Upcoming presentations
Un crible minorant effectif pour les entiers friables
Catégorie d'évènement : Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz Date/heure : 28 November 2024 14:30-15:30 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Adrien Mounier (Aix-Marseille Université) Résumé :Soient $\mathcal{A}$ un ensemble fini d’entiers naturels non-nuls et $y \geq 1$. Nous donnons une minoration effective du cardinal de l’ensemble $\{n\in\mathcal{A} ; p|n \Rightarrow p \leq y\}$ sous la condition d’une bonne connaissance du niveau de répartition de l’ensemble $\mathcal{A}$. Quelques conséquences seront ensuite abordées, dont une application aux valeurs friables de polynômes ou de formes binaires à coefficients entiers, puis une application aux entiers friables voisins.
Une version effective du théorème des nombres premiers de Lu
Catégorie d'évènement : Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz Date/heure : 5 December 2024 14:30-15:30 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Vincent Gozé (Université du Littoral Côte d'Opale) Résumé :Soit $\pi(x)$ le nombre de nombres premiers dans l’intervalle $[1,x]$. Nous savons depuis Euclide que $\pi(x)$ tend vers l’infini, mais à quelle vitesse ? La réponse à cette question fut obtenue pour la première fois en 1896 par Jacques Hadamard et Charles-Jean de la Vallée Poussin qui démontrèrent, de manière indépendante, le théorème des nombres premiers: \[\pi(x)\sim \frac{x}{\log x}\quad(x\to \infty).\]
La démonstration de Hadamard et La Vallée Poussin utilise principalement les propriétés de la fonction zêta de Riemann et donc l’analyse complexe. Ce n’est qu’en 1949 qu’Erdős et Selberg publièrent indépendamment la première démonstration élémentaire (utilisant uniquement l’analyse réelle) du théorème des nombres premiers. Dans cet exposé, nous présenterons le développement historique des démonstrations élémentaires du théorème des nombres premiers puis nous donnerons une version effective du théorème des nombres premiers de Lu qui, à ce jour, donne le meilleur terme d’erreur en utilisant des méthodes élémentaires.
Sur une généralisation des puissances d'un entier (``powered numbers''). Application à un problème additif.
Catégorie d'évènement : Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz Date/heure : 12 December 2024 14:30-15:30 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Olivier Robert (Institut Camille Jordan) Résumé :La notion de fonction puissance d’un nombre entier, introduite par Mazur (2000) fait intervenir le noyau (ou radical) d’un entier. Cette fonction lui permet de définir une généralisation des puissances (“powered numbers”). Après avoir rappelé des résultats récents sur le noyau d’un entier, nous présenterons des résultats nouveaux sur la fonction de répartition des puissances généralisées, ainsi que sur un problème additif concernant la représentation d’un entier comme somme de puissances généralisées. Ce travail a été réalisé en collaboration avec J. Brüdern.
Past presentations
Un théorème central limite pour les partitions des entiers en puissances petites
Catégorie d'évènement : Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz Date/heure : 24 March 2022 14:30-15:30 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Manfred Madritsch (IECL) Résumé :Sums of two squares are strongly biased towards quadratic residues
Catégorie d'évènement : Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz Date/heure : 17 March 2022 14:30-15:30 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Ofir Gorodetsky (University of Oxford) Résumé :Chebyshev famously observed empirically that more often than not, there are more primes of the form 3 mod 4 up to x than primes of the form 1 mod 4. This was confirmed theoretically much later by Rubinstein and Sarnak in a logarithmic density sense. Our understanding of this is conditional on the generalized Riemann Hypothesis as well as Linear Independence of the zeros of L-functions.
We investigate similar questions for sums of two squares in arithmetic progressions. We find a significantly stronger bias than in primes, which happens for almost all integers in a natural density sense. Because the bias is more pronounced, we do not need to assume Linear Independence of zeros, only a Chowla-type Conjecture on non-vanishing of L-functions at 1/2.
We’ll aim to be self-contained and define all the notions mentioned above during the talk. We shall review the origin of the bias in the case of primes and the work of Rubinstein and Sarnak. We’ll explain the main ideas behind the proof of the bias in the sums-of-squares setting.
Biais de Lemke Oliver et Soundararajan pour les sommes de deux carrés
Catégorie d'évènement : Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz Date/heure : 10 March 2022 14:30-15:30 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Lucile Devin (Université du Littoral Côte d'Opale) Résumé :Récemment, Lemke Oliver et Soundararajan ont observé d’importants biais dans la répartition de couples de nombres premiers consécutifs dans les progressions arithmétiques. Ils ont proposé un modèle heuristique basé sur la conjecture de Hardy–Littlewood qui explique très bien ces observations.
Nous discuterons la question analogue pour les nombres qui s’écrivent comme une somme de deux carrés d’entiers. Un biais semblable apparaît dans les données et nous développons un modèle heuristique similaire pour l’expliquer.
Travail joint avec Chantal David, Jungbae Nam et Jeremy Schlitt.
Gowers uniformity of thin subsets of primes
Catégorie d'évènement : Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz Date/heure : 3 March 2022 14:30-15:30 Lieu : Salle de séminaire de Théorie des Nombres virtuelle Oratrice ou orateur : Fernando Xuancheng Shao (University of Kentucky) Résumé :A celebrated theorem of Green-Tao asserts that the set of primes contains arbitrarily long arithmetic progressions. In fact, they count asymptotically the number of -term arithmetic progressions in primes up to a threshold. Their work involves discorrelation estimates between primes and nilsequences, which imply that the set of primes is Gowers uniform. In this talk I will discuss results of this type for primes restricted to short intervals and in arithmetic progressions. For example, we prove that the set of primes in with is Gowers uniform; we also prove that, for almost all , the set of primes up to in a coprime residue class is Gowers uniform. This is based on joint works with K. Matomäki, J. Teräväinen, T. Tao.
