Séminaires

Nous présenterons notre solution à  la partie qualitative et notre solution partielle à  la partie quantitative de la conjecture de Demailly des inégalités de Morse transcendantes pour une différence de deux classes nef sur une variété kählérienne compacte. En plus d’estimations des solutions de certaines équations de Monge-Ampère, la méthode utilise la dualité entre la cohomologie de Bott-Chern et celle d’Aeppli de bidegré complémentaire, ainsi que la dualité entre le cône pseudoeffectif des classes de Bott-Chern de $(1, 1)$-courants positifs fermés introduit par Demailly et le cône de Gauduchon des classes d’Aeppli de bidegré $(n-1, n-1)$ de métriques de Gauduchon que nous avons introduit.

Une des façons de comprendre une action de groupe consiste à  étudier les actions induites sur les n-uplets de points distincts. Ceci permet de produire d’autres actions du même groupe aux propriétés (récurrence, minimalité, ergodicité…) différentes. Par exemple, étant donné un groupe qui agit sur le cercle par difféomorphismes, on peut se demander si l’action sur les paires de points préserve une forme d’aire. Nous verrons que cette situation intervient naturellement dans l’étude des groupes d’isométries de certaines surfaces lorentziennes. Après avoir vu que dans ce cas il existe toujours un homéomorphisme du cercle qui conjugue l’action à  l’action projective d’un sous-groupe de PSL(2,R), nous étudierons la possibilité d’avoir une conjugaison par difféomorphisme.

Je présenterai le résultat suivant obtenu en collaboration avec
Andreas Höring : soit $X$ une variété de Fano, lisse et telle que
$-K_X cdot C geq dim X$ pour toute courbe rationnelle $C subset
X$. Alors $X$ est un espace projectif ou une hypersurface
quadrique.

L’exposé est une variation autour d’un théorème de M. Gromov, affirmant qu’une structure géométrique rigide dont le groupe des automorphismes admet une orbite dense, doit être localement homogène sur un ouvert dense. Nous discuterons comment ces conclusions peuvent être renforcées dans le cadre des variétés lorentziennes de dimension 3.

Dans ce travail en commun avec Jean-Pierre Demailly, nous montrons que toute variété presque complexe compacte lisse peut être plongée dans une variété algébrique complexe, transversalement à  une distribution algébrique.

Dans cet exposé je m’intéresserai aux croissances et suites de degrés des automorphismes polynomiaux de $mathbb{C}^n$ et des transformations birationnelles de $mathbb{P}^n_{mathbb{C}}$.

En 1877 Schottky a construit des actions libres et propres du
groupe libre de rang $r$ sur un domaine de la sphère de Riemann qui ont pour quotient une surface de Riemann compacte de genre $r$.
En 1984 Nori a généralisé cette construction à  tout espace projectif complexe de dimension impaire dans le but d’obtenir des variétés complexes compactes dont le groupe fondamental est libre. Là¡russon ainsi que Seade et Verjovsky ont étudié des propriétés analytiques et géométriques de ces variétés quotients, comme leur dimensions algébrique
et de Kodaira, et leurs déformations. Je parlerai d’un travail récent avec Karl Oeljeklaus (Aix-Marseille Université) o๠nous avons considéré la question aux quelles variétés rationnelles homogènes on peut généraliser la construction de Nori. De plus, j’expliquerai les résultats que nous avons obtenus sur la géométrie des nouveaux exemples de variétés quotients.

Une forme de Clifford–Klein compacte d’un espace homogène $G/H$ est un quotient de cet espace par un sous-groupe discret $Gamma$ de $G$ agissant proprement discontinà»ment et cocompactement sur $G/H$. Lorsque $G$ et $H$ sont semi-simples, l’action de $G$ sur $G/H$ préserve une métrique pseudo-riemannienne, et en particulier une forme volume. J’expliquerai pourquoi le volume d’une forme de Clifford–Klein compacte $Gamma backslash G/H$ peut se calculer en intégrant sur la classe fondamentale de $Gamma$ une forme $G$-invariante $omega_H$ sur l’espace symétrique riemannien $G/K$. Dans plusieurs cas, cela permet de montrer que ce volume est rigide. De plus, ce résultat fournit une nouvelle obstruction à  l’existence de quotients compacts de certains espaces homogènes.

Claire Voisin a récemment proposé une nouvelle approche pour l’étude du groupe de Chow des 0-cycles sur les variétés holomorphes symplectiques. Les objets clé dans cette approche sont les sous-variétés coisotropes de telles variétés. Dans l’exposé je présenterai des résultats portant sur l’existence et la théorie des déformations de sous-variétés coisotropes des variétés holomorphes symplectiques, obtenus dans une séries de travaux en collaboration avec F. Charles, Ch. Lehn et G. Mongardi.

La conjecture de la négativité bornée a été formulée par l’école italienne dès le début de la théorie des surfaces algébriques. Elle prévoit que pour une surface projective complexe lisse X, il existe une constante b telle que pour toute courbe C (réduite) sur X l’auto-intersection de C vérifie C^2 >b.
Même si on sait que cette conjecture est vérifiée par une surface donnée (par exemple le plan), on ne sait en général rien dire pour un éclatement (multiple) de cette surface. Les constantes de Harbourne ont été récemment introduites pour aborder cette question.
Dans cette exposé nous ferons le point sur les connaissances actuelles et présenterons nos résultats sur les surfaces abéliennes contenant des courbes elliptiques.