L’estimation spectrale consiste en l’estimation des valeurs propres ou vecteurs propres de matrices bruitées. Dans cet exposé, nous verrons comment la notion d’indépendance libre, un concept issu de la théorie des opérateurs, permet de construire des estimateurs spectraux pertinents et d’en étudier la précision dans un régime non-asymptotique. Si le temps le permet, je présenterai des résultats relativement récents de Au, Dahlqvist, Gabriel et Male qui permettent une application de ce principe dans le cas de l’estimation de grands graphes bruités.

Cet exposé s’appuie partiellement sur un travail en collaboration avec Octavio Arizmendi et Carlos Vargas Obieta.

Dans ce séminaire, je m’intéresse au problème de l’identification d’une utilité dynamique consistante, qui, par définition, coïncide avec la fonction valeur d’un problème d’optimisation de portefeuille. Je montre que cette utilité est nécessairement solution d’une équation aux dérivées partielles stochastique (EDPS) forward, de second ordre et non linéaire.

J’établis ensuite une caractérisation explicite de cette solution en la représentant comme la composition de deux flots stochastiques bien choisis, ce qui permet d’en obtenir une résolution théorique.

À partir de cette représentation, je propose une approche numérique nouvelle pour approximer la solution. Cela conduit naturellement à l’étude d’un problème plus général : la composition de schémas d’Euler. Dans ce cadre, nous établissons un résultat général de convergence pour de telles compositions, applicable en particulier à l’EDPS considérée. Cette approche permet ainsi de construire des méthodes numériques simples et efficaces, fondées sur la composition de schémas associés à deux équations différentielles stochastiques appropriées.

Enfin, je présenterai quelques applications de cette approche, illustrant son intérêt au-delà du cadre initial, en particulier dans le domaine d’apprentissage des préférences.

Date possible pour le colloquinte

Dans cet exposé, nous revisiterons un sujet classique de la théorie multiplicative des nombres. Inspirés par les travaux de Hildebrand et Tenenbaum, notre objectif est d’obtenir une formule asymptotique en petits intervalles pour le nombre d’entiers ayant exactement k diviseurs premiers distincts. Nous mettrons l’accent sur l’uniformité en k, ainsi que sur la structure anatomique typique des entiers $E_k$.

We discuss the method of picking a convenient coordinate system adapted to vector fields. Let $X_1, …, X_q$ be either real or complex $C^1$ vector fields. We discuss the question of when there is a coordinate system in which the vector fields are smoother (e.g. $C^m$ or $C^\infty$, or real analytic). By answering this in a quantitative way, we obtain coordinate charts which can be used as generalized scaling maps. When the vector fields are real this is joint work with Stovall, and continues in the line of quantitative sub-Riemannian geometry initiated by Nagel, Stein, and Wainger. When the vector fields are complex one obtains a geometry with more structure which can be thought of as “sub-Hermitian”.

Dans cet exposé, nous étudierons la répartition du maximum des sommes partielles associées aux sommes de Kloosterman, de Birch et, plus généralement, à certaines sommes de fonctions de trace $\ell$-adiques vérifiant des hypothèses adaptées. Kowalski et Sawin ont montré que ces sommes partielles, convenablement normalisées, convergent en loi vers une série de Fourier aléatoire, ce qui permet d’obtenir une première estimation du comportement de leur maximum. Par la suite, Autissier, Bonolis et Lamzouri ont obtenu des estimations fines de la queue de distribution du maximum de ces sommes partielles. L’objectif de cet exposé est d’aller plus loin en obtenant une estimation plus précise, et de montrer que, dans la grande majorité des cas, le maximum est atteint à proximité de la partie imaginaire de la demi-somme.

