Séminaire et Groupe de Travail « Probabilités et statistiques » — Archive 2025

L’orateur du seminaire donnera un exposé introductif sur les processus ponctuels de Gibbs avec interaction sommable (même à portée finie) basé sur le minicours https://arxiv.org/abs/1701.08105 

The Gibbs point processes (GPP) constitute a large class of point processes with interaction between the points. The interaction can be attractive, repulsive, depending on geometrical features whereas the null interaction is associated to the so-called Poisson point process. In a first part, we present several aspects of finite volume GPP defined on a bounded window in Rd. In a second part, we introduce the more complicated formalism of infinite volume GPP defined on the full space Rd. Existence, uniqueness and non-uniqueness of GPP are non-trivial questions which we will discuss in the talk. The DLR equations, the GNZ equations will be presented as well.

In this talk, we discuss the question of Gibbs point processes in R^d with pairwise interactions that are not integrable at infinity. A standard example is the Riesz potential of the form g(x)=1/|x|^s where s<d. This setting has a long history, notably because the case s=d-2 corresponds to the classical Coulomb potential, which arises from electrostatic theory. We will first address the existence of the process in the infinite volume regime when a neutralizing background is introduced (this model is known as Jellium in theoretical physics). Subsequently, we will discuss the rigidity of such point processes, specifically hyper-uniformity and number rigidity. We will provide a state-of-the-art review and present numerous conjectures and open problems.

(Exceptionnellement, le séminaire aura lieu à Metz et sera diffusé en visio en salle de conférence à Nancy.)

Dans cet exposé, je vais décrire comment étudier un modèle probabiliste sur le groupe unitaire U(N), motivé par la théorie de Yang–Mills, à l’aide de la théorie des représentations. Plus précisément, nous verrons que la fonction de partition du modèle admet un développement asymptotique dont les coefficients sont liés aux nombres de Hurwitz, et la démonstration passe par un couplage de partitions aléatoires q-uniformes. Travail en collaboration avec Mylène Maïda (Université de Lille).

Le calcul des rapports de constante de normalisation joue un rôle important dans la modélisation statistique. Deux exemples notables sont les tests d’hypothèses dans les modèles à variables latentes et la comparaison de modèles en statistique bayésienne. Dans ces deux cas, le rapport de vraisemblance et le facteur de Bayes sont définis comme le rapport des constantes de normalisation des distributions a posteriori. Nous proposons dans cet article une nouvelle méthodologie qui estime ce rapport en utilisant le principe de l’approximation stochastique. Notre estimateur est consistant et asymptotiquement gaussien. Sa variance asymptotique est plus faible que celle de l’estimateur populaire bridge sampling. En outre, il est beaucoup plus robuste lorsque les supports des deux distributions non normalisées considérées se chevauchent peu. Grâce à sa définition en ligne, notre procédure peut être intégrée dans un processus d’estimation dans les modèles à variables latentes, ce qui permet ainsi de réduire l’effort de calcul. Les performances de l’estimateur sont illustrées par une étude de simulation et comparées à celles de deux autres estimateurs : le ratio importance sampling et le bridge sampling.

In this work, the joint parametric estimation of the drift coefficient, the scale coefficient, and the jump activity index in stochastic differential equations driven by a symmetric stable Lévy process is considered based on high-frequency observations. Firstly, the LAMN property for the corresponding Euler-type scheme is proven, and lower bounds for the estimation risk in this setting are deduced. Therefore, when the approximation scheme experiment is asymptotically equivalent to the high-frequency observation of the solution of the considered stochastic differential equation, these bounds can be transferred. Secondly, since the maximum likelihood estimator can be time-consuming for large samples, an alternative Le Cam’s one-step procedure is proposed in the general setting. It is based on an initial guess estimator, which is a combination of generalized variations of the trajectory for the scale and the jump activity index parameters, and a maximum likelihood type estimator for the drift parameter. This proposed one-step procedure is shown to be fast, asymptotically normal, and even asymptotically efficient when the scale coefficient is constant. In addition, the performances in terms of asymptotic variance and computation time on samples of finite size are illustrated with simulations. This talk is based on joint work with Alexandre Brouste and Laurent Denis.

(Exposé en français.)

