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Une extension probabiliste de la suite d’Oldenburger-Kolakoski
Catégorie d'évènement : Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz Date/heure : 20 October 2022 14:30-15:30 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Irène Marcovici (IECL) et Damien Jamet (LORIA) Résumé :La suite d’Oldenburger-Kolakoski est l’unique suite infinie sur l’alphabet {1,2} qui commence par un 1 et est un point fixe de l’application de codage par plage. Dans cet exposé, nous prendrons un peu de recul par rapport à cette suite bien connue et très étudiée, en introduisant de l’aléa dans le choix des lettres écrites. Cela nous permettra de montrer des résultats portant sur la convergence de la densité de 1 dans les suites ainsi construites. Dans le cas où les lettres sont choisies selon une suite i.i.d. de variables aléatoires ou selon une chaîne de Markov, la densité moyenne de 1 converge. De plus, dans le cas i.i.d., nous arrivons même à démontrer que la densité converge presque sûrement. Il s’agit d’un travail réalisé conjointement par Chloé Boisson, Damien Jamet, et Irène Marcovici.
Quelques problèmes ouverts sur des familles de suites binaires
Catégorie d'évènement : Analyse et théorie des nombres Date/heure : 23 June 2022 15:15-16:15 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Shalom Eliahou (Université du Littoral Côte d'Opale) Résumé :Dans cet exposé, on considérera des familles finies de suites binaires (1 et -1) de même longueur finie n dont les coefficients de corrélation satisfont quelques conditions élémentaires. La question de l’existence de telles familles, et de leur construction, donne lieu à divers problèmes ouverts, avec des ramifications tant théoriques (combinatoire, algèbre, théorie des nombres, etc) qu’appliquées (codes correcteurs, spectrométrie, radars, etc). On se penchera plus spécifiquement sur trois ou quatre problèmes typiques dans ce cadre.
Sums of Kloosterman sums with multiplicative coefficients
Catégorie d'évènement : Analyse et théorie des nombres Date/heure : 23 June 2022 14:00-15:00 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Igor Shparlinski (University of New South Wales) Résumé :We consider Kloosterman sums
$$
K_p(n) = \sum_{x=1}^{p-1} \exp(2 \pi i (nx + x^{-1})/p)
$$
modulo a prime $p$ and define their sums
$$
M_p(N) = \sum_{n \le N} \mu(n) \mathcal{K}_p(n) \qquad \mbox{and}\quad T_{\nu,p}(N) = \sum_{n \le N} \tau_\nu(n) \mathcal{K}_p(n)
$$
twisted by the Möbius function $\mu(n)$ and by the $\nu$-fold divisor function $\tau_\nu(n)$. Fouvry, Kowalski & Michel (2014) and Kowalski, Michel & Sawin (2018) improved the trivial bounds
$$
M_p(N) \ll N \qquad \mbox{and}\quad T_{\nu,p}(N) \ll N (\log N)^{\nu -1}.
$$
for $N \ge p^{3/4+\varepsilon}$ and $N \ge p^{2/3+\varepsilon}$, respectively (for any fixed $\varepsilon>0$). We will explain the ideas of the recent joint work with Maxim Korolev (2020) where both these thresholds are lowered down to $N \ge p^{1/2+\varepsilon}$. We will also discuss some open questions.
Conjecture de Manin—Peyre pour une famille de solides admettant des fibrations quadriques
Catégorie d'évènement : Analyse et théorie des nombres Date/heure : 23 June 2022 11:00-12:00 Lieu : Oratrice ou orateur : Zhizhong Huang (IST Austria) Résumé :Manin et ses collaborateurs ont conjecturé des formules asymptotiques pour le nombres des points de hauteur anticanonique bornée sur les variétés de Fano. Nous démontrons cette conjecture pour la famille de variétés définies par l’équation $$L_1(x_1,x_2)y_1^2+L_2(x_1,x_2)y_2^2+L_3(x_1,x_2)y_3^2+L_4(x_1,x_2)y_4^2=0,$$ où $L_i$ sont des formes bilinéaires deux à deux non-proportionnelles. La constante arithmétique apparaissant dans le terme principal coïncide avec celle conjecturée par Peyre. La démonstration utilise divers outils de la théorie analytique des nombres. Il s’agit d’un travail en commun avec D. Bonolis et T. Browning.
Well-behaved Beurling number systems
Catégorie d'évènement : Analyse et théorie des nombres Date/heure : 22 June 2022 11:00-12:00 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Frederik Broucke (Ghent University) Résumé :Optimality for Tauberian theorems
Catégorie d'évènement : Analyse et théorie des nombres Date/heure : 22 June 2022 10:00-11:00 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Gregory Debruyne (Ghent University) Résumé :One version of the Ingham-Karamata theorem states that for each slowly oscillating function $\tau$ whose Laplace transform admits an analytic continuation beyond the line $\Re s \: s = 0$ must obey the asymptotic law $\tau(x) = o(1)$. This theorem is a cornerstone in Tauberian theory and has plenty of applications in number theory; one of the quickest proofs of the Prime Number Theorem passes through this theorem.
We shall show that the decay rate $o(1)$ in the Ingham-Karamata theorem is optimal even if one assumes analytic continuation of the Laplace transform up to a larger halfplane. The attractive proof is based on the open mapping theorem.
De l’identité de B.-Reutenauer à la conjecture de Fraenkel et Simpson
Catégorie d'évènement : Analyse et théorie des nombres Date/heure : 17 June 2022 11:00-12:00 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Srečko Brlek (UQAM) Résumé :Une identité remarquable relie deux mesures de complexité sur les mots: complexité en facteurs $C(n)$ et complexité palindromique $P(n)$. Il s’avère qu’elle est aussi valide quand on remplace la complexité palindromique $P(n)$ par celle des facteurs carrés $S(n)$. Ce résultat, facile à établir pour les mots finis, suggère cependant un lien avec la conjecture sur le nombre de facteurs carrés distincts dans un mot : les graphes de Rauzy y jouent un rôle essentiel.
Combinatoire des mots et théorie de Markoff
Catégorie d'évènement : Analyse et théorie des nombres Date/heure : 16 June 2022 14:30-15:30 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Christophe Reutenauer (UQAM) Résumé :La théorie de Markoff, élaborée par lui pour les formes quadratiques, a été étendue par Hurwitz et ses successeurs, aux approximations des réels par des rationnels. Elle concerne les nombres qui sont “mal approximés”, le plus mauvais d’entre eux étant le nombre d’or. On verra comment certains mots sur un alphabet à deux lettres, appelés mots de Christoffel, s’introduisent naturellement dans cette théorie.
Ensembles d'entiers sans progression arithmétique
Catégorie d'évènement : Analyse et théorie des nombres Date/heure : 9 June 2022 14:30-15:30 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Anne de Roton (IECL) Résumé :Loi Gaussienne du nombre d'entiers sans facteur carré dans les intervalles courts
Catégorie d'évènement : Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz Date/heure : 19 May 2022 14:30-15:30 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Sacha Mangerel (Université de Durham) Résumé :Pour modéliser les premiers, nous considérerons au cours de l’exposé de telles questions de nature statistique concernant la suite des entiers sans facteur carré (SFC), parmi d’autres suites “criblées”. J’espère pouvoir motiver et expliquer notre résultat principal inconditionnel qui énonce que le nombre de SFC dans les intervalles courts uniformément aléatoires suit en effet une loi Gaussienne, ce faisant résolvant plusieurs problèmes de R.R. Hall.
Ceci est un travail en commun avec O. Gorodetsky et B. Rodgers.