Séminaire Géométrie

I will survey recent progress on the various aspects of the conjectures of Campana, Lang, and
Vojta, which relate the behaviour of (transcendental) curves on an algebraic variety to the density of rational
points and the abundance of certain subvarieties. The first part of this talk will be a gentle introduction to these conjectures.

I will survey recent progress on the various aspects of the conjectures of Campana, Lang, and
Vojta, which relate the behaviour of (transcendental) curves on an algebraic variety to the density of rational
points and the abundance of certain subvarieties. The first part of this talk will be a gentle introduction to these conjectures.

Les orbifolds analytiques complexes donnent lieu à  des exemples naturels de systèmes locaux tordus, pour lesquels le groupe fondamental agit non trivialement sur le groupe des coefficients. Dans son article ‘Higgs bundles and local systems’ de 1992, C. Simpson laisse ouverte la question de la construction des fibrés de Higgs associés à  de tels systèmes locaux et le but de l’exposé est de donner les grandes lignes d’une réponse possible à  cette question. S’il reste du temps, nous montrerons comment on peut appliquer ce point de vue au calcul de la dimension des composantes de Hitchin de groupes fondamentaux orbifolds.

En 1977, Milnor a formulé la conjecture suivante : tout groupe discret de transformations affines agissant proprement sur l’espace affine est virtuellement résoluble. On sait maintenant que cet énoncé est faux. L’objectif est à  présent de mieux cerner les contre-exemples à  cette conjecture. Chaque groupe qui viole cette conjecture « vit » dans un certain groupe affine algébrique, qu’on peut spécifier en donnant un groupe linéaire et une représentation de celui-ci. Les représentations qui donnent lieu à  des contre-exemples sont alors appelées non-milnoriennes. Je vais parler des avancées obtenues dans la question de la classification de ces représentations non-milnoriennes.

Je présenterai la construction d’un invariant de la structure complexe des variétés de Calabi-Yau. Je montrerai ensuite qu’il fournit dans le cas des hypersurfaces de Calabi-Yau des espaces projectifs la donnée, côté complexe, qui correspond par la symétrie miroir au comptage des courbes de genre 1 sur la variété miroir, côté symplectique. Il s’agit d’un travail en commun avec Dennis Eriksson et Gerard Freixas i Montplet.