Zéros réels des polynômes de Fekete et applications
Catégorie d'évènement : Analyse et théorie des nombres Date/heure : 24 February 2022 14:30-15:30 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Youness Lamzouri (IECL) Résumé :Les polynômes de Fekete sont certains polynômes de type Littlewood dont les coefficients sont les valeurs du symbole de Legendre, ou plus généralement du symbole de Kronecker. Ces polynômes ont été considérés par Fekete afin d’étudier les zéros réels des fonctions L de Dirichlet, et d’essayer de démontrer la non-existence des fameux zéros de Siegel. Depuis lors, leurs zéros et la répartition de leurs valeurs ont été intensivement étudiés. Dans cet exposé, je présenterai des résultats récents concernant les zéros réels des polynômes de Fekete. Je discuterai également de certaines applications de ces résultats, notamment aux changements de signes des sommes partielles de sommes de caractères quadratiques. Ceci est un travail en commun avec O. Klurman et M. Munsch.
Ensembles de formes linéaires de complexité maximale
Catégorie d'évènement : Analyse et théorie des nombres Date/heure : 3 February 2022 14:30-15:30 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Michel Waldschmidt (Sorbonne Université) Résumé :Dans un travail en commun avec Michael Kaminski et Igor Shparlinski (arXiv:2110.04657), nous donnons des exemples explicites d’ensembles de $m$ formes linéaires en $n$ variables sur le corps des nombres rationnels, dont le calcul nécessite $m(n-1)$ additions.
Questions d'équirépartition de sommes exponentielles indexées par un sous-groupe
Catégorie d'évènement : Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz Date/heure : 27 January 2022 14:00-15:00 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Théo Untrau (IMB, Bordeaux) Résumé :On s’intéresse à des sommes exponentielles habituellement indexées par un système de représentants
des entiers inversibles modulo p, ou des inversibles modulo une puissance d’un nombre premier p.
Cependant, au lieu de regarder ces sommes complètes, on les restreint en les indexant seulement
par un sous-groupe d’ordre d fixé. Lorsque p tend vers l’infini en respectant certaines conditions de
congruence qui assurent l’existence d’un unique sous-groupe d’ordre d, on démontre que nos
familles de sommes exponentielles s’équirépartissent dans certaines régions du plan complexe
décrites comme l’image d’un tore par un polynôme de Laurent relativement explicite. Dans un second temps, on montre que l’on peut également restreindre le paramètre indexant la famille de sommes à ne parcourir que de très petits sous-groupes des classes inversibles modulo p, sans affecter le résultat d’équirépartition.
Manin's conjecture for singular cubic hypersurfaces
Catégorie d'évènement : Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz Date/heure : 20 January 2022 14:00-15:00 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Wen Tingting (Paris 13) Résumé :Réseaux sur les entiers de Gauss et fractions continues complexes
Catégorie d'évènement : Analyse et théorie des nombres Date/heure : 16 December 2021 14:00-15:00 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Nicolas Chevallier (Université de Haute Alsace) Résumé :L’objectif est de construire un algorithme de fraction continue complexe trouvant toutes les meilleures approximations diophantiennes d’un nombre complexe. En utilisant la suite des vecteurs minimaux d’un réseau de $\mathbb{C}^2$ sur l’anneau des entiers de Gauss, nous obtenons un algorithme défini sur une sous-variété de $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$. La correspondance entre les vecteurs minimaux et les meilleures approximations diophantiennes garantit que notre algorithme atteint son but. Un sous-produit de l’algorithme est la meilleure constante pour la version complexe du théorème de Dirichlet sur les approximations des nombres complexes par les quotients de deux entiers gaussiens.
Journée Scientifique FCH "Pseudorandomness, cryptography and number theory"
Catégorie d'évènement : Conférence Date/heure : 9 December 2021 00:00-23:59 Lieu : Centre Inria Nancy-Grand Est DescriptionUne suite est dite pseudo-aléatoire est une suite qui “ressemble” à une suite aléatoire. Ces suites ont de nombreuses applications en cryptographie, en particulier, dans le chiffrement par flot et des dispositifs de registre à décalage à rétroaction linéaire. Pour évaluer ce caractère, il faut faire appel à plusieurs notions mathématiques telles que la corrélation, la complexité linéaire et bien d’autres mesures de complexité et répartition. Alors pour tenter de créer des suites pseudo-aléatoires, on peut prendre des exemples issus de la théorie des nombres comme la suite des valeurs du symbole de Legendre pour un grand nombre premier.
L’objectif de cette journée est d’expliciter différentes relations qui existent entre la cryptographie et la théorie des nombres et de mettre en évidence leur lien avec des suites pseudo-aléatoires.
Cette journée scientifique est organisée dans le cadre institutionnel de la Fédération Charles Hermite et avec le soutien de LUE-Digitrust et l’ANR ArithRand.
Organisateurs locaux:
Cécile Dartyge (IECL), Damien Jamet (LORIA), Pierre Popoli (IECL) et Thomas Stoll (IECL)