Dans ces exposés, nous étudierons la convergence de marches aléatoires, sur les groupes quantiques finis de Sekine, définies à  partir de combinaisons linéaires des caractères irréductibles. Après avoir présenté les différents objets, nous utiliserons la théorie quantique de Diaconis et Shahshahani, introduite par McCarthy, pour borner la distance à  l’état de Haar. Nous réaliserons ensuite une classification des comportements asymptotiques en déterminant, s’il existe, l’état limite.

(Joint work with T.Benoist, R. Raquépas) Since Kurchan’s seminal work (2000), two-time measurement statistics (also known as full counting statistics) has been shown to have an important theoretical role in the context of quantum statistical mechanics, as they allow for an extension of the celebrated fluctuation relation to the quantum setting. In this contribution, we consider heat two-time measurement statistics for a locally perturbed system. We translate the problem into the analysis of the spectral measure of an auxiliary operator (a perturbed Liouvillean), which allow us to tackle consider infinitely extended reservoir. Through the analysis of this spectral measure momenta, we show heat fluctuation description differs considerably form its classical counterpart, in particular a crucial role is played by ultraviolet regularity conditions. For bounded perturbations, we give sufficient ultraviolet regularity conditions on the perturbation for the moments of the heat variation to be uniformly bounded in time, and for the Fourier transform of the heat variation distribution to be analytic and uniformly bounded in time in a complex neighborhood of 0. On a set of canonical examples, with bounded and unbounded perturbations, we show that our ultraviolet conditions are essentially necessary. If the form factor of the perturbation does not meet our assumptions, the heat variation distribution exhibits heavy tails. The tails can be as heavy as preventing the existence of a fourth moment of the heat variation. This phenomenon has no classical analogue.

Dans ces exposés, nous étudierons la convergence de marches aléatoires, sur les groupes quantiques finis de Sekine, définies à  partir de combinaisons linéaires des caractères irréductibles. Après avoir présenté les différents objets, nous utiliserons la théorie quantique de Diaconis et Shahshahani, introduite par McCarthy, pour borner la distance à  l’état de Haar. Nous réaliserons ensuite une classification des comportements asymptotiques en déterminant, s’il existe, l’état limite.

La description quantique et relativiste des particules élémentaires a rapproché de manière considérable les notions de force et de matière. Les deux sont décrites en termes de champs; ce qui les distingue est le spin: entier pour la force, demi-entier pour la matière. Dans le second cas, la limite classique nécessite de travailler dans une catégorie de supervariétés. Dans cet exposé, nous commencerons par définir l’extension naturelle de la mécanique classique d’une particule aux supervariétés, puis nous procéderons à  sa quantification. La mécanique quantique supersymétrique ainsi obtenue fournit un cadre naturel qui permet d’établir, ne serait-ce qu’à  un niveau heuristique, la formule de Atiyah-Singer donnant l’indice de l’opérateur de Dirac. Après une brève discussion des notions requises, nous tenterons de présenter les arguments, remontant à  Witten, qui mènent à  la formule de l’indice, en se basant sur la localisation d’une intégrale de chemin dans la supervariété des lacets.

In this talk, I will explain a joint work with Carey, Rennie and Sukochev, where we prove a local index formula for non-unital semi-finite spectral triples. Coverings of manifolds of bounded geometry, group actions on $C^*$-algebras, Moyal plane, provide examples.

Nous rappellerons certains résultats classiques (Ricci, Calabi, Lawson) concernant l’existence et l’unicité d’immersions isométriques à  courbure moyenne constante d’une surface riemannienne dans une variété riemannienne de dimension 3 à  courbure moyenne constante. Nous nous intéresserons ensuite à  des extensions de ces résultats dans d’autres variétés riemanniennes homogènes de dimension 3.

Les frises de nombres sont des constructions algébriques introduites et étudiées par Coxeter au début des années 70. Coxeter établit des propriétés étonnantes en lien avec des objets classiques de la théorie des nombres ou encore de la géométrie projective. Les frises connaissent un regain d’intérêt ces dernières années dà» à  des connections avec la théorie des algèbres amassées de Fomin-Zelevinsky. Dans cet exposé on présentera les frises de Coxeter et leurs généralisations, et l’on expliquera comment les espaces de frises s’identifient avec des espaces de modules de points dans les espaces projectifs. On s’intéressera plus particulièrement au cas des frises symplectiques et des configurations Lagrangiennes de points.

