In the study of the Riemann zeta function, a functional equation plays a fundamental role, and it has been confirmed in many mathematical areas that several kinds of zeta functions satisfy functional equations. In 1961, M. Sato found out that there are big group actions behind such functional equations, and then he reached the notion of prehomogeneous vector spaces. In this talk, I focus on solvable prehomogeneous vector spaces associated with homogeneous cones and consider the associated zeta functions in several variables. In particular, an explicit formula of functional equations of these zeta functions is given.

Rencontre annuelle du groupe de recherche Géométrie Non Commutative: Cliquer sur le lien « Arxiv » pour plus de détails.

Dans ce travail en collaboration avec Guoliang Yu, nous définissons pour une famille d’espaces métriques finies des estimations quantitatives pour les applications d’assemblages. Nous relions ces estimations à  la conjecture de Novikov. En application, nous donnons une preuve de la conjecture de Novikov pour les groupes à  complexité de décomposition finie.

Le besoin croissant de composants électroniques plus petits a récemment suscité l’intérêt pour l’étude de la théorie de la conductivité classique à  l’échelle atomique o๠les effets quantiques devraient dominer. En 2012, les mesures expérimentales de la résistance électrique de fils en Silicium (Si) dopés aux atomes de phosphore ont démontré que les effets quantiques sur le transport de charge disparaissent presque pour des fils de longueur supérieure à  quelques nanomètres. Et ceci même à  très basse température (4,2 K). Nous démontrons mathématiquement que, dans le cas de fermions non soumis à  une interaction (free-fermions) évoluant sur un réseau cristallin (avec désordre), l’incertitude quantique de la densité de courant électrique microscopique autour de leurs valeurs macroscopiques (classiques) décroit de manière exponentiellement par rapport au volume de la région du réseau o๠le champ électrique est appliqué. Ceci est en accord avec l’observation expérimentale ci-dessus. Le désordre au sein du réseau est modélisé par un potentiel externe aléatoire avec des amplitudes aléatoires et à  valeurs complexes. Le célèbre « Anderson tight-binding model » est un exemple particulier du cas considéré ici. Notre analyse mathématique est basée sur les estimations de Combes-Thomas (1973), le théorème ergodique d’Akcoglu-Krengel et le formalisme des grandes déviations, en particulier le théorème de Gärtner-Ellis.

Je commencerai par un survol de la théorie de la fonction zêta de Riemann et de son importance en théorie des nombres. Je présenterai ensuite une sélection des avancées majeures concernant les zéros et l’ordre de grandeur de la fonction zêta. Je terminerai par des résultats récents concernant la répartition de ses valeurs dans la bande critique, obtenus en partie en collaboration avec Steve Lester et Maksym Radziwill.

The category of weakly complete vector spaces is dual to the category of abstract vector spaces. This fact which is itself easy to verify allows to transfer problems from topological algebra to abstract algebra and vice versa. In this talk, I will explain how to use this duality to analyze unit groups of weakly complete algebras and how to construct the coresponding left adjoint functor, which assigns to each topological group in a natural way a weakly complete algebra, generalizing the group algebra for finite groups. This project is joint work with K. H. Hofmann and S. Morris.

A Lie algebra with a non-degenerate invariant symmetric bilinear form will be called a nis-Lie algebra. The double extension of a Lie (super)algebra with a homogenous non-degenerate symmetric invariant bilinear form is the result of simultaneously adding to it a central element and an outer derivation so that the larger algebra is also nis. We consider double extensions of Lie superalgebras in characteristic 2, and concentrate on peculiarities of these notions related with the possibility for the bilinear form and the derivation to be odd. Two Lie superalgebras have been discovered by this method indigenous to the characteristic 2 case.

La première partie de l’exposé consiste à  rappeler le Théorème de Mà¼ntz-Szà¡sz sur la droite réelle, lié à  l’approximation des fonctions continues sur un intervalle par des fonctions polynomiales. Ensuite je vais définir un analogue à  ce théorème dans le cadre de certaines extensions compactes de groupes de Lie nilpotents.

