Un opérateur de brisure de symétrie (SBO) est un opérateur d’entrelacement d’une représentation d’un groupe à une représentation irréductible d’un sous-groupe. Si $\Pi$ et $\Pi’$ sont en dualité de Howe, l‘espace des opérateurs brisant la symétrie de la représentation de Weil à la représentation $\Pi\otimes\Pi’$ est unidimensionnel. A une constante non-nulle près, dans cet espace il y a donc un unique SBO non trivial. La construction explicite du SBO apporte des informations supplémentaires sur la correspondance de Howe. Dans cet exposé, qui se base sur un projet en cours avec Mark McKee et Tomasz Przebinda (Université de l’Oklahoma), on étudiera les SBO correspondant à des paires duales réductives irréductibles ayant un membre compact. Ce sont des opérateurs pseudo-différentiels, dont nous calculons les symboles de Weyl. On présentera quelques résultats, exemples et applications.

In the past decades a kind of „quantum mathematics“ has evolved as a more and more coherent theory. It contains, amongst others, C*-algebras (aka noncommutative topology), von Neumann algebras (aka noncommutative measure theory), Connes’s noncommutative (differential) geometry, Voiculescu’s free probability theory and many more. In this mostly analytic setting, Woronowicz’s quantum groups provide a suitable notion of quantum symmetry.
In this talk, we will give a pedestrian approach to quantum symmetries: We will introduce quantum permutations purely in the language of linear algebra and sketch its use in graph theory (see for instance an exciting extension of Lovasz’ homomorphism counts theorem from the 1960s). On the way, we will briefly mention the broader context of quantum mathematics, quantum groups and some links to quantum information theory. We will try to keep the talk quite algebraic and combinatorial and we will avoid too many details from analysis.

Let $X=G/K$ be a Riemannian symmetric space of non compact type with real rank one. For $\lambda \in \mathbb{C}$ and $f$ an integrable function on the Furstenberg boundary $K/M$, the Poisson transform $P_\lambda$ of $f$ is given by

$
(P_\lambda f)(x)=\int_{K/M} e^{(i\lambda+\rho)A(x,b)}f(b)db, \quad \mbox{for} \; x\in X.
$

The aim of this talk is to present a necessary and a suffucient condition on eigenfunctions of the Laplace-Beltrami operator associated to $X$ with eigenvalue $-(\lambda^2+\rho^2)$ to have an $L^p$-Poisson integral representations on the boundary $K/M$. A special discuss of the case of the exceptional symmetric space.

La relation entre le spectre du laplacien et les géodésiques fermées sur une variété riemannienne compacte est l’un des thèmes centraux de la géométrie différentielle. Fried a conjecturé que la torsion analytique, qui est un produit alterné de déterminants régularisés des laplaciens, est égale à la valeur en zéro de la fonction zêta dynamique. Dans cet exposé, je montrerai la conjecture de Fried sur des espaces localement symétriques tordus par un fibré vectoriel plat acyclique obtenu par une représentation du groupe de Lie sous-jacent. Cela généralise les résultats de moi-même pour les fibrés unitaires, et les résultats de Brocker, Muller et Wotzker sur les variétés hyperboliques.

Les Éléments de mathématique désignent une vaste entreprise éditoriale menée par le groupe Nicolas Bourbaki sur des thématiques aussi diverses que la théorie des ensembles, l’algèbre, la topologie, les espaces vectoriels topologiques, l’intégration ou encore les groupes et les algèbres de Lie. Les premiers fascicules des Éléments paraissent ponctuellement à la fin des années 1930 et durant la période de l’Occupation, avant de faire l’objet de publications régulières à partir de 1947. Dans le cadre de cet exposé, nous reviendrons tout d’abord sur les premières années d’existence du groupe afin de comprendre comment cette entreprise est née. Nous dresserons ensuite un état des lieux des archives disponibles permettant de documenter la genèse des Éléments de mathématique, ce qui nous conduira à mettre en exergue certaines pièces issues du fonds Jean Delsarte qui est conservé à la bibliothèque de l’Institut Élie Cartan. Les archives du groupe Bourbaki sont essentiellement composées de deux classes de documents : des Rédactions qui documentent les états intermédiaires dans la genèse d’un fascicule des Éléments de mathématique et les numéros du Journal de Bourbaki qui contribuent à comprendre comment ces Rédactions ont été discutées, critiquées et révisées. Nous reviendrons sur les précautions de méthode qui s’imposent pour étudier et relier ces deux grandes classes de documents. Enfin, nous présenterons succinctement l’état de nos recherches sur les premières rédactions Bourbaki dévolues aux groupes et aux algèbres de Lie.

Nous donnons une caractérisation des ensembles $D_p (1 < p < 2)$ des nombres complexes $c$ tels que $z\mapsto \frac{1+z}{2}+c\left(\frac{1-z}{2}\right)^{p}$ soit une self-map du disque unité fermé, et nous montrons que ces ensembles sont croissants en fonction de $p$.

The principal symbol of a pseudodifferential operator is homogeneous and shows, therefore, a certain invariance under the $\mathbb R_{>0}$-action by scaling.The scaling action can be extended to the so called zoom action of $\mathbb R_{>0}$ on the tangent groupoid. In this talk, I will explain why order zero pseudodifferential operators can be viewed as generalized fixed points of the zoom action in the sense of Rieffel.
This method is applicable in more general situations, for example for filtered manifolds. Here, we recover the order zero pseudodifferential extension by van Erp and Yuncken. Our approach allows to compute the spectrum of the noncommutative symbol algebra. This gives a Fredholm criterion for pseudodifferential operators in this calculus in terms of a Rockland condition.

