Séminaires

Dans cet exposé on va d’abord introduire une classe d’espaces métriques singuliers, les espaces stratifiés, qui généralisent la notion de singularité conique isolée et ont été étudiés des points de vue topologique et analytique. On va définir une notion de courbure minorée dans ces espaces et montrer comment cela entraîne une borne inférieure pour le spectre du laplacien ; dans le cas o๠cette borne est atteinte on obtient un théorème de rigidité qui, restreint aux variétés compactes lisses, redémontre le théorème d’Obata-Lichnerowicz. La dernière partie de l’exposé sera dédiée aux conséquences de ces résultats sur l’existence d’une métrique à  courbure scalaire constante dans un espace stratifié.

Les objets de l’exposé sont les groupes algébriques commutatifs
sur un corps arbitraire. Leur structure est bien comprise lorsqu’on
se restreint aux groupes linéaires sur le corps des complexes, mais le
cas général est beaucoup plus compliqué dès la dimension 2. L’exposé
présentera des résultats classiques et récents sur la catégorie abélienne
formée des groupes algébriques commutatifs et de leurs morphismes ;
on développera l’analogie avec la catégorie des faisceaux cohérents
sur une variété algébrique.

On s’intéresse aux surfaces minimales orientables, non planes, dont le bord est contenu dans deux plans horizontaux donnés et dont toutes les sections horizontales ont la même orientation. On montre que, dans cet ensemble de surfaces, le minimum de l’aire est réalisé par une caténoïde stable-instable. C’est un travail en commun avec J. Choe.

Hilbert a démontré qu’un polynôme réel en deux variables qui prend des valeurs positives est somme de quatre carrés de fractions rationnelles. Cassels, Ellison et Pfister ont montré que ce résultat est optimal : il existe de tels polynômes qui ne sont pas sommes de trois carrés de fractions rationnelles. Dans cet exposé, nous expliquerons pourquoi les polynômes qui peuvent s’écrire comme sommes de trois carrés sont denses dans l’ensemble de ceux qui sont positifs.