Séminaires

Une structure réelle sur une variété projective complexe $X$ est une involution antiholomorphe sur cette variété. La donnée d’une telle structure équivaut à  la donnée d’une variété réelle $X_0$ dont la complexification est isomorphe à  $X$ (on dit alors que $X_0$ est une forme réelle de $X$).
Le but de cet exposé est de montrer comment l’étude des groupes d’automorphismes des éclatés du plan projectif complexe peut être utilisée en vue de donner des éléments de réponse à  la question de la finitude du nombre de classes d’équivalence de structures réelles sur ces éclatés, i.e. la finitude du nombre de leurs formes réelles à  isomorphisme près.

This talk will describe various examples of surface groups in SO(4,1) in terms of fundamental domain of its action on S^3. This includes the first examples by Gromov-Lawson-Thurston, and new examples. We will also look at the quotient 3 manifolds which are circle bundles over closed surfaces and a proof of a soft bound on the Euler number of such circle bundles.

Dans un travail en commun avec J. Pereira, F. Loray et F. Touzet, nous nous intéressons aux feuilletages de codimension un (sur une variété kählérienne compacte ou même projective) ayant au moins une feuille compacte. Cette feuille est alors une hypersurface plongée dans la variété ambiante dont le fibré normal est topologiquement de torsion et une partie importante de l’information sur la structure transverse du feuilletage est contenue dans la représentation d’holonomie. Nous abordons en particulier les problèmes suivants : existence de feuilletages ayant pour feuille une hypersurface donnée, feuilletages ayant une holonomie abélienne et résultats de factorisation. La plupart des résultats que nous obtenons en réponse à  ces problèmes s’énoncent en termes de théorie d’Ueda et cet exposé sera également l’occasion d’un bref survol de cette dernière.

Ceci sera la dernière séance du groupe de travail. Un workshop sur le même sujet est prévu à  Dijon, les 7 et 8 avril prochains.

Les exposés porteront sur le théorème de décomposition, à  nouveau un peu sur le yoga des poids, sur certaines descriptions des faisceaux pervers par des carquois, et sur des applications du théorème de décomposition.

In a joint work with Mikaela Pilca (University of Regensburg-Germany), we establish a lower bound for the first eigenvalue of the Spin$^c$ Dirac operator defined on a Kähler-Einstein manifold $M$ of positive scalar curvature. This lower bound involves the index of $M$, its scalar curvature and an integer defining the Spin$^c$ structure. The limiting case is characterized by the existence of special spinor fields called Kählerian Killing spinors. As a geometric application of the limiting case, we prove that the only harmonic complex forms of type $(k, k)$ ($k>0$) on Kähler-Einstein manifolds admitting a complex contact structure are the constant multiples of the Kähler form.

On regarde des convexes dans R^{d+1} (muni de sa métrique Lorentzienne standard) tels que l’application de Gauss soit surjective sur l’espace hyperbolique. Comme pour les corps convexes, on peut définir des mesures d’aires pour ces convexes, et étudier des problèmes de mesure prescrite. Une classe d’exemples de tels convexe vient de variétés lorentziennes plates étudiées en relativité générale. Dans Minkowski, cela se donne des convexes invariants pour l’action de certains groupes d’isométries. On étudiera le problème de Minkowski (prescription de l’aire) pour ces convexes. Travaux partiellement en commun avec Francesco Bonsante et Giona Veronelli.

I will talk about two related projects, applying recent methods in Kähler geometry to some questions in physics. First, I will explain, how to use the sections of positive line bundle on Riemann surfaces and on Kahler manifolds to construct Laughlin wave functions for integer and fractional Quantum Hall effect and compute their scaling limits for large number of particles. Second, I will talk about a proposal to define statistical sums over geometries, using the approach of random Bergman metrics.

La théorie des densités des courants positifs fermés est une extension
de la notion de multiplicité pour les variétés, ou de nombre de Lelong pour les courants.
Les densités sont des classes de cohomologie associées aux courants tangents, à  un courant donné,
le long d’une sous variété complexe.Ces classes vivent dans le fibré normal à  la sous variété et décrivent les propriétés tangentielles du courant.
La notion est utile pour développer une théorie des intersections non-génériques.Comme application on obtient le Théorème suivant.
Soit f un automorphisme polynomial régulier de C^k. Les points périodiques de type selle
s’equidistribuent selon la mesure d’équilibre de f.
Il s’agit d’un travail en collaboration avec T.C Dinh.

L’étude du flot de Ricci passe très souvent par la compréhension des conditions de positivité sur le tenseur de courbure qui sont stables sous l’action du flot de Ricci. Un principe du du maximum dà» à  Hamilton montre que l’étude des ces « conditions invariantes » revient à  l’étude de certains cônes invariants sous le flot d’un champ de vecteur sur l’espace des « opérateur de courbure algébriques ». Dans l’exposé on verra des résultats montrant certaines restrictions sur la taille de ces cônes invariants, en particulier ils ne peuvent pas contenir dans leur intérieur l’opérateur de courbure de CP^n, à  l’exception cône des opérateurs à  courbure scalaire positive.

Soit G un graphe plongé dans la sphère. Quand est-ce que G est le 1-squelette d’un polyèdre inscrit dans un hyperboloide à  une nappe ? On montrera que c’est le cas si et seulement si G est le 1-squelette d’un polyèdre inscrit dans la sphère et qu’il a un cycle hamiltonien. La preuve repose sur la description des angles dièdres des polyèdres idéaux dans l’espace anti-de Sitter. Un résultat analogue s’applique aux polyèdres inscrits dans un cylindre, en relation avec une géométrie « transitionnelle » entre hyperbolique et anti-de Sitter. Travail en commun avec Jeff Danciger et Sara Maloni.