Nancy-Metz number theory seminar

Je proposerai une excursion aux “Fondements mathématiques” (dans le sens de l’intitulé d’une unité de notre L1 que j’étais amené à enseigner à Nancy pendant ces dernières années) : depuis le 19e siècle, la théorie des fondements des nombres et de l’analyse réels, et celle de la théorie des ensembles, se sont nourries mutuellement (Dedekind, Cantor,…). Au 20e siècle, cette interaction a pris un nouveau tournant : du coté théorie des ensembles, l’univers de von Neumann permet de sortir indemne de la “crise des fondements” ; du coté de la théorie des nombres, John Horton Conway proposa, dans son livre “On Numbers and Games” (connu sous le sigle ONAG), une nouvelle approche qui permet de voir les nombres réels dans un cadre beaucoup plus vaste de “tous les nombres” (“All Numbers Great and Small”). Le terme “nombres surréels”, crée par Donald Knuth dans son livre Surreal numbers – how two ex-students turned on to pure mathematics and found total happiness (qui est paru même avant ONAG), est un peu malheureux car il suggère une analogie avec le courant d’art de même nom, ce qui est trompeur. Dans cet exposé, je tenterai de vous expliquer que ces nombres sont aussi réels que tout objet mathématique vivant dans l’univers mathématique, et pour lequel l’univers de von Neumann fournit un modèle. Il s’agit d’un travail en cours, loin d’être terminé.

(Joint Work with Michele Serra.)

In his paper ” Automorphisms of fields of formal power series” (Bull. Am. Math. Soc. 50, 1944) Otto Schilling described the automorphism group of k((t)), the field of Laurent series with coefficients in a ground field k and exponents in the group of integers. In our paper “The automorphism group of a valued field of generalised formal power series” (J. Algebra 605, 2022) we generalise his results to the case when the exponents lie in an arbitrary abelian group. In particular, our results apply to a variety of such fields, e.g. to the field of Puiseux series, of multivariate rational functions, of multivariate Laurent series, or to the field of surreal numbers.
The talk will be self contained talk and geared towards a general audience.

Dans cet exposé, nous allons explorer certains chemins polygonaux, que nous appelons les ”chemins de Legendre”,  et qui encodent des informations sur les valeurs du symbole de Legendre modulo un nombre premier p. Plus précisément, le chemin de Legendre modulo p est défini comme étant le chemin polygonal dont les sommets sont aux points (j, S_p(j)) pour 0≤j≤p-1, où S_j(p) est la somme (normalisée) des valeurs du symbole de Legendre (n/p) pour n entre 0 et j. En effet, nous allons considérer les questions suivantes lorsqu’on varie le premier p : Quelle proportion du chemin est au dessus de l’axe des x ? Comment se comportent les pics de ces chemins ? Et finalement est ce que ces chemins possèdent une loi limite lorsque p→+∞? Nous allons découvrir que certaines de ces questions correspondent à des problèmes importants en théorie analytique des nombres, tels que l’étude de la taille du plus petit non-résidu quadratique, ainsi que du maximum des sommes de caractères de Dirichlet (dans l’esprit de l’inégalité de Pólya-Vinogradov). Parmi nos résultats, nous démontrons que lorsque le premier p varie entre Q et 2Q et Q →+∞, ces chemins convergent en loi, dans l’espace de Banach des fonctions continues sur [0,1], vers une certaine série de Fourier aléatoire dont les coefficients sont construits en utilisant les fonctions multiplicatives aléatoires de Rademacher. Ce dernier résultat est obtenu en collaboration avec Ayesha Hussain.

A lattice point $P\in\mathbb{Z}^k$ $(k\geq 2)$ is said to be visible if there is no other lattice point lying on the line segment joining $P$ and the origin. We study the distribution of generalized visible points (along curves) in random walk paths on $\mathbb{Z}^k$. This a joint work with Meijie Lu and Xianchang Meng.

Eta-theta quotients show up in numerous areas of mathematics and physics, as in string theory, the theory of black holes and the theory of theta blocks. In my talk I am going to talk about a joint project with Joshua Males, where we employ a variant of Wright’s Circle Method to determine the bivariate asymptotic behavior of Fourier coefficients for a wide class of eta-theta quotients with simple poles in the upper half-plane.