We discuss factorization problems for representations of a real Lie group G. First we discuss a factorization theorem of Dixmier-Malliavin type for the space of analytic vectors $E^{\omega}$ for representations of G on, for example, a Banach space E: There exists a natural algebra of superexponentially decreasing analytic functions A(G), such that $E^{\omega} = A(G) * E^{\omega}$. Such theorems can be deduced from simple properties of the wave equation on G, which provides detailed information about functions of the Laplacian. We then formulate a factorization theorem for real reductive groups which implies the Helgason conjecture, and we outline a new and elementary proof. (joint work with Krötz and Lienau, resp. Krötz, Kuit and Schlichtkrull)

This talk, based on joint work with Francesco Cattafi, presents an extension of the classical correspondence between vector bundles and principal bundles to the Lie groupoid setting. To achieve this, we introduced the notion of a PB-groupoid with a structural Lie 2-groupoid, establishing a correspondence between VB-groupoids and PB-groupoids. This framework enhances our understanding of VB-groupoids, which play a fundamental role in Poisson geometry, and provides a natural perspective on the tangent space of smooth symmetries.

La variété de Rankin-Selberg est la variété homogène sphérique X=(GL_n x GL_{n+1}) / GL_n, définie sur un corps K. Dans cet exposé, on s’intéressera à différentes notions de spectres associées à X. Pour K un corps local de caractéristique zéro, il s’agira de déterminer l’ensemble des sous-représentations irréductibles de l’espace des fonctions lisses sur X. Je donnerai alors la réponse pour celles qui sont unitaires, complétant des travaux de K.Y. Chan, C. Chen et R. Chen. Pour K un corps global, j’expliquerai comment le spectre de X s’interprète en termes d’une décomposition spectrale automorphe de séries thêta, dont je donnerai ensuite une description explicite. Dans les deux cas, la méthode repose sur l’observation que les résidus des intégrales Zeta de Rankin-Selberg produisent des périodes sur le spectre non-générique.

A Harish-Chandra module is the algebraic “skeleton” of an irreducible continuous representation of a real reductive group. For a given Harish-Chandra module there are typically many continuous representations that correspond to it. In this talk we will explore to what extend continuous representations (in particular on Banach spaces) with the same Harish-Chandra module may differ from each other, and discuss some relations to automorphic forms. (This is joint work with Joseph Bernstein, Pritam Ganguly, Bernhard Krötz and Eitan Sayag.)

Montgomery (1973) suggested an approach to study the pair correlation of nontrivial zeros of the Riemann zeta-function, and proved the corresponding asymptotic formula within a limited range assuming the Riemann Hypothesis (RH). The extended behavior remains a conjecture which implies the famous Pair Correlation Conjecture (PCC) for these zeros. In my previous work with Siegfred Alan C. Baluyot, Daniel Alan Goldston, and Caroline L. Turnage-Butterbaugh, we have showed how to remove RH in Montgomery’s pair correlation method and recover known results on the proportion of simple zeros under hypotheses weaker than RH. We have in addition obtained the proportion of zeros lying on the critical line, which we simply call critical zeros for brevity. Getting results on critical zeros is only achieved since we do not assume RH. We also recently noticed that these proportions can be further improved if we take further advantage of the feature that we “may” have zeros off the critical line.
In follow-up work with Daniel Goldston, Junghun Lee and Jordan Schettler, we showed that PCC without RH implies that asymptotically 100% of the zeros are simple and critical, thus RH is asymptotically true. We remark that our method also works with other pair correlation conjectures. In this talk, I would like to briefly introduce these results and our key ideas.

Factorization homology can be used to assign functorial invariants to surfaces, starting from a braided monoidal category. If this category is obtained by deforming a symmetric monoidal category, this deformation can be tracked through factorization homology. Applying this to the cases of the Drinfeld-Jimbo quantum groups and Drinfeld’s quasi-triangular quasi-Hopf algebras, we obtain the  Fock-Rosly and the Alekseev-Malkin-Meinrenken bivectors as well as their quantizations, in terms of fusion and skein theory. Based on joint work with Eilind Karlsson, Corina Keller and Lukas Mueller [arxiv:2410.12516].

