Cet exposé est lié à  l’étude des algèbres de Hall cohomologiques associées à  certaines variétés de représentations de carquois. Celles-ci suscitent un intérêt grandissant dans des domaines connexes à  la théorie des cordes, contexte dans lequel il est important de considérer des carquois arbitraires, comme par exemple le carquois à  un sommet et g boucles (on sait son étude reliée à  celle des courbes de genre g). La première difficulté dans le cas des carquois arbitraires consiste à  définir des analogues des variétés nilpotentes de Lusztig. Il est en effet nécessaire de considérer des représentations dites semi-nilpotentes dans le cas général pour obtenir des sous-variétés Lagrangiennes.
Dans une collaboration avec Schiffmann et Vasserot, on réalise le décompte des points de ces variétés sur les corps finis, qui est relié à  des analogues des polynômes de Kac. Ce décompte repose largement sur l’étude pointue de variétés carquois de Nakajima, qui jouent ici le rôle de compactifications.
Ce décompte permet en fait de calculer le polynôme de Poincaré de l’algèbre de Hall cohomologique associée à  ces variétés semi-nilpotentes

Je parlerai d’un travail en collaboration avec Nicolas Tholozan, dans lequel nous étudions une classe particulière de représentations du groupe fondamental des sphères épointées dans le groupe $text{PSL}(2, mathbb R)$, que nous appelons supra-maximales. Bien qu’elles soient pour la plupart Zariski denses, nous montrons qu’elles sont totalement non-hyperboliques, au sens o๠l’image de toute courbe fermée simple est elliptique ou parabolique. Nous montrons aussi qu’elles sont géométrisables (hormis celles qui sont réductibles) en un sens très fort : pour tout élément de l’espace de Teichmà¼ller, il existe une unique application équivariante holomorphe à  valeurs dans le demi-plan inférieur. Nous montrons également que les représentations supra-maximales forment des composantes compactes des variétés de caractère relatives. Muni de la structure symplectique de Atiyah-Bott-Goldman, ces composantes sont symplectomorphes à  l’espace projectif complexe muni d’un multiple de la forme de Fubini-Study que nous calculons explicitement. Cela généralise un résultat de Benedetto-Goldman pour la sphère à  quatre trous.

Le but de cet exposé est d’esquisser quelques résultats récents sur le comportement du flot de Yang-Mills des connexions intégrables sur une variété kählérienne. Notamment, j’expliquerai les éléments essentiels de la preuve d’une conjecture de Bando et Siu pour des fibrés holomorphes non-stables. La formation asymptotiques de singularités dans le flot admet une correspondance exacte avec les singularités de la filtration de Harder-
Narasimhan. Au passage, je poserai quelques questions concernant la structure des espaces de modules.

Félix le chat est célèbre pour son sac à  malice, qui contient beaucoup plus de grands objets que son aspect extérieur ne laisse supposer. Le but de l’exposé est d’expliquer une construction d’un sac à  malice (une boule riemannienne de grand volume et petit bord) à  courbure négative, qui est un contre-exemple à  deux questions naturelles, l’une isopérimétrique, l’autre sur les extensions complètes.
(Collaboration avec Greg Kuperberg – UC Davis)

Etant donnée une surface compacte avec un bord non vide, nous traiterons de la question suivante : existe-t-il une métrique riemannienne régulière qui maximise la k-ème valeur propre de Steklov sur cette surface ? Nous donnerons également le lien entre ce problème et celui de l’existence de surfaces minimales à  bord libre dans une boule.

On montrera notamment la présentation de Borel de la cohomologie équivariante des variétés de drapeaux.