Nancy-Metz number theory seminar

En se laissant guider par l’exemple des ensembles de Sidon (ensembles de nombres dont les sommes de deux éléments sont uniques, très étudiés en combinatoire additive), je présenterai des résultats récents, en collaboration avec R. Riblet, où des techniques de théorie des ensembles permettent de construire des ensembles “grands” en certains sens (cardinalité, mesure ou dimension) tout en étant “épars” car évitant des configurations prescrites (pas de relation linéaire, ou ne contenant pas de parallélogramme, etc.). Des questions subtiles en lien avec l’axiome du choix seront évoquées.

Une identité remarquable relie deux mesures de complexité sur les mots: complexité en facteurs $C(n)$ et complexité palindromique $P(n)$. Il s’avère qu’elle est aussi valide quand on remplace la complexité palindromique $P(n)$ par celle des facteurs carrés $S(n)$. Ce résultat, facile à établir pour les mots finis, suggère cependant un lien avec la conjecture sur le nombre de facteurs carrés distincts dans un mot : les graphes de Rauzy y jouent un rôle essentiel.

La théorie de Markoff, élaborée par lui pour les formes quadratiques, a été étendue par Hurwitz et ses successeurs, aux approximations des réels par des rationnels. Elle concerne les nombres qui sont “mal approximés”, le plus mauvais d’entre eux étant le nombre d’or. On verra comment certains mots sur un alphabet à deux lettres, appelés mots de Christoffel, s’introduisent naturellement dans cette théorie.

Pour modéliser les premiers, nous considérerons au cours de l’exposé de telles questions de nature statistique concernant la suite des entiers sans facteur carré (SFC), parmi d’autres suites “criblées”. J’espère pouvoir motiver et expliquer notre résultat principal inconditionnel qui énonce que le nombre de SFC dans les intervalles courts uniformément aléatoires suit en effet une loi Gaussienne, ce faisant résolvant plusieurs problèmes de R.R. Hall.

Ceci est un travail en commun avec O. Gorodetsky et B. Rodgers.

We present a new elementary algorithm for computing $M(x)=\sum _{n\le x}\mu (n),$ where $\mu (n)$ is the Möbius function. Our algorithm takes
$$\begin{array}{r}\mathrm{time}{O}_{ϵ}(x^{\frac{3}{5}}(\log x{)}^{\frac{3}{5}+ϵ})\mathrm{and}\mathrm{space}O(x^{\frac{3}{10}}(\log x{)}^{\frac{13}{10}})\end{array},$$ which improves on existing combinatorial algorithms. While there is an analytic algorithm due to Lagarias-Odlyzko with computations based on the integrals of $\zeta (s)$ that only takes time $O(x^{1/2+ϵ})$, our algorithm has the advantage of being easier to implement. The new approach roughly amounts to analyzing the difference between a model that we obtain via Diophantine approximation and reality, and showing that it has a simple description in terms of congruence classes and segments. This simple description allows us to compute the difference quickly by means of a table lookup. This talk is based on joint work with Harald Andrés Helfgott.

Given an arithmetic function $\theta$, we consider the set
$${\mathcal{B}}_{\theta }=\{n\ge 1:p|n\Rightarrow p\le \theta (\prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{q<p}{q^{\alpha }||n}}{q}^{\alpha })\},$$
where $p$ and $q$ denote primes. Depending on the choice of $\theta$, the possible sets ${\mathcal{B}}_{\theta }$ include the set of prime powers, almost primes, friable numbers, dense numbers, and practical numbers.
We will discuss (1) asymptotic results for the counting function of ${\mathcal{B}}_{\theta }$, (2) a generalization of the Siegel-Walfisz theorem, and (3) the normal order of the number of prime factors of integers in ${\mathcal{B}}_{\theta }$.

Considering partial character sums as defining a family of random processes (by choosing the characters randomly from some set), it becomes natural to ask questions about the limiting distribution. I’ll describe this in some contexts and give examples of what we can find in the support. This is largely work of Ayesha Hussain, but also some joint work.

Soit P un polynôme à coefficients entiers, unitaire, irréductible, de degré 4 et de groupe de Galois diédral ou cyclique.
Il existe c = c(P) > 0, tel que P(n) ait un facteur premier supérieur à n^1+c pour une proportion positive d’entiers n.

Il s’agit d’un travail  avec James Maynard.

Répétition du séminaire Bourbaki du vendredi 1er avril.