Dans un travail récent avec Sandro Bettin (Gênes) nous étudions dans un cadre général les applications $f:{\mathbb Q}\to{\mathbb C}$ qui satisfont des relations fonctionnelles du type suivant: pour tout $\gamma \in{\rm SL}(2,{\mathbb Z})$, la différence $h_{\gamma}(x) := f(\gamma x) – |cx + d|^{-k} f(x)$ est régulière en un certain sens. Ici $k$ est un nombre complexe. Les exemples naturels incluent notamment les intégrales d’Eichler de formes modulaires ou de formes de Maass, ou encore des sommes de cotangentes.
On s’intéressera plus particulièrement au cas $k\neq 0$, et à l’existence de fonctions limites permettant de prédire la répartition des valeurs prises par f sur des rationnels dont le dénominateur tend vers l’infini.

A lattice point $P\in\mathbb{Z}^k$ $(k\geq 2)$ is said to be visible if there is no other lattice point lying on the line segment joining $P$ and the origin. We study the distribution of generalized visible points (along curves) in random walk paths on $\mathbb{Z}^k$. This a joint work with Meijie Lu and Xianchang Meng.

Bourgain (2015) a estimé le nombre de nombres premiers avec une
proportion positive de chiffres préassignés en base 2. Nous
rappellerons tout d’abord une généralisation de ce résultat à toute
base $g\geq 2$. Nous présenterons ensuite un résultat plus récent pour
l’ensemble des carrés. Plus précisément, pour toute base $g\geq 2$,
nous obtenons une formule asymptotique pour le nombre de carrés avec
une proportion $c>0$ (explicite) de chiffres préassignés.

Notre preuve suit principalement la stratégie développée par Bourgain
pour les nombres premiers en base 2, avec de nouvelles difficultés
pour les carrés. Elle est fondée sur la méthode du cercle et combine
des techniques d’analyse harmonique avec les propriétés arithmétiques
des carrés et des majorations des sommes de Weyl quadratiques.

Soit $\varepsilon >0$. Soit $f$ une fonction multiplicative de Steinhaus ou Rademacher. Dans cet exposé nous montrons que presque sûrement
$$ \sum_{n \leqslant x} f(n) \ll \sqrt{x} (\log_2 x)^{\frac{1}{4}+ \varepsilon} $$
lorsque $x \to +\infty$. Grâce à la minoration de Harper, cela donne un majorant optimal des fluctuations de la quantité $\sum_{n \leqslant x} f(n)$ lorsque $x$ est très grand.

L’exposé aura pour objectif de présenter une synthèse des méthodes et résultats relatifs aux moyennes friables de fonctions arithmétiques, principalement, mais non exclusivement, multiplicatives. Dans ce cadre, des résultats récents, obtenus en collaboration avec Régis de la Bretèche, sont relatifs à des fonctions oscillantes dont la série de Dirichlet est analytiquement proche d’une puissance réelle négative de la fonction zêta de Riemann. Des applications seront décrites.

En 1853, Tchebychev a remarqué que, pour la plupart des réels $x\geq 2$, il y a une prédominance des nombres premiers $\leq x$ congrus à $3$ modulo $4$ par rapport aux nombres premiers $\leq x$ congrus à $1$ modulo $4$. Depuis, plusieurs généralisations de ce phénomène ont été étudiées, notamment dans le cas des courses de nombres premiers à plusieurs compétiteurs par Y. Lamzouri. Dans cette présentation, j’exposerai des résultats relatifs à la généralisation des travaux de Y. Lamzouri dans le contexte des anneaux de polynômes sur les corps finis. J’évoquerai également des résultats concernant les courses de polynômes irréductibles à 2 compétiteurs. En particulier, je donnerai des exemples de courses de polynômes irréductibles à 2 compétiteurs où les densités s’annulent.

Depuis leur introduction par Borel en 1909, les nombres normaux ont fait l’objet de nombreuses constructions diverses.
Si il n’existe aucune construction simple d’un nombre absolument normal, c’est à dire normal en toute base entière, différentes méthodes algorithmiques existent pour en générer.
Un grande partie du travail que j’ai effectué au cours de ma thèse a consisté en la fusion de deux algorithmes de construction de nombres normaux dans un plus grand ensemble de bases : le premier, par Madritsch, Scheerer et Tichy (2016) construit un nombre normal en toutes bases Pisot et le second, par Becher et Yujhtmann (2017) un nombre normal et toutes bases entières ainsi qu’en base fractions continues. Dans le cadre de cet exposé je présenterai le fonctionnement d’un algorithme de construction d’un nombre normal en bases Pisot et fractions continues, et traiterai de l’impact de la propagations de retenues en bases Pisot.