Dans cette présentation, nous nous intéressons aux processus à multiples retours à la moyenne. Nous aborderons l’estimation des paramètres du processus d’Ornstein-Uhlenbeck (OU), qui présente un retour à la moyenne. Pour cela, nous proposons un estimateur basé sur les observations du supremum, en utilisant une méthode de pseudo-vraisemblance. Nous démontrerons la consistance et la normalité asymptotique de cet estimateur et illustrerons son efficacité à l’aide de données simulées et réelles.
Nous évoquerons également brièvement le processus CKLS à seuil, qui présente plusieurs retours à la moyenne, en discutant des méthodes d’estimation des paramètres de dérive et de volatilité, ainsi que des avantages d’une modélisation multi-seuils.

Nous présenterons un test de rapport de vraisemblance pour détecter la présence d’une rupture faible dans la moyenne conditionnelle d’une classe de modèles CHARN.
Nous présenterons notre étude du comportement asymptotique de la statistique de test sous l’hypothèse nulle d’absence de rupture, et sous une suite d’alternatives locales de présence d’une rupture de faible amplitude.
Enfin, nous présenterons les résultats des simulations numériques que nous avons effectuées pour illustrer nos résultats théoriques.

De nombreuses structures combinatoires admettent, au sens large, une notion d’irréductibilité : les graphes peuvent être connexes, les permutations indécomposables, les polynômes irréductibles, etc. Nous nous intéressons à la probabilité qu’un tel objet pris au hasard soit irréductible, lorsque sa taille tend vers l’infini. Dans cet exposé, nous discutons de quelques méthodes qui nous permettent d’obtenir les asymptotiques pour cette probabilité de manière commune. Nous montrons que les coefficients apparaissant dans ces asymptotiques sont entiers et qu’ils peuvent être interprétés comme des suites de comptage d’autres classes combinatoires “ dérivées ”. De plus, nous obtenons certaines probabilités asymptotiques qu’un objet combinatoire aléatoire ait un nombre donné de composantes irréductibles. Nous appliquons notre approche aux graphes connexes, aux graphes orientés fortement connexes, aux tournois irréductibles, aux surfaces à petits carreaux, aux permutations indécomposables, aux couplages parfaits indécomposables, aux cartes combinatoires, etc. Enfin, à l’aide de la théorie des espèces, nous traitons également le modèle G(n,p) de Erdős–Rényi.

Cet exposé est basé sur les travaux en commun avec Thierry Monteil et Sergey Dovgal.

Dans cet exposé, je présenterai quelques travaux en cours avec Nicolas Fournier. Nous nous intéressons à des modèles simples décrivant le mouvement d’une particule dans un gaz. Une particule est alors représentée par un processus aléatoire décrivant sa position et sa vitesse et nous étudions le processus de position lorsque le taux de collision tend vers 0. Nous nous placerons dans le cas où l’équilibre (en vitesse) est à queue lourdes, et ne possède pas de moment d’ordre 2. Lorsque le processus de position n’est pas restreint à un domaine, et vit dans tout l’espace, il est assez clair que ce dernier converge en loi vers un processus $\alpha$-stable, lorsque le taux de collision tend vers 0. Nous étudions alors le cas où la particule est réfléchie dans un domaine convexe de la manière suivante : lorsqu’elle touche le bord du domaine, elle est “redémarrée” avec une vitesse dirigée vers l’intérieur du domaine, et distribuée selon une mesure de probabilité donnée. Nous montrons que la position de la particule converge en loi vers un processus $\alpha$-stable réfléchi dans le domaine. Après avoir introduit le modèle, j’expliquerai comment nous construisons le processus limite en “recollant” ses excursions, et je donnerai quelques éléments de preuve concernant la convergence en loi.

In this talk, we consider the problem of testing for the sphericity of a collection of random vectors. It is well known that in the classical elliptical model, testing for rotational symmetry of the underlying distribution is equivalent to testing that a scatter parameter is a multiple of the identity matrix. We consider the more general model of random vectors with elliptical directions introduced by R.H. Randles and present a few scenarios where testing for sphericity is still equivalent to testing that the scatter parameter is a multiple of the identity. These new scenarios include, for instance, non-classical settings where some dependence of a rather general form studied here for the first time may be present between observations. We study, under these new assumptions, the behavior of the classical spatial sign test and show that under certain mild assumptions, the test is asymptotically valid and has the same local asymptotic power as in the classical elliptical scenario. We then show that, contrary to some commonly held belief, the spatial sign test enjoys some local asymptotic optimality properties when it comes to testing for sphericity when the underlying distribution is strongly heavy-tailed.