In this talk I will present some recent results for the resolvent norm of linear operators and their implication for the pseudospectrum of matrices. In the presentation I restrict myself to matrices, even though most statements also hold, at least locally, for a certain class of closed linear operators on a separable Hilbert space. As the main theorem we have that for any point in the resolvent set there are directions in which the norm grows at least quadratically in the distance from this point. Besides others this directly implies the well-known fact that level sets of the resolvent norm cannot have interior points. Moreover, I will show how the main theorem can be used to construct a finite polygonal contour inside the pseudospectrum linking a given arbitrary point in the pseudospectrum to an eigenvalue of the matrix. This talk is based on joint work with H. Cornean, H. Garde and A. Jensen.

Categorified principal bundles are bundles whose fibres are Lie groupoids, on which a monoidal Lie groupoid (« Lie 2-group ») acts. They are global, geometric representatives of Giraud’s non-abelian cohomology. I will talk about connections on categorified principal bundles; these realize the Breen-Messing differential refinement of non-abelian cohomology. I will explain a mechanism of parallel transport, which goes very nicely with the fibrewise Lie groupoid structure. For example, the parallel transport along a path is a Morita equivalence between the fibres over its end points.

Clifford qaudratic forms (abbreviated by CQF) were introduced in [T. Kogiso and F. Sato, J. Math. Sci. , Univ. Tokyo, 23 (2016), 791–866] as examples of non-prehomogeous type plynomials which satisfy local functional equations. In this talk, I introduce the following applications and properties of CQFs. CQFs are counter examples of Etingof , Kahzdan and Polishachuk’s problem (2002) of homaloidal polynomials. LFE of polarization of CQF keeps non-prehomogeneity. Certain phenomena suggesting the relationship between CQF and some class of Clifford Klein forms introduced by Kobayashi and Yoshino.

Résumé

L’analyse de Fourier sur un fibré vectoriel homogène au-dessus d’un espace symétrique G/K, et donc l’analyse spectrale d’opérateurs différentiels naturels comme le Laplacien des formes différentielles ou l’opérateur de Dirac, découle de la théorie des représentations du groupe de Lie G. Dans cet exposé j’expliquerai ce lien dans un cadre assez général et je l’illustrerai par l’exemple des espaces hyperboliques et de leurs quotients par des sous-groupes discrets, pour lesquels il est possible d’avoir des résultats assez explicites.

On considère les problèmes direct et inverse de diffusion avec perturbations distributionnelles supportés par une surface fermée et bornée. Ces modèles sont décrits en termes de perturbations singulières du laplacien. Nous donnons une représentation factorisée de l’amplitude de diffusion. La méthode de la factorisation adaptée à  ce cadre permets sous certains conditions de déterminer le support de la distribution. (En collaboration avec A. Posilicano).

On considère les problèmes direct et inverse de diffusion avec perturbations distributionnelles supportés par une surface fermée et bornée. Ces modèles sont décrits en termes de perturbations singulières du laplacien. Nous donnons une représentation factorisée de l’amplitude de diffusion. La méthode de la factorisation adaptée à  ce cadre permets sous certains conditions de déterminer le support de la distribution. (En collaboration avec A. Posilicano).

Résumé

Motivated by deformation quantization, Weinstein initiated the study of the « Poisson category ». This should be a category whose objects are Poisson manifolds, and whose morphisms are coisotropic correspondences. Unfortunately, in the general case there is no such category. In fact, composition of morphisms by fiber products is not always available, and one needs to put strong enough « clean intersection » hypothesis to make it possible. In this talk, we present a realization of the Poisson category in the context of derived algebraic geometry, which is a homotopical generalization of classical algebraic geometry. The talk will be based on joint work(s) with Rune Haugseng and Pavel Safronov.