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Résumé

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Les espaces de Sobolev d’applications à  valeurs dans le cercle unité apparaissent dans l’étude de la supraconductivité ou du micromagnétisme. Je décrirai la structure de ces espaces. La description fait intervenir une ou deux phases et un ensemble singulier. Parmi les applications directe de ce théorème de structure, il y a la théorie des traces pour des applications unimodulaires et la solution partielle du problème de la racine carrée. La suite de l’exposé va porter sur le contrôle des phases, avec applications à  l’existence de solutions de problèmes variationnels critiques

We present results concerning the rigorous analysis of the vanishing viscosity limit and associated boundary layer for certain classes of non-linear, 3D flows in pipes and channels.

Résumé

Let $varOmega$ be a domain in ${mathbbR}^n$ with $ngeq2$ and $0invarOmega$. We study anisotropic elliptic equations such as $-su{m}_{i=1}^n,partia{l}_{x_i}(|partia{l}_{x_i}u{|}^{p_i-2}partia{l}_{x_i}u)=delt{a}_0$ in $varOmega$ (with Dirac mass $delt{a}_0$ at zero), subject to $u=0$ on $partialvarOmega$. We assume that all $p_i$ are in $(1,infty)$ with their harmonic mean $p$ satisfying either Case 1: $p<n$ and $ma{x}_{1leqileqn}{p}_i<fracp(n-1)n-p$ or Case 2: $p=n$ and $varOmega$ is bounded. We introduce a suitable notion of fundamental solution and establish its existence, together with sharp pointwise upper bound estimates near the origin for the solution and its derivatives. The latter is based on a Moser-type iteration scheme specific to each case, which is intricate due to our anisotropic analogue of the reverse H"older inequality. This is joint work with Jérôme Vétois (University of Nice)."

Energie fondamentale du Laplacien magnétique dans des ouverts à  coins

L’opérateur de Laplace magnétique s’écrit
$$(-ihnabla+A{)}^2$$
o๠$A$ est un potentiel magnétique et $h$ un paramètre destiné à  tendre vers 0. Cet opérateur est complété par les conditions de Neumann sur le bord du domaine. Le domaine est supposé appartenir à  une certaine classe géenérale d’ouverts à  coins. Cette classe contient en particulier les polyèdres, les domaines coniques et les domaines réguliers.

Le comportement de la première valeur propre de l’opérateur magnétique quand $hto0$ est gouverné par une hiérarchie de problèmes modèles posés sur les cones tangents au domaine. Nous explorons les propriétés de ces problèmes modèles en dimension 3 d’espace (continuité, semi-continuité, existence de fonctions propres gén’eralisées). Nous démontrons des formules asymptotiques avec reste pour la première valeur propre magnétique en fonction de $h$.

Les bornes inférieures sont obtenues à  l’aide d’une partition IMS à  deux échelles, alors que les bornes supérieures sont établies grâce à  une nouvelle construction de quasimodes qualifiés d’assis (sitting) ou glissants (sliding) selon les propriétés spectrales des problèmes modèles.

Exposé basé sur l’article en commun avec Virginie Bonnaillie-Noà«l et Nicolas Popoff,
« Ground state energy of the magnetic Laplacian on general three-dimensional corner domains », disponible sur arXiv, http://fr.arxiv.org/abs/1403.7043

Dans cette exposé je vais présenter des résultats concernant les problèmes de Gel’fand-Calderon et de conductivité inverse (problème de Calderon). Il s’agit de deux problèmes inverses de valeurs au bord avec différents applications, notamment dans le domaine médicale, géophysique et dans la tomographie océanique. Le problème de Calderon consiste à  déterminer une conductivité électrique dans un domaine à  partir de l’opérateur tension-à -courant (Dirichlet-to-Neumann) au bord. Dans le problème de Gel’fand-Calderon la quantité à  reconstruire est un potentiel dans l’équation de Schrodinger, étant donné l’opérateur Dirichlet-to-Neumann associé à  énergie fixée. Je vais présenter le premier résultat de stabilité globale en dimension deux pour le problème de Gel’fand-Calderon scalaire et multi-canal (matriciel). Ensuite je vais parler d’un algorithme de reconstruction stable et rapidement convergent pour le même problème dans le cas 2D multi-canal, avec applications à  l’étude du problème en 3D . Comme derniers résultats je vais montrer des nouvelles estimations de stabilité globale pour les deux problèmes qui dépendent explicitement de la régularité et de l’énergie. J’expliquerai notamment comment la stabilité augment à  hautes énergies.