Dans cet exposé, on étudie les courses de nombres premiers entre résidus et non-résidus quadratiques modulo q. Les nombres de Skewes généralisés désignent les premières valeurs pour lesquelles les résidus quadratiques devancent les non-résidus. Je présenterai un travail en collaboration avec A. Bailleul et T. Untrau dans lequel nous réfutons une conjecture de Fiorilli portant sur la taille de ces nombres. De plus, sous l’hypothèse de Riemann généralisée, ainsi qu’une hypothèse d’indépendance linéaire effective, nous établissons des bornes supérieures pour ces nombres en fonction de q.

Let G be a Lie group whose Lie algebra carries an Ad-invariant, nondegenerate symmetric pairing. Then its classifying space has a 2-shifted symplectic structure. In the first part of the talk, I will present concrete models for this structure coming from differential geometry and mathematical physics. In the second part, I will study the analogue of Lagrangian submanifolds and show their relation to Poisson and Dirac structures. This talk is based on joint work with Chenchang Zhu, and with Daniel Álvarez and Henrique Bursztyn.

Les équations classiques de l’hydrodynamique (Euler, Navier-Stokes) sont non-locales à travers le terme de pression. Des modèles simplifiés comme l’équation de Burgers se focalisent sur un champ scalaire pour enlever les contraintes géométriques. Nous présentons ici une variante non-locale des équations de Burgers, dont les instabilités sont liées au signe local de la solution, avec des résultats obtenus en collaboration avec R. Shvydkoy, C. Imbert, J. Tan, R. Anton et K. Verdure.

Résumé à venir

Résumé à venir

Résumé à venir

Dans cet exposé, je présenterai un résultat de contrôlabilité locale pour une large classe d’équations d’évolution sur (0,1) entre des états de fonctions analytiques. Si l’on prescrit des conditions au bord, la contrôlabilité a lieu entre fonctions satisfaisant des conditions de compatibilité. La preuve utilise la résolution d’un problème mal posé à partir du bord dans des espaces Gevrey ainsi que la description du lien entre le “jet” des dérivées en temps et celui des dérivées en espace. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Ivonne Rivas et Lionel Rosier.

Nous étudions une fonctionnelle d’énergie en deux dimensions motivée par des modèles de cristaux liquides présentant des constantes élastiques très disparates. L’énergie s’applique aux champs de vecteurs u et est formée de la fonctionnelle de Ginzburg-Landau à laquelle on ajoute un terme pénalisant l’énergie L2 de la divergence avec un coefficient de l’ordre de log(1/eps). Nous considérons des configurations avec des conditions aux limites tangentielles dans un régime d’énergie modéré.

Dans ce régime, le modèle a des propriétés de régularité et de compacité plus fortes que celles données pas la théorie classique sur Ginzburg-Landau. Alors que cette dernière ne donne qu’une compacité faible du paramètre d’ordre u et une convergence des jacobiens vers des sommes de masses de Dirac représentant des singularités de type vortex, nous prouvons la compacité forte du paramètre d’ordre et donnons une description fine des singularités. Ces travaux mettent en évidence un lien étroit avec la théorie sur la fonctionnelle d’Aviles-Giga, en particulier un phénomène de régularité par compensation.

Simulating and modeling flexible fibers is an crucial issue in many microbiological problems. We focus on a recent result on convergence and well-posedness of the equations governing the dynamics of a discretized version of a continuous, flexible, inextensible filament immersed in a fluid at a low-Reynolds number.
The elastohydrodynamic equation governing the motion of such a filament is a nonlinear 4th-order PDE system. Complexity in analytical and numerical study of the system has led to the use of simplified models, e.g. the ”N-link” [F. Alouges, A. DeSimone, L. Giraldi, M. Zoppello, Self-propulsion of slender microswimmers by curvature control : N-link swimmers, Int. J. Non-Linear Mech.,2013.], a mechanical discretization into N rigid segments with elastic joints.
While numerical evidence shows convergence of this model to the continuous case [C. Moreau, L. Giraldi, H. Gadˆelha, The asymptotic coarse-graining formulation of slender-rods, bio-filaments and flagella, J. R. Soc. Interface, 2018], rigorous convergence is nontrivial: the equations of the N-link are not a classical approximation of the underlying PDE.
We prove existence and uniqueness of solutions for the N-link system and demonstrate their convergence to solutions of the classical PDE, leading also to an alternative proof of existence for the continuous PDE, complementing [Y. Mori, L. Ohm, Well-posedness and applications of classical elastohydrodynamics for a swimming filament, Nonlinearity, 2023].
This work was done in collaboration with F. Alouges, A. Lefebvre-Lepot and C. Moreau.

