Nancy-Metz number theory seminar

Dans cet exposé, on étudie les courses de nombres premiers entre résidus et non-résidus quadratiques modulo q. Les nombres de Skewes généralisés désignent les premières valeurs pour lesquelles les résidus quadratiques devancent les non-résidus. Je présenterai un travail en collaboration avec A. Bailleul et T. Untrau dans lequel nous réfutons une conjecture de Fiorilli portant sur la taille de ces nombres. De plus, sous l’hypothèse de Riemann généralisée, ainsi qu’une hypothèse d’indépendance linéaire effective, nous établissons des bornes supérieures pour ces nombres en fonction de q.

Montgomery (1973) suggested an approach to study the pair correlation of nontrivial zeros of the Riemann zeta-function, and proved the corresponding asymptotic formula within a limited range assuming the Riemann Hypothesis (RH). The extended behavior remains a conjecture which implies the famous Pair Correlation Conjecture (PCC) for these zeros. In my previous work with Siegfred Alan C. Baluyot, Daniel Alan Goldston, and Caroline L. Turnage-Butterbaugh, we have showed how to remove RH in Montgomery’s pair correlation method and recover known results on the proportion of simple zeros under hypotheses weaker than RH. We have in addition obtained the proportion of zeros lying on the critical line, which we simply call critical zeros for brevity. Getting results on critical zeros is only achieved since we do not assume RH. We also recently noticed that these proportions can be further improved if we take further advantage of the feature that we “may” have zeros off the critical line.
In follow-up work with Daniel Goldston, Junghun Lee and Jordan Schettler, we showed that PCC without RH implies that asymptotically 100% of the zeros are simple and critical, thus RH is asymptotically true. We remark that our method also works with other pair correlation conjectures. In this talk, I would like to briefly introduce these results and our key ideas.

Dans son article `On a theorem of Jordan’, Serre considère la famille de polynômes $f_n(X) = X^n-X-1$ et la fonction qui compte le nombre de racines de $f_n$ dans le corps fini $F_p$ en tant que fonction de $p$. Il montre explicitement la ‘modularité’ de cette fonction pour $n=3,4$. Dans cet exposé, je parlerai d’un article en commun avec Alfio Fabio La Rosa et Chandrashekhar Khare dans lequel nous traitons le cas $n=5$ de plusieurs manières.

Dans le présent exposé, nous commençons par une introduction aux fonctions
génératrices et aux différentes méthodes permettant d’obtenir des formules
asymptotiques pour leurs coefficients. Après une excursion dans les nombres de
Fibonacci et les nombres catalans, nous introduisons les partitions d’entiers en
entiers. Autour de ce problème introductif, nous présentons la méthode du col et
ses applications. Ensuite, nous nous concentrons aux variants et des résultats récents. À la fin de l’exposé, nous présentons les travaux en cours
et des problèmes ouverts.

Dans cet exposé, nous présenterons une méthode simple et efficace, qui a ses origines dans les travaux de Baker et Montgomery, et qui permet de produire des changements de signe de sommes de certaines fonctions multiplicatives réelles. Nous illustrons ensuite deux applications aux sommes de caractères de Dirichlet quadratiques ainsi qu’aux sommes de fonctions multiplicatives aléatoires de Rademacher. Ceci est basé sur un travail en commun avec O. Klurman et M. Munsch.

In 1964, Hooley proved that for an irreducible polynomial $p$ in $\mathbb{Z}[x]$, the ratios $v/n$ for $v$ roots of the polynomial $p$ modulo $n$, are equidistributed modulo $1$. We prove joint equidistribution of these roots of polynomial congruences and polynomial values. As part of the proof, we generalize a result of Montgomery and Vaughan regarding exponential sums with multiplicative coefficients to the setting of Weyl sums.

La fonction Delta d’Erdős-Hooley mesure la concentration des diviseurs d’un entier dans un intervalle dyadique. Récemment, Ford Koukoulopoulos et Tao ont amélioré l’encadrement de l’ordre moyen de cette fonction dû à Hall et Tenenbaum. Nous expliquerons les idées nouvelles de ces auteurs et expliquerons comment dans un travail en collaboration avec Gérald Tenenbaum nous avons précisé leur encadrement.

Dans un travail en commun avec Régis de La Bretèche et Daniel Fiorilli, on considère certains moments pondérés correspondant à la distribution des substitutions de Frobenius dans les classes de conjugaison des groupes de Galois d’extensions normales des rationnels. La question s’inspire de résultats de Hooley et de progrès récents de La Bretèche–Fiorilli concernant les moments de la distribution des nombres premiers en progression arithmétique. Tout comme dans ces travaux antérieurs, nos résultats sont conditionnels à GRH et confirment que les moments considérés devraient être gaussiens. Si le temps le permet, nous mentionnerons une autre notion de moments pour laquelle certaines structures de groupes de Galois excluent un comportement gaussien.

Séminaire commun avec l’équipe Probabilités et Statistique.