(L’exposé sera en français, avec des slides en anglais.)

Un modèle classique de polytope aléatoire proposé par Renyi et Sulanke dans les années 60 consiste à fixer un corps convexe K de R^d, à y choisir n points aléatoires indépendants et uniformément distribués, et à en prendre l’enveloppe convexe K(n). L’asymptotique, pour d fixé et n tendant vers l’infini, du volume de K(n) a été reliée à l’analyse des corps flottants de K par Bárány et Larman dans les années 80. Certaines idées derrière ce lien ont été généralisées dans le « théorème de l’epsilon-net » prouvé par Haussler et Welzl au début des années 90.

Je donnerai une introduction à ces notions, avec l’idée d’aborder lors d’une éventuelle seconde séance, un travail commun avec Imre Bárány, Matthieu Fradelizi, Alfredo Hubard et Günter Rote sur la généralisation du lien polytope aléatoire/corps flottant au cas où la mesure uniforme sur K est remplacée par une mesure plus générale (https://doi.org/10.5802/ahl.44).

Première de deux séances par le même orateur. La deuxième séance, qui devait avoir lieu la semaine prochaine, est anticipé à une date de la même semaine: possiblement le mercredi 2 avril. On fixera un creneaux pendant ce premier groupe de travail.

We study a system of partial differential equations (PDEs) with interconnected obstacles and Neumann-type boundary conditions on a smooth bounded domain D. This system is the Hamilton-Jacobi-Bellman system of equations associated with multidimensional switching problem in finite horizon when the state process is constrained to live in the domain D. We prove the existence of a unique continuous viscosity solution. The existence of a viscosity solution is obtained using a probabilistic approach which connects the system of PDEs to a system of backward stochastic differential equations, where randomness is constrained to stay in the domain D. The second main result consists in verifying the maximum principle, which ensures the comparison between any viscosity sub-solution and super-solution of the PDEs system. This guarantees the uniqueness and continuity of the solution.

Réunion d’équipe possible

Deuxième de deux séances.

Un modèle classique de polytope aléatoire proposé par Renyi et Sulanke dans les années 60 consiste à fixer un corps convexe K de R^d, à y choisir n points aléatoires indépendants et uniformément distribués, et à en prendre l’enveloppe convexe K(n). L’asymptotique, pour d fixé et n tendant vers l’infini, du volume de K(n) a été reliée à l’analyse des corps flottants de K par Bárány et Larman dans les années 80. Certaines idées derrière ce lien ont été généralisées dans le « théorème de l’epsilon-net » prouvé par Haussler et Welzl au début des années 90.

Je donnerai une introduction à ces notions, avec l’idée d’aborder lors d’une éventuelle seconde séance, un travail commun avec Imre Bárány, Matthieu Fradelizi, Alfredo Hubard et Günter Rote sur la généralisation du lien polytope aléatoire/corps flottant au cas où la mesure uniforme sur K est remplacée par une mesure plus générale (https://doi.org/10.5802/ahl.44).

What happens if we want to study the convergence of discontinuous real-valued stochastic processes, which is often the case for modelling purposes? For example, think of tracking the evolution of the population size of living species, where deaths are instantaneous negative jumps… In 1956, Skorokhod proposed a topology on the space of discontinuous functions, which is predominant today. The aim of this talk is to explain the simple and intuitive ideas underlying the construction of Skorokhod to facilitate its understanding, without going in the depth of technical proofs. If we have time, we will introduce measure-valued processes, with biological motivations, and explain how the Skorokhod construction can be generalized to more complex spaces such as these measure spaces.

Even if the present talk is self-contained, it can be seen as an introduction to the GdT of May, 22. I will also present my work about measure-valued processes during the GdT SIMBA of April, 24 (14h, Salle de Conférences). You are warmly welcome to attend one of these to discover some of my PhD research!

First, we introduce c`adl`ag measure-valued processes, with biological motivations. We focus on the
construction with Poisson point measures and the useful martingale properties it entails. Then, we
present a general convergence result for these measure-valued processes. We insist on the topological
difficulties encountered, related to Skorokhod spaces. Thus, even if it is self-contained, this talk can
be seen as a natural continuation of the GdT of May, 15.
Note that I also present this work during the GdT SIMBA on April, 24 (14h, Salle de Conf´erences),
with a focus on the new results we obtain compared to the existing literature. This is joint work with
Nicolas Champagnat and Coralie Fritsch