Dans cet exposé, je présenterai un résultat récent de stabilisation obtenu avec Hugo Parada (IECL) et portant sur l’équation des ondes avec une condition au bord hyperbolique (ou condition au bord de Wentzell dynamique). Dans ce cas, le comportement au bord est régi par une équation des ondes couplée à l’équation des ondes interne.

Nous considérerons une configuration mixte où le bord est fait d’une partie dynamique et d’une autre (disjointe, éventuellement vide) laissée au repos. Lorsque la partie dynamique du bord est amortie et satisfait la condition de contrôle géométrique, nous avons montré que l’énergie des solutions classiques (ou fortes) décroît comme 1/t en temps long. Notre démonstration repose sur une estimation de la résolvante du système via l’analyse de quasi-modes aux hautes fréquences, des inégalités de traces obtenues dans différents régimes microlocaux et un argument spécial de découplage. Une analyse spectrale de “modes concentrés” dans le cas du disque révèle que ce taux est optimal. En particulier, la stabilité du système est non uniforme : l’énergie de certaines solutions faibles peut converger vers zéro de manière arbitrairement lente.

J’en profiterai pour rappeler également quelques résultats classiques de stabilisation des ondes par une condition de Neumann amortie statique et tâcherai alors d’expliquer “avec les mains” en quoi la dynamique au bord est une entrave à la stabilité uniforme.

Dans cet exposé, nous étudions un modèle de nanofil ferromagnétique avec un défaut, représenté sous la forme d’une encoche unique et unimodale. Par un argument de « théorème du col », nous démontrons l’existence et l’unicité d’un point critique pour l’énergie ferromagnétique associée à ce modèle. Ce point critique obtenu correspond à une solution topologique (appelée un mur de domaines) localisée au voisinage de l’encoche.

Il s’agit d’un travail en collaboration avec Raphaël Côte, Guillaume Ferrière, Ludovic Godard-Cadillac et Yannick Privat.

Programme :

