbre de groupe d’un groupe de Weyl, dont les constantes de structure comptent le nombre de sous-groupes de Borel sur un corps à q éléments vérifiant certaines conditions.
Cette algèbre se présente par générateurs et relations, d’une manière qu’il est naturel de généraliser d’un groupe de Weyl à un groupe de Coxeter W arbitraire, fournissant les algèbres dites « de Hecke ».
Deodhar a construit des modules sur cette algèbre de Hecke dès lors qu’on se donne un sous-groupe parabolique W_P du groupe de Coxeter, en lien avec l’ordre de Bruhat sur le quotient W/W_P.
Nous verrons qu’il est possible de généraliser cette construction si l’on munit le sous-groupe parabolique W_P d’une involution et que l’on définit un ordre adéquat sur le quotient W/Z où Z est le groupe des points fixes de l’involution dans W_P.
Dans le cas particulier où W est le groupe de Weyl d’un groupe algébrique G muni d’un sous-groupe sphérique H, ce module se construit par une construction à la Iwahori, et on espère que des polynômes « de Kazhdan-Lusztig » définis algébriquement seraient égaux aux polynômes de Poincaré du complexe d’intersection des adhérences des H-orbites dans G/B, comme c’est le cas pour les variétés de Schubert (lorsque H=B).