Sur un espace symétrique lorentzien, on définit les intégrales orbitales d’une fonction continue à  support compact comme les intégrales sur les orbites du groupe d’isotropies dans le groupe des transvections. Le problème qui sera abordé lors de cet exposé est d’exprimer la fonction en termes de ses intégrales orbitales. Lorsque l’espace symétrique lorentzien est à  courbure sectionnelle constante, les orbites du groupe d’isotropies sont les pseudo-sphères et le problème décrit ci-dessus a été résolu par S. Helgason en 1959 dans le cas de dimension paire. La solution prend la forme d’une formule-limite faisant intervenir l’opérateur de Laplace-Beltrami. En 1987, J. Orloff généralisa le résultat de S. Helgason à  tous les espaces symétriques pseudo-riemanniens semi-simples de rang un, comprenant les espaces symétriques lorentziens à  courbure sectionnelle constante de dimension impaire. Grâce à  M. Cahen et N. Wallach, on sait que les espaces symétriques lorentziens indécomposables ont un groupe de transvections qui est soit semi-simple, soit résoluble. Les espaces semi-simples sont à  courbure sectionnelle constante. Dès lors, le problème décrit ci-dessus est déjà  résolu sur ceux-ci. Durant l’exposé, je présenterai des espaces modèles du cas résoluble que l’on appelle les « espaces de Cahen-Wallach » et j’expliquerai comment exprimer une fonction en termes de ses intégrales orbitales sur ces espaces. La solution prend également la forme d’une formule-limite faisant intervenir des opérateurs différentiels invariants.

Les groupoïdes de Lie sont des objets qui font le lien entre les variétés différentiables et les groupes de Lie, qui en sont des cas particuliers. Nous allons décrire la structure de Poisson sur le dual de l’algébroïde de Lie d’un groupoïde de Lie G, et formuler une conjecture de type Kirillov reliant l’espace des feuilles symplectiques de cette variété de Poisson avec les représentations unitaires de la C^*-algèbre de G. Nous illustrerons ce principe à  l’aide de quelques exemples.

Supermanifolds are a generalisation of ordinary manifolds that incorporates anti-commutative coordinates. Within the various equivalent definitions of supermanifolds, the so-called categorical approach is best equipped to deal with infinite-dimensional situations. Despite this, it has remained relatively obscure, in part due to its high level of abstraction. We present an introduction that is as close as possible to ordinary differential geometry. The theory of Lie supergroups can then be understood in terms of ordinary Lie groups. We give some important structural results for Lie supergroups, including the equivalence to super Harish-Chandra pairs for arbitrary locally convex Lie supergroups.

L’étude des feuilletages singuliers subit un regain d’intérêt ces dernières années. Cela est en partie dà» aux résultats récents de Lavau/Laurent-Gengoux/Strobl (L-L-G-S) qui ont permis d’utiliser les algébroïdes de Lie à  homotopie près pour étudier de tels feuilletages. Le but de cet exposé est de présenter un travail en commun avec Rigel Juarez qui permet de retrouver des résultats du type de ceux de L-L-G-S comme un corollaire à  l’existence d’une structure de catégorie de semi-modèles sur la catégorie des algèbres de Lie-Rinehart à  homotopie près.

Je vais présenter une méthode qui réduit la détermination du spectre essentiel d’un opérateur engendré par une certaine algèbre de Lie de champs de vecteurs au calcul des spectres de certains opérateurs plus simples. Ce résultat généralise des résultats comme le théorème HVZ sur le spectre essentiel des opérateurs Hamiltoniens en mécanique quantique et des résultats de Melrose-Mendoza. Les opérateurs « plus simples » sont invariants par rapport à  certains groupes de Lie, donc leur étude se fait en utilisant des outils de l’analyse harmonique sur les groupes de Lie. Des résultats liés ont été obtenus par Debord, Côme, Lescure, Monthubert, Mougel, Prudhon, Skandalis et d’autres chercheurs.