Jeudi 29 Janvier

• 10h30 – 11h00 | Accueil
• 11h00 – 12h30 | Groupe de travail –  Nabile Boussaid
  Titre : Contrôle bilinéaire simultané en projection en présence de spectre continu pour l’équation de Schrödinger
  Résumé : Je vais commencer par un résultat de dimension finie, ce résultat n’est pas le plus général, mais donne une condition de contrôlabilité qui s’étend à la dimension infinie. La suite consistera à montrer comment il s’étend lorsque l’espace de Hilbert sous-jacent possède une base de vecteur propre pour l’opérateur de dérive. C’est le cas où il n’y a “pas” de spectre continu. L’idée est d’exploiter des résultats de moyennisation.
  Finalement, nous exploiterons une généralisation du théorème RAGE pour considérer un contrôle en présence de spectre continu. Nous reviendrons sur la preuve de ce théorème classique.
  Il s’agit de résultats en cours avec Marco Caponigro et Thomas Chambrion.
• 12h30 – 14h30 | Pause déjeuner
• 14h30 – 15h30 | Exposé – Killian Lutz
  Titre : Résonance paramétrique et contrôle optimal des oscillateurs
  Résumé : Cet exposé porte sur le contrôle d’un oscillateur harmonique classique dont la fréquence peut-être expérimentalement contrôlée au cours du temps. L’objectif est de transférer en temps minimal le système entre deux états de déplacement donnés et d’énergie cinétique nulle. On discutera de la démarche de résolution basée sur le portrait de phase et d’un lien intriguant avec la résonance paramétrique, un type d’instabilité bien connu en mécanique.
  Ces travaux récents sont réalisés en collaboration avec Yannick Privat et les physiciens Paul-Antoine Hervieux, Giovanni Manfredi et Vincent Hardel.
• 16h00 – 17h00 | Exposé – Cristobal Loyola
  Titre : Unique continuation for semilinear waves and Schrödinger equations under the geometric control condition
  Résumé : In this talk, I will present recent results on unique continuation for semilinear wave and Schrödinger equations with analytic nonlinearities. After recalling some motivation and classical results on the topic, I will describe a new method, introduced in a joint work with Camille Laurent (CNRS, LMR), that relies on analyticity-in-time regularization in finite time for solutions vanishing on a subset satisfying the Geometric Control Condition (GCC). The proof combines tools from control theory with ideas of Hale and Raugel on the regularity of attractors in dynamical systems. In a more recent work, we refined this approach and applied it to Schrödinger equations on compact manifolds, showing that the GCC suffices for unique continuation, thus answering in the affirmative an open problem posed by Dehman, Gérard, and Lebeau (2006) for the nonlinear case. The method is abstract and can also be applied to study similar questions for other PDEs.
  
• 17h00 – 17h30 | Discussions
• 19h30 | Diner Social | Grand Café Foy : https://grandcafefoy.com/

Vendredi 30 Janvier

• 09h30 – 11h00 | Groupe de Travail –  Tristan Robert
  Titre : Sur la contrôlabilité locale exacte de l’équation de Schrödinger non-linéaire périodique
  Résumé : Dans cet exposé, on s’intéressera au contrôle local exact de l’équation de Schrödinger en dimension 1 avec conditions périodiques, en présence de contrôles bilinéaires, et au voisinage des modes propres. On commencera par passer rapidement en revue la méthode des moments, et en particulier les conditions naturelles sur les potentiels de contrôle, qui permettent d’obtenir la contrôlabilité du linéarisé. On expliquera ensuite en quoi ces conditions nécessitent de développer une théorie de Cauchy adaptée afin de pouvoir traiter le problème non-linéaire. On verra ainsi comment obtenir soit des résultats positifs de contrôle bilinéaire local exact, soit des obstructions topologiques à la contrôlabilité locale exacte, en fonction de la régularité des contrôles. Cet exposé est basé sur des travaux en cours en collaboration avec Rémi Buffe, Alessandro Duca, et Laurent Thomann.
• 11h00 – 11h30 | Pause café
• 11h30 – 12h30 | Exposé –  Nazim Kacher
  Titre : Backstepping de Fredholm pour les opérateurs auto-adjoints et application à la stabilisation rapide d’équations paraboliques en toute dimension
  Résumé : Le backstepping de Fredholm est un outil de stabilisation rapide, qui relie une équation à stabiliser à une équation cible, via une certaine transformation. Cette méthode se voyait jusque là contrainte à la dimension 1 en espace car pas adaptée pour gérer la croissance des valeurs propres.
  Dans cette présentation, nous montrerons comment l’introduction d’une projection spectrale dans l’équation cible nous débarasse de cet obstacle et nous permet d’appliquer le backstepping à des équations paraboliques en dimension quelconque. Ce travail est en collaboration avec Hoai-Minh Nguyen (Sorbonne Université) et Ludovick Gagnon (Inria Lorraine).
• 12h30 – 14h30 | Pause déjeuner
• 14h30 – 15h30 | Exposé –  Eugenio Pozzoli
  Titre : Approximate controllability of bilinear wave equations in minimum time in dimensions 1 and 2
  Résumé : This talk is devoted to the global approximate controllability (GAC) of a bilinear wave equation posed on the 1 or 2-dimensional torus. The Lie algebra generated by the control potentials and the drift satisfies a certain density property. The initial state W_0 is not the zero state. Let r(W_0) be the radius of the largest ball contained in the zero set Z(W_0) of W_0. We show that the minimum time for GAC from W_0 is equal to r(W_0). We present some ideas of the proof, based on Lie bracket methods à la Duca-Nersesyan, and the forward propagation of well-prepared positive states. We also discuss some weaker results in dimensions higher than 2 (such as the GAC from any initial state in sufficiently large time, and the small-time GAC from any initial state W_0 when Z(W_0) has zero Lebesgue measure). This is a joint work in collaboration with Karine Beauchard and Thomas Perrin.
• 15h30 – 16h30 | Exposé –  Hugo Parada
  Titre : Well-posedness and control of the KdV equation on star networks
  Résumé : In this talk, we address well-posedness and control issues for the Korteweg–de Vries (KdV) equation posed on star-shaped networks. We present sharp global well-posedness results for nonhomogeneous boundary value problems and analyze stabilization, as well as exact and null controllability properties. Particular attention is paid to the role of critical lengths, localization of the controls, and control constraints. This talk is based on joint work with E. Crépeau, C. Prieur, R. A. Capistrano-Filho, and J. S. da Silva.