Depuis les années 1980 le problème de la démonstration de la conjecture de Baum-Connes à coefficients pour les groupes semisimples a conduit Kasparov et ses émules à s’intéresser au complexe BGG (Bernstein–Gelfand–Gelfand) associé aux espaces de drapeaux.

Nous expliquerons, dans le cas du rang réel 1, comment ce complexe donne un module de Fredholm qui réalise l’élément gamma de Kasparov et devrait permettre de démontrer la conjecture.

La notion d’ensemble de Kazhdan dans un groupe topologique provient de la théorie géométrique des groupes, en lien avec la propriété (T) de Kazhdan. L’existence d’un ensemble de Kazhdan « petit » implique une certaine« rigidité » du groupe. Dans notre exposé, de type colloquium, on regardera les ensembles de Kazhdan d’un point de vue de l’analyse fonctionnelle, de l’analyse harmonique et d’un point de vue aléatoire. On discutera aussi le rôle joué par les ensembles de Kazhdan dans un contre-exemple à une conjecture de Russell Lyons (1998), motivée par la conjecture $\times 2$, $\times 3$ de Furstenberg. L’exposé est basé sur des travaux en collaboration avec Sophie Grivaux et Etienne Matheron.

Les journées SL2R « Théorie des Représentations et Analyse Harmonique » se tiendront à l’Université du Lorraine les jeudi 12 et vendredi 13 Mai 2020. Ce colloque tournant — entre les universités de Strasbourg, Lorraine, Luxembourg et Reims (=SL2R) — regroupe deux à trois fois par an les mathématiciens de ces quatre universités travaillant en théorie des représentations et en analyse harmonique.

Cette édition sera en l’honneur du Professeur Jacques Faraut, l’un des fondateurs du précurseur des journées SL2R : le séminaire Nancy-Strasbourg (organisé par P. Eymard – R. Takahashi de Nancy et J. Faraut – G. Schiffmann de Strasbourg).

Pour participer, merci de remplir le formulaire form et de l’envoyer à khalid.koufany@univ-lorraine.fr et wolfgang.bertram@univ-lorraine.fr

Le programme, les participants et toutes les informations pratiques sont à retrouver sur le site web de l’événement : http://khalid-koufany.perso.math.cnrs.fr/SL2R2022/index.html

Let G be a non-compact connected semisimple real Lie group with finite center. Suppose L is a non-compact connected closed subgroup of G acting transitively on a symmetric space G/H such that L\cap H is compact. We will describe the action on L/L\cap H of a Dirac operator D_{G/H}(E) acting on sections of an E-twist of the spin bundle over G/H. We will illustrate the results in an SL(2) example.  This is joint work with Salah Mehdi.

The quantum gauge theory is the current basis for explaining the interactions of elementary particles. Among the four fundamental interactions: electromagnetic, weak, strong, and gravitational, for the last two, a proper mathematical construction does not yet exist. Quantum gauge theory is based on three different branches of mathematics: 1) geometry, 2) group theory, and 3) functional analysis.

The strong interactions are studied in the SU(3) quantum Yang-Mills theory but an axiomatic QFT with the mass gap and color confinement does not yet exist. In the classical field theory model, the gluon^1 is a massless particle but one can not see the color-charge^2 of a particle in nature, and then the gluons must be in the bound states, forming massive particles. This is the mass gap problem. The mass gap is the difference in energy between the vacuum and the next lowest energy state. The energy of the vacuum is zero by definition, and the mass gap is the mass of the lightest particle. However, the color confinement postulated permits only bound states of gluons, it is an obvious contradiction.

In this presentation, I would like to discuss the fact that if we replace: 1)  Minkowskian geometry with the de Sitterian geometry, 2) Poincaré group with de Sitter group and 3) Hilbert space quantization with the Krein space quantization, an axiomatic quantum Yang-Mills theory with a mass gap and the color confinement can be constructed. It is important to note that the ambient space formalism allows us to make this construction possible.

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1 . A gluon is an elementary particle that acts as the exchange particle (or gauge boson) for the strong force between quarks.

2 . Color charge is a property of quarks and gluons that is related to the particles’ strong interactions in the theory of quantum chromodynamics

If we have a flat vector bundle E over a compact manifold M, then we can form the de Rham cohomology H(M; E) of the M twisted by E. Given a Riemannian metric on M, this cohomology can be realised as the kernel of a Laplacian, via the Hodge theorem. Using the same Laplacian, In 1971, Ray and Singer defined the analytic torsion of M (now also assumed oriented), twisted by E. If H(M; E) vanishes, then analytic torsion is independent of the Riemannian metric used to define the Laplacian, and therefore a smooth invariant. Ray and Singer’s motivation for this definition was to give an analytic way to realise Reidemeister-Franz torsion, a combinatorial invariant of finite cell complexes. In 1978, Cheeger and Müller proved independently that these two notions of torsion are indeed equal. Fried’s conjecture from 1986 is a relation between analytic torsion and the Ruelle dynamical zeta function of a flow on M with suitable properties. That is a quantity involving the lengths of closed flow curves. So analytic torsion gives us a link between analysis, topology and dynamical systems. Most of this talk is a survey of analytic torsion. I will also mention some recent work with Hemanth Saratchandran on an equivariant version of analytic torsion for proper group actions.

Let I and J be two orthogonal respectively left and right coideal $*$-subalgebras of a dual pair of Hopf $*$-algebras. We define the Drinfeld double coideal of J and I. Next, we define for $0<q<1$ the unital $*$-algebra $U_q(sl(2,R))$, quantizing the universal enveloping $*$-algebra of $sl(2, R)$, as the Drinfeld double of the equatorial Podles sphere coideal $*$-subalgebra of $O_q(SU(2))$ and its associated orthogonal coideal $*$-subalgebra of $U_q(su(2))$. We finally classify its admissible irreducible $*$-representations.