Dans l’étude des structures géométriques sur une variété, on est souvent amené à  étudier l’espace des représentations de son groupe fondamental $Gamma$ à  valeurs dans un groupe de Lie donné. Lorsque ce groupe est SL(n,$mathbb C$), on dispose de la variété des caractères, qui est un objet algébrique permettant cette étude. Après avoir donné la définition et quelques propriétés de la variété des caractères pour SL(n,$mathbb C$), nous proposerons une définition de « variété de caractères pour une forme réelle » $G$ de SL(n,$mathbb C$), et nous vérifierons qu’elle permet bien l’étude des représentations de $Gamma$ à  valeurs dans $G$ à  conjugaison près.

Soit $M$ une variété de dimension 3 et $G$ son groupe fondamental. La recherche
d’éventuelles structures hyperboliques sur $M$ amène naturellement à  étudier l’espace
des représentations de $G$ dans SL(2,$mathbb C$) ou plutôt la variété des caractères
(espace des représentations modulo conjugaison).

On peut définir sur cette variété de caractère une fonction Volume, qui étend le
volume hyperbolique. Nous verrons comment l’étude des propriétés de cette
fonction renseigne sur la variété des caractères elle-même.

Un théorème de Zimmer des années 1980 assure qu’à  isomorphisme local près, SL(2,$mathbb R$) est le seul groupe de Lie simple et non-compact agissant isométriquement sur des variétés lorentziennes de volume fini. Peu après, Gromov caractérisait la géométrie des variétés sur lesquelles de telles dynamiques se produisent. Dans cet exposé, je m’intéresserai au problème analogue pour des actions conformes de groupes de Lie semi-simples. Une plus grande famille de groupes apparaît, et certains d’entre eux agissent sur de nombreuses variétés non-conformément équivalentes. Néanmoins, nous verrons que la géométrie locale est prescrite par l’existence d’un groupe simple non compact de transformations conformes. Ceci découlera d’une analyse de la dynamique de flots hyperboliques du groupe. J’expliquerai en quoi ceci a des implications sur la forme générale du groupe conforme d’une variété lorentzienne compacte.

Les paramétrages des sous-objets linéaires de l’espace projectif sont bien compris : un espace linéaire est représenté par les déterminants maximaux d’un système d’équations, et ces déterminants satisfont des équations de degré deux, dites de Plà¼cker. On se propose d’étendre une telle représentation à  tous les sous-schémas algébriques de l’espace projectif et de définir des équations à  la Plà¼cker pour le schéma de Hilbert. La méthode repose sur une nouvelle présentation du schéma de Hilbert comme quotient d’une variété de représentation de carquois.

We first explore in details a wide variety of examples of locally compact groups which arise in algebra, geometry, and dynamics. In particular, we discuss Lie groups over the reals and over the p-adic numbers, automorphism groups of locally finite trees, and almost automorphism groups of rooted trees. We go on to survey the general theory of locally compact groups.

B. Pasquier a décrit toutes les variétés horosphériques de Fano de nombre de Picard 1. Nous décrirons la géométrie de ces variétés et en particulier les propriétés de leurs courbes rationnelles, leur cohomologie et leur cohomologie quantique (travail en commun avec R. Gonzales, C. Pech et A. Samokhine) .

Nous ferons des rappels sur le thème de la compactification des immeubles des groupes semi-simples sur les corps locaux. Dans le cas d’un groupe déployé, on peut identifier de façon équivariante la compactification de Satake-Berkovich maximale de l’immeuble euclidien correspondant, avec la compactification obtenue en plongeant l’immeuble dans l’espace de Berkovich associé à  la compactification maximale du groupe. La relation entre les structures à  l’infini, l’une provenant des strates de la compactification magnifique et l’autre des immeubles de Bruhat-Tits des facteurs de Lévi, peut être décrite. C’est un travail en commun avec A. Thuillier et A. Werner.

En faisant un petit calcul concret, on essaiera de convaincre l’audience que l’idée de considérer les orbifolds comme des champs n’est pas une lubie, mais apporte des outils pertinents, d’après arXiv:1611.09178.

Soit $E$ un fibré plat de rang $r$ au-dessus d’une variété kählérienne compacte. On peut définir le spectre de Lyapunov de $E$ : c’est un ensemble de $r$ exposants réels contrôlant la croissance des sections plates de E, le long de trajectoires browniennes.
J’expliquerai comment calculer ces exposants, en utilisant la notion de mesure harmonique sur un espace feuilleté. Je montrerai ensuite une inégalité reliant ces nombres aux degrés des sous-fibrés holomorphes de $E$, puis je discuterai du cas d’égalité.