Formalisme thermodynamique à basse température, dynamique symbolique et quasi-cristaux

L’étude de modèles simples de physique statistique sur le réseau $\mathbb{Z}^d$, visant à comprendre la transition du désordre vers un ordre périodique ou quasi-périodique quand la température est suffisamment basse, nécessite une interconnexion entre le formalisme des mesures de Gibbs et des états d’équilibre, la dynamique symbolique multidimensionnelle, les pavages et l’informatique théorique. En particulier, des espaces associés aux marginales finies-dimensionnelles des mesures invariantes par décalage apparaissent et possèdent une étonnante richesse. Cet exposé se propose de présenter un panorama introductif de ce domaine de recherche.

Après une introduction intuitive de la géométrie birationnelle, j’expliquerai comment celle-ci peut devenir plus simple sur des variétés munies de l’action d’un groupe réductif. Je définirai ensuite les grandes lignes du programme des modèles minimaux, et je détaillerai comment décrire et faire tourner ce programme dans le cadre de familles « bien choisies » de variétés munies de l’action d’un groupe réductif, à  l’aide des représentations du groupe.

Cet exposé est à  propos d’un travail en cours avec Jérémy Blanc (Bâle) et Andrea Fanelli (Bâle). Le groupe de Cremona est le groupe des transformations birationnelles de l’espace projectif complexe de dimension n. Ce groupe n’est pas algébrique dès lors que n>1, mais on peut espérer (au moins lorsque n est petit) classifier ses sous-groupes connexes algébriques maximaux.

En dimension 2, la classification est ancienne et bien connue (F. Enriques, 1893). En dimension 3, la première étude rigoureuse fà»t effectuée par H. Umemura dans les années 1980 dans une série de cinq papiers (plutôt longs et techniques).

Dans cet exposé, j’expliquerai comment on peut espérer redémontrer les résultats d’Umemura d’une façon beaucoup plus simple et géométrique à  l’aide (d’un usage élémentaire) de la théorie de Mori. Je terminerai en discutant plusieurs généralisations possibles des résultats d’Umemura via cette nouvelle approche.

Nous présenterons dans cet exposé un certain nombre de résultats appartenant au domaine de la topologie quantitative, dont un exemple classique est la géométrie systolique, branche de la géométrie métrique étudiant des inégalités de type isopérimétrique sur les variétés riemanniennes fermées. Des résultats récents montrent en particulier que ces inégalités sont reliées à  la géométrie symplectique, la géométrie convexe ainsi que la théorie des nombres, et permettent d’éclairer leur caractère fondamental déjà  souligné par R. Thom.

Nous présenterons notre solution à  la partie qualitative et notre solution partielle à  la partie quantitative de la conjecture de Demailly des inégalités de Morse transcendantes pour une différence de deux classes nef sur une variété kählérienne compacte. En plus d’estimations des solutions de certaines équations de Monge-Ampère, la méthode utilise la dualité entre la cohomologie de Bott-Chern et celle d’Aeppli de bidegré complémentaire, ainsi que la dualité entre le cône pseudoeffectif des classes de Bott-Chern de $(1, 1)$-courants positifs fermés introduit par Demailly et le cône de Gauduchon des classes d’Aeppli de bidegré $(n-1, n-1)$ de métriques de Gauduchon que nous avons introduit.

Une des façons de comprendre une action de groupe consiste à  étudier les actions induites sur les n-uplets de points distincts. Ceci permet de produire d’autres actions du même groupe aux propriétés (récurrence, minimalité, ergodicité…) différentes. Par exemple, étant donné un groupe qui agit sur le cercle par difféomorphismes, on peut se demander si l’action sur les paires de points préserve une forme d’aire. Nous verrons que cette situation intervient naturellement dans l’étude des groupes d’isométries de certaines surfaces lorentziennes. Après avoir vu que dans ce cas il existe toujours un homéomorphisme du cercle qui conjugue l’action à  l’action projective d’un sous-groupe de PSL(2,R), nous étudierons la possibilité d’avoir une conjugaison par difféomorphisme.

Je présenterai le résultat suivant obtenu en collaboration avec
Andreas Höring : soit $X$ une variété de Fano, lisse et telle que
$-K_X cdot C geq dim X$ pour toute courbe rationnelle $C subset
X$. Alors $X$ est un espace projectif ou une hypersurface
quadrique.

L’exposé est une variation autour d’un théorème de M. Gromov, affirmant qu’une structure géométrique rigide dont le groupe des automorphismes admet une orbite dense, doit être localement homogène sur un ouvert dense. Nous discuterons comment ces conclusions peuvent être renforcées dans le cadre des variétés lorentziennes de dimension 3.

Dans ce travail en commun avec Jean-Pierre Demailly, nous montrons que toute variété presque complexe compacte lisse peut être plongée dans une variété algébrique complexe, transversalement à  une distribution algébrique.

Dans cet exposé je m’intéresserai aux croissances et suites de degrés des automorphismes polynomiaux de $mathbb{C}^n$ et des transformations birationnelles de $mathbb{P}^n_{mathbb{C}}$.

En 1877 Schottky a construit des actions libres et propres du
groupe libre de rang $r$ sur un domaine de la sphère de Riemann qui ont pour quotient une surface de Riemann compacte de genre $r$.
En 1984 Nori a généralisé cette construction à  tout espace projectif complexe de dimension impaire dans le but d’obtenir des variétés complexes compactes dont le groupe fondamental est libre. Là¡russon ainsi que Seade et Verjovsky ont étudié des propriétés analytiques et géométriques de ces variétés quotients, comme leur dimensions algébrique
et de Kodaira, et leurs déformations. Je parlerai d’un travail récent avec Karl Oeljeklaus (Aix-Marseille Université) o๠nous avons considéré la question aux quelles variétés rationnelles homogènes on peut généraliser la construction de Nori. De plus, j’expliquerai les résultats que nous avons obtenus sur la géométrie des nouveaux exemples de variétés quotients.