Dans cet exposé, je discuterai de problèmes isopérimétriques issus du modèle de goutte liquide de Gamow pour le noyau atomique, dans lequel le périmètre est perturbé par une interaction répulsive non locale. Après avoir rappelé des résultats classiques et des conjectures liés au modèle original, je présenterai des résultats qui diffèrent du cas classique lorsque le noyau de répulsion décroît suffisamment rapidement. Je m’intéresserai en particulier aux questions d’existence de minimiseurs, de régularité et de phénomènes de brisure de symétrie.

Les systèmes de lois de conservation hyperboliques tendent naturellement à avoir des solutions discontinues. Une des problématiques centrales en termes d’analyse numérique pour ce type d’EDP porte donc sur la capacité d’un schéma numérique à capturer ces discontinuités. Les profils de choc totalement discrets correspondent aux approximations des chocs par des schémas aux différences finies conservatifs. L’existence et la stabilité des profils de choc totalement discrets sont alors considérées comme une condition améliorée de consistance et impliquent que le schéma aux différences finies devrait être capable d’approcher les discontinuités assez précisément.

L’objectif de cet exposé sera de présenter les récents développements concernant la stabilité des profils de choc totalement discrets. Plus précisément, la plupart des résultats connus jusqu’à récemment se sont concentrés sur la stabilité des profils de choc de faibles amplitudes. On présentera un résultat de stabilité nonlinéaire orbitale pour les profils de choc totalement discrets dans un cadre assez général, où l’hypothèse de faible amplitude a été remplacée par une hypothèse de stabilité spectrale vérifiée par le linéarisé du schéma au niveau du profil de choc totalement discret. Ce résultat repose de manière centrale sur une description précise de la fonction de Green du même linéarisé.

Cet exposé vise à être une introduction aux techniques développées par [Zumbrun Howard, 98’] et [Mascia Zumbrun, 03 ‘] et utilisées pour étudier la stabilité des ondes progressives dans divers problèmes (généralement paraboliques). Ces techniques reposent généralement sur une étude précise du spectre du linéarisé au niveau de l’onde et la traduction de ces informations spectrales en estimées sur le comportement en temps long de la fonction de Green du linéarisé.

Dans cet exposé, on se concentrera sur l’application de ces techniques pour extraire le comportement en temps long des schémas aux différences finies pour l’équation de transport. En particulier, on détaillera l’étude et le prolongement analytique de la fameuse « fonction de Green spatiale » à travers le spectre essentiel de l’opérateur d’évolution du schéma. Tout cela sera suivi d’une discussion sur les difficultés supplémentaires pouvant apparaître en appliquant ces techniques pour des problèmes plus complexes tels que l’étude des profils de